семестров.2
.pdf
Вариант 8
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =5x; y =1+sin x; y =1+ |
1 |
; y =log x. |
|
|
|||
|
x |
2 |
|
|
|
||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−x −12, |
x p0, |
|
|
|
|
||||
x |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
f (x) = |
3, |
|
0 ≤x ≤ |
|
, |
f (x) = |
|
|
. |
||
|
2 |
2x −5 |
|||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||
|
|
|
x f |
; |
|
|
|
|
|
|
|
tgx, |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
x2 +6x −2 lim x3 3x ;
x→∞ +
1
lim(1+sin x)sin x ;
x→0
2− x−3 lim x2 49 ;
x→7 −
limsin5x ; x→0 sin3x
4. Найти производные функций. |
|
x |
|
|
|
y =tg2 (2x +1); u =(2t +1)sin2t; |
y = |
|
; |
||
2 |
|||||
|
|
x −1 |
|
||
x =t −sint, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1−cost. |
|
|
|
|
|
x2 −3x+2 lim x2 2x 1; x→1 − +
lim cos2x.
x→π2 x
y =e−2x cos3x;
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
От канала шириной 3 м отходит под прямым углом другой канал шириной 2 м. Какой наибольшей длины бревна можно сплавлять из одного канала в другой?
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y = x ln x; y = |
4x3 −x4 |
. |
|
8 |
|||
|
|
11
Вариант 9
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
|
1 |
x |
y =2sin x; |
y = |
3 |
; |
y =1+log2 x. |
|
y =− |
3 |
|
; |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
2 |
+2x +1, x p2, |
|
1 |
|
|
||
x |
|
|
|
|
||||
f (x) = 4−x, |
2 ≤x pπ, |
f (x) =− |
|
|
. |
|||
x −2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
tgx, |
x ≥π; |
|
|
|
|
|||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
2x3 +7x2 −6 |
; |
lim |
5x −x |
; |
||
3x3 −x |
|
x −5 |
|||||
x→∞ |
|
x→5 |
|
||||
lim(1+sin x)ctgx ; |
|
lim |
sin2 x |
; |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
4x2 |
|
|
|
4. Найти производные функций. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
−2t |
|
|
1+x2 |
||
y = |
1+ln |
|
x; |
u =e |
sint; |
y = |
|
|
; |
||
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−x |
||
|
|
3 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y =2t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +x−12 lim x2 5x 6; x→3 − +
lim xtgx.
x→π4
y =e3xtg 2x ;
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
Из полосы жести шириной 8 см нужно сделать желоб с поперечным сечением в форме сегмента круга. Каким должен быть центральный угол сегмента, чтобы вместимость желоба, т.е. площадь сечения, была наибольшей?
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =1+e−x2 ; y =16(x3 −12x−2).
12
Вариант 10
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =2−x; y =cos x; y = |
2 |
|
; |
y =−log1 |
x. |
|||
x −1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
||||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x p0, |
|
|
|
|
||||
x +3x +2, |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
f (x) = |
2x −1, |
0 ≤x ≤ |
|
, |
f (x) =− |
|
|
. |
|||
2 |
x +3 |
||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||
|
|
x f |
; |
|
|
|
|
|
|
||
sin2x, |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
2x3 +3x −5 |
; |
lim |
x −1 |
; |
|
lim |
x2 −4x +4 |
; |
|||||
x2 −6x |
|
|
|
x−2 |
||||||||||
x→∞ |
|
x→1 |
x −1 |
|
x→2 |
|
||||||||
|
|
2 |
3x |
|
|
|
sin3x |
|
|
cos x |
|
|
||
lim 1− |
x |
; |
|
lim |
|
|
|
; |
lim |
x −1 |
. |
|
||
|
|
1−cos2x |
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
||||||
4. Найти производные функций. |
|
|
|
|
|||||||
π |
|
x |
|
|
2 |
|
1+cos2x |
|
x2 |
|
|
y =lntg |
+ |
|
|
; |
u =t |
|
sin(2t −1); y = |
|
; |
y =xe |
; |
2 |
|
1−cos3x |
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x =cosat,y =sinat.
