семестров.2
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
Индивидуальные задания
Новокузнецк 2011
УДК 517 (07) Д 503
Рецензент кафедра физики Сибирского государственного индустриального уни-
верситета (зав. кафедрой д.ф.-м.н., проф. Громов В.Е.)
Д 503 Дифференциальное исчисление функций: индивидуальные задания / Сост.: Калинина Л.М., Волошина М.С.: СибГИУ. – Новокузнецк, 2011. – 29 с.
Изложены индивидуальные задания по теме «Дифференциальное исчисление функций». Приведены 25 вариантов заданий, содержащие по 6 задач каждый, по всем разделам для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов всех направлений и специально-
стей.
2
ВВЕДЕНИЕ
Индивидуальное задание по теме «Дифференциальное исчисление функций» содержит 6 заданий в каждом из 25-ти вариантов; в свою очередь, каждое задание состоит из одной или нескольких задач и упражнений. Все варианты составлены по одному плану и одинаковы по трудности.
Индивидуальное задание содержит типовые задачи по указанной теме и имеет целью проверить навыки работы с элементарными функциями, усвоение их свойств, построение графиков путем элементарных преобразований или посредством исследования с помощью производных. Задание должно выполняться самостоятельно каждым студентом.
Предложенные варианты индивидуальных заданий могут использоваться для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» студентами всех направлений и специальностей.
3
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вариант 1
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =2x; y =sin |
x |
; y = |
4−x2 ; y =log |
x. |
|
||||
2 |
2 |
|
||
|
|
|||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
x +2x +1, x p1, |
|
|
|
||||
f (x) = |
4−x, |
1≤x pπ, |
f (x) = |
|
|
. |
|
x −2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
cos x, |
x ≥π; |
|
|
|
|
||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
x2 −2x +1 |
; |
lim |
x −1−3 |
; |
|
|
x −10 |
|
||||
x→1 |
x2 −x |
x→10 |
|
|||
|
1 |
x |
lim |
1−cos2x |
; |
lim 1− |
x |
; |
2 |
||
x→∞ |
|
x→0 |
x |
|
|
4. Найти производные функций. |
|
||||
y = 3 2+3ln2x; |
u =t2 cos(3t −2); |
y = |
|||
x =e2t ,
y =cos3t.
|
lim |
2x2 +3x−1; |
|
|
x→∞ |
x2 +2x |
|
|
limsin2x. |
||
|
x→π |
x |
|
1+x |
; |
y =tg2x cos3x; |
|
1−x |
|||
|
|
||
5.Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
Втреугольник с основанием 10 м и высотой 8 м вписан прямоугольник. При каких размерах он имеет наибольшую площадь?
6.Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =x −ln x; y = |
3 |
− |
1 |
. |
|
x |
|
3 |
|||
|
|
x |
|||
4
Вариант 2
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
|
π |
y = 16−x2 ; y =log1 |
x. |
|
y =2x −1; y =sin x− |
6 |
; |
||
|
|
3 |
|
|
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−x −12, |
|
x p0, |
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
f (x) = 1, |
|
0 |
≤x p |
|
, |
f (x) = |
|
|
. |
|||
|
2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
x − |
|
||
|
|
|
x |
≥ |
; |
|
|
|
3 |
|
||
tgx, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
10x2 −5x +1 |
; |
lim |
1+x − 1−x |
; |
lim |
x2 −6x+5 |
; |
|
x |
|
||||||
x→∞ 2x2 +3x −2 |
x→0 |
|
x→1 (x−1)2 |
|
||||
|
|
|
2 |
x |
lim |
sin2x |
; |
|
|
lim |
tgx |
. |
|
lim 1− |
x |
; |
tgx |
|
|
x |
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→π |
|
|
|||
4. Найти производные функций. |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
1−sin2x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cosx |
|
||
y = |
ln(2x +1); |
u =2tsin(3t +1); |
y = |
|
; |
y =x e |
|
; |
|||||
1+cos2x |
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
2t |
−1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= 3 t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
Впрямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см вписан прямоугольник. При каких размерах площадь прямоугольника будет наибольшей?
