методичка по математике семестровые

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра высшей математики

Неопределенный интеграл

Задания для самостоятельной работы и методические указания

Новокузнецк

2011

УДК 517(07) Н 525

Рецензент кафедра физики Сибирского государственного индустриального уни-

верситета (зав. кафедрой д.ф.-м.н., проф. Громов В.Е.)

Н 525 Неопределенный интеграл: задания для самостоятельной работы и методические указания/ Сиб. Гос. индустр. ун-т; сост.: Л.М.Калинина –Новокузнецк: Изд. центр СибГИУ, 2011.–16 с.

Приведены варианты и образцы выполнения индивидуальных заданий по разделу «Неопределенный интеграл» дисциплины «Математика».

Предназначены для студентов всех направлений и специально-

стей.

2

РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

1. При вычислении интегралов 1 – 3 нужно использовать замену переменной или способ подведения функции под знак дифференциала и ответ проверить дифференцированием.

Пример.

Здесь использована формула замены переменной в неопределенном интеграле

Причем формула применена справа налево, так как выражение ϕ(x) = ln x принято за новую переменную t, а ϕ′(x)dx = dxx = dt.

Новую переменную можно не обозначать другой буквой, а подвести ее под знак дифференциала:

∫lnx2 x dx =∫ln2 x dxx = ∫ln2 x d ln x = 13 ln3 x +C.

При подведении функции под знак дифференциала часто бывает нужным сделать «поправку», чтобы относительно новый переменной интегрирования – той, что под знаком дифференциала – интеграл стал табличным.

Пример.

При выполнении второй части задания нужно хорошо знать таблицы производных, дифференциалов и первообразных основных функций (приложение 1), тогда легко догадаться, что нужно взять за переменную интегрирования, чтобы интеграл стал табличным.

3

2. Для нахождения интегралов 4 и 5 используется формула интегрирования по частям ∫udv =uv −∫vdu, где u = u(x), v = v(x) -

дифференцируемые функции. Если подынтегральное выражение имеет вид xn cos ax dx, xn sin ax dx или xneax dx , то полагают u = xn , а

u= arccos x, u = arcsin x, u = ln x, а dv = xn dx.

3.Интегралы 6 и 7 содержат дроби. При их интегрировании нужно выделить целую часть, если дробь неправильная, знаменатель представить в в идее произведения сомножителей и разложить дробь на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Например:

После приведения к общему знаменателю должна получиться дробь, числитель которой равен числителю данной подынтегральной дроби

x −1 = A(x2 −2x +4) +(Bx +C)(x +2).

Дадим x значения -2 и 0 и сравним коэффициенты при x2 .

−2 −1 = A((−2)2 −2(−2) +4) +(B(−2) +C)(−2 +2); −3 =12 A; x = −2 A = −14 .

x= 0 −1 = A 4 +2C; −1 = 4 − 1 +2C; C = 0.

4

Подставляя найденные значения коэффициентов А, В и С, получим

Вычислим каждый интеграл отдельно.

4

4. Интегралы 8 и 9 содержат иррациональные функции; для вычисления используется метод замены переменной: новую переменную выбирают таким образом, чтобы интеграл сводился либо к табличному, либо к интегралу от рациональной функции.

Пример.

а)

=2 x +33 x +6 6 x +6 ln 6 x −1 +C.

5.При вычислении интегралов от тригонометрических функций используются тригонометрические тождества и формулы:

cosαx cos βx = 12 (cos (α +β)x +cos (α −β)x); sin αx cos βx = 12 (sin (α +β)x +sin (α −β)x); sin αx sin βx = 12 (cos (α −β)x −cos (α +β)x);

tg 2 x = cos12 x −1; cos x sin x = 12 sin 2x.

5

Примеры. а)

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

6