5.Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
Впрямоугольном листе картона длиной 50 см и шириной 30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты, и из оставшейся части складывается открытая прямоугольная коробка. При какой стороне вырезаемого квадрата объем коробки будет наибольшим?
6.Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
13
y =xln x; y = |
1 |
+ |
2 |
. |
2 |
|
|||
|
x |
|
x |
|
Вариант 11
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =−3−x; y = |
1 |
sin x; |
y = |
3 |
4−x2 ; y =1+log1 |
x. |
|
2 |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
2 |
+4x, x p2, |
|
1 |
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|||
f (x) = 2, |
|
2 ≤x p3, |
f (x) = |
|
|
. |
|
|
2x −3 |
||||||
|
3−x, |
x ≥3; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
1+4x −x2 |
; |
lim |
x2 |
|
; |
|
|
lim |
x2 +x−12 |
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→∞ x +3x2 +x4 |
|
x→0 |
x2 +4 −2 |
|
x→−4 x2 +2x−8 |
|
|||||||||||||
|
5 |
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
π −x |
|
|
|
|||||
lim 1+ |
|
; |
|
lim |
|
|
; |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
x |
|
1−cos3x |
|
|
|
cos x |
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
||||||||
4. Найти производные функций. |
2x |
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||
y =ln 3 x +1; |
u =t sin(2t −1); y = |
|
|
y =e2t cos |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
; |
|
; |
|
|
|
|||||||||||
|
x +1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
x =tgt2,
y =cos2t.
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
На прямой между двумя источниками света силы F и 8F найти наименее освещенную точку, если расстояние между источниками 24 м. Освещенность Е точки обратно пропорциональна расстоянию ее от источника света.
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =33 x −x; y = xx+21.
14
Вариант 12
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =−2−x; y =tg2x; y = |
4 |
9−x2 ; y =log1 |
x. |
||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x p−3, |
|
|
|
||||
x +7x +12, |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
f (x) = |
2x −1, |
−3≤x ≤ |
|
, |
f (x) =− |
|
. |
||
|
|
||||||||
|
|
|
π |
|
2 |
|
|
x +1 |
|
|
|
x f |
; |
|
|
|
|
|
|
sin x, |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
x2 −3x +7 |
; |
lim |
3− 8+x |
; |
|
|
lim |
|
|
x2 −1 |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
+3x+2 |
|||||||||||
x→∞ 3x2 +x +1 |
|
x→1 |
x−1 |
|
|
|
|
x→−1 x2 |
|
||||||||
|
1+x 2x |
|
lim |
1−cos x |
; |
|
|
|
lim |
cos x |
. |
|
|
||||
lim |
; |
|
2 |
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|||||||
x→∞ |
x |
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||
4. Найти производные функций. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
y = |
3+ln2x; |
u =2t cos(2t +1); |
y = |
|
y = |
−x |
ctg |
|
|||||||||
|
; |
2 |
|
|
; |
||||||||||||
1+x2 |
|
2 |
|||||||||||||||
x = 4 t3 ,
y =sin2t.
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
При каких значениях высоты и радиуса основания конус будет иметь наименьшую площадь боковой поверхности, если образующая конуса равна 10 м.
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
15
y =x +e−x; y = x4 +27. 2x3
Вариант 13
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
|
1 |
x |
2 |
|
2 |
|
|||
y = |
|
|
|
; y =3sin2x; y = |
|
9 |
−x ; y =1−log1 |
x. |
|
3 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x p1, |
|
|
|
|
|
|
|
2x −x , |
π |
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) = |
2−x, |
1≤x ≤ |
2 |
, |
f (x) =− |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
π |
|
|
x −1 |
||
|
tgx, |
x f |
; |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
3x2 +6x −7 |
|
; |
|||
6x2 −7x +6 |
||||||
x→∞ |
|
|||||
|
|
5 |
x |
|
||
lim 1− |
x |
; |
|
|||
x→∞ |
|
|
|
|||
lim |
|
x2 +16 −4 |
; |
||
|
x2 |
|
|
||
x→0 |
|
|
|
|
|
lim |
|
xsin x |
; |
|
|
1−cos2x |
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
||
4. Найти производные функций.
y = ln3x; u =2sin(3t −2); |
y = |
sin x2 |
; |
|
x |
||||
|
|
|
2x2 −5x+2 lim x2 3x 2 ; x→2 − +
lim sin3x.
x→π2 x
y = 3 2x cos 2x ;
= t
x sin 2 ,
y =2tgt.