6.Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =x + |
ln x |
; |
y = |
1 |
. |
x |
2 |
||||
|
|
|
x −1 |
||
5
Вариант 3
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =2x2 +1; y =sin2x; y = 1−x2 ; y =log0,5 x.
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
−1, |
x p0, |
|
1 |
|
|
||
|
−x |
|
|
|
|
|
||
f (x) = |
e |
, |
0 ≤x p1, |
f (x) = |
|
|
. |
|
x −5 |
||||||||
|
|
|
x ≥1; |
|
|
|||
2x +1, |
|
|
|
|
||||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
|
7x2 +6 |
; |
|
lim |
2− x |
; |
|
||||
|
|
4−x2 |
|
|
x −4 |
|
||||||
x→∞ |
|
|
2 |
|
x→4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
1−cos 2x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||
lim 1+x |
|
; |
lim |
xsin x |
; |
|||||||
x→0 |
( |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||
4. Найти производные функций.
lim x2 +−2x−15; x→5 2x2 −7x−15
limxsin2x.
x→π
y = 3 ln6; u = |
1 sin(4t −1); |
y =sin3x |
; y = x tg3x; |
|
4 |
x |
|
x =2t +1,
y =cos2 t.
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
При каких размерах прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см, его площадь будет наибольшей?
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =ln(4−x2 ); y =x+ |
4 |
. |
|
||
|
x |
|
6
Вариант 4
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =−ex; y =sin2 x; y = 2−x2 ; y =log2 x.
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x ≤1, |
|
|
|
||
|
1−x , |
|
|
|
|||
|
|
|
π |
|
|
2 |
|
f (x) = |
1−2x, |
1px ≤ |
2 |
, |
f (x) = |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
x −1 |
||
|
tgx, |
x f |
π |
; |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
5x3 +x |
; |
lim |
2− x |
; |
|||||
3x3 −6x |
x −4 |
|
||||||||
x→∞ |
|
x→4 |
|
|
||||||
|
|
1 |
2x2 |
|
|
sin3x |
|
|
||
lim 1+ |
|
|
; |
lim |
|
|
|
; |
|
|
2 |
|
tgx |
|
|||||||
x→∞ |
|
x |
|
|
x→0 |
|
|
|||
4. Найти производные функций.
lim |
2x2 +5x+2 |
; |
||
x+2 |
|
|||
x→−2 |
|
|||
limsin2x.
x→π x
|
4 |
2 |
|
|
1 |
|
cos2x |
|
−x2 |
|
x |
|
|
y = |
|
x |
+3x; |
u =4cos( |
|
t −2); |
y = |
|
; |
y =e |
tg |
|
; |
|
2 |
1+sin x |
3 |
||||||||||
x =ln2 t,
y =2+lnt.
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
Из круглого бревна с диаметром сечения 30 см нужно выпилить брус с прямоугольным сечением. Найти размеры сечения бруса, чтобы площадь сечения была наибольшей.