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
При каком значении высоты у и радиуса основания х конус будет иметь наибольший объем, если образующая конуса равна 5 м?
16
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
2 |
|
x3 |
−9x |
|
y =x ln x; |
y = |
|
|
. |
|
5 |
Вариант 14
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =x2 −2x +3; y =−tgx; y =1+ |
1 |
; y =−log x. |
|
|
|||
|
x |
2 |
|
|
|
||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(0,5) , |
|
x p0, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
3 |
|
|
|
f (x) = 1−2x, |
0 ≤x p |
|
, |
f (x) = |
|
|
. |
||||
4 |
x −2 |
||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||
|
|
x ≥ |
; |
|
|
|
|
|
|
||
sin2x, |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
x −6x2 |
; |
|
lim |
3x2 −4x+1 |
; |
|
|
lim |
1−cos x |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→∞ 1+3x2 |
|
|
x→1 |
x2 −1 |
|
|
|
|
x→0 |
|
xsin |
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
1 x+1 |
|
|
|
x2 −9 |
|
|
|
|
|
|
sin2x |
|
|
|
|||||||
lim 1+ |
|
|
; |
|
lim |
|
|
|
; |
|
|
|
lim |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
x − |
2 −1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
x |
|
|
x→3 |
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
||||||||
4. Найти производные функций. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y =sin |
2x; |
u = |
1 sin(2t +3); |
y = |
; y =tgxcos2x; |
|||||||||||||||||
ln(x −1) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x =cos2t,
y =1 sin 2t.
2
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
При каком значении высоты h и радиуса основания R вместимость конуса будет наибольшей? Образующая конуса l равна 120 см.
17
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =x −ln x; y = x21−1.
Вариант 15
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
2 |
|
|
1 |
2 |
y =x |
+4x +3; y =−tgx; |
y = |
3 |
9−x ; y =ln x. |
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
x |
x ≤2, |
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
1 |
|
|
||
f (x) = 4 |
−x, |
2 px pπ, |
f (x) = |
|
|
. |
|
2x −4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
cos x, |
x ≥π; |
|
|
|
|
||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
3x2 −5x +1 |
; |
lim |
1+3x − 1−2x |
; |
lim |
x2 +x−2 |
; |
|||||
|
x |
|
x2 −4 |
||||||||||
x→∞ |
2x +3 |
x→0 |
|
|
x→−2 |
|
|||||||
|
|
2 |
x |
|
1−cos x |
|
|
|
1 |
x |
|
||
lim 1+ |
|
; |
lim |
|
; |
|
lim 1+ |
|
. |
|
|||
x |
1−cos2x |
|
x |
|
|||||||||
x→∞ |
|
|
x→0 |
|
|
x→1 |
|
|
|||||
4. Найти производные функций. |
|
ln2 |
x |
|
|
|
y = cos3x; u =5sin(2t +1); y |
= |
; |
y =sin3x tgx; |
|||
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
x =2costy =sin 2t.
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции. Железный бак без крышки с квадратным основанием имеет объем
V=150 куб. м. При каких размерах бака на его изготовление пошло наименьшее количество листового железа?
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =x + |
ln x |
; |
y = |
3 |
− |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
x |
x |
3 |
||||||
|
|
|
|
x |
||||
18
Вариант 16
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =−3x; y =cos2x; y = |
3 |
4−x2 ; y =log |
x. |
|
|||
2 |
4 |
|
|
|
|
||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
2 |
−x −2, x ≤2, |
|
1 |
|
|
||
x |
|
|
|
|
||||
f (x) = x |
−2, |
2 px ≤π, |
f (x) = |
|
|
. |
||
x +3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
sin x, |
x fπ; |
|
|
|
|
|||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
x2 +3x −1 |
; |
lim |