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =x2ex; y =2− |
1 |
. |
2 |
||
|
x |
|
7
Вариант 5
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
−x |
|
|
x |
|
2 |
|
x |
||
y =2 |
; |
y =sin |
|
|
; y = |
4−x ; |
y =ln |
|
. |
2 |
2 |
||||||||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +x −12, x p0, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
||
f (x) = |
1−2x, |
0 ≤x ≤ |
|
|
, |
f (x) = |
|
|
. |
||
2 |
x +2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos x, |
x f |
π |
; |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
|
|
x −5 |
|
|
; |
lim |
|
x |
|
|
; |
|
lim |
2x2 −11x−+5 |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+3x −1 |
|
|
|
|
|
|
x−5 |
|||||||||||||||||
x→∞ x2 |
|
x→0 |
2− x +4 |
|
x→5 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
3x |
|
|
|
|
|
sin2x |
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|||
lim 1+ |
|
|
|
|
; |
|
|
lim |
|
|
|
; |
|
|
|
lim |
|
|
. |
|
|
|||||
x |
|
|
|
2 |
−x |
|
|
|
π −x |
|
|
|||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
||||||||
4. Найти производные функций. |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
tg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
||
y =e |
|
+ |
|
|
|
1+e ; |
u =t sin2t; |
y = |
|
; |
y =2 |
cos3x; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
sin x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
t |
2 |
−1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= 3 t +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции. Полотняный шатер объема 160 куб. м имеет форму прямого кру-
гового конуса. При каких значениях высоты и радиуса основания на покрытие шатра пойдет наименьшее количество полотна?
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =1−x2x3 ; y =ln(x2 −1)2 .
8
Вариант 6
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
|
1 |
x |
4 |
|
|
|
|||
y = |
|
|
|
+1; y =−sin2x; y = |
|
; |
y =log1 |
x. |
|
2 |
x |
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
||||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x ≤0, |
|
|
|
|
|||
|
x +2x, |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
||
f (x) = |
tgx, 0 px p |
4 |
, |
f (x) =− |
|
. |
|||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|||
|
2−x, |
x ≥ |
π |
; |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
|
x −2 |
; |
|
|
lim |
|
x −4 |
|
|
; |
|
|
lim |
x−4 |
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +x− |
20 |
|
||||||||||
x→∞ x2 −4 |
|
|
|
x→4 |
|
2x +1−3 |
|
|
x→4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
x+1 |
|
|
|
xtgx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
lim 1+ |
|
|
|
|
; |
|
lim |
|
|
|
; |
|
|
|
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
sin3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x→0 |
1−cos |
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. Найти производные функций. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y = |
|
3 cos |
x |
; |
u = |
2 cos(3t +1); |
|
y = |
x |
; |
y =(2x−1)2tg |
x |
|
; |
|||||||||||
|
|
|
ln x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
x =acost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
=bsint. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
От канала шириной 4 м отходит под прямым углом другой канал шириной 2 м. Какой наибольшей длины бревна можно сплавлять из одного канала в другой?
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y = |
x |
; y =5xe−x. |
3 |
||
|
(1+x) |
|
9
Вариант 7
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =x2 −6x +4; y =−cos2x; y = x; y =log1 (x+2).
3
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x p0, |
|
|
|
|
|
||||
|
e |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
f (x) = |
1+x, |
|
0 ≤x ≤ |
|
|
, |
f (x) = |
|
|
. |
|
|
|
4 |
x +3 |
||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
||||
|
tgx, |
x f |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
|
7x4 +x2 −1 |
; |
|
lim |
|
x+1−2 |
; |
|
|||||||
|
|
|
x2 −9 |
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
x5 −x3 |
|
x→3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
||||
lim 1+ |
x |
; |
|
lim 1− |
x |
; |
|
|
||||||||
x→1 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||
4. Найти производные функций. |
|
ln(x +1) |
|
|||||||||||||
y = 3 sin2x; u = |
2 |
sin(3t −1); |
|
y = |
; |
|||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x =cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y =sint. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
x2 −1 |
|
; |
|
3x2 −x−2 |
||||
x→1 |
|
|||
lim |
1−cos2 2x |
. |
|
|
|||
x→0 |
xsin x |
||
3 |
x |
||
y =x cos 2;
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
Полоса жести шириной 10 см должна быть согнута в виде открытого желоба. Каким должен быть центральный угол а, чтобы вместимость желоба (т.е. площадь сечения в форме сегмента) была наибольшей?
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y = x ln x; y = |
4x3 −x4 |
. |
|
8 |
|||
|
|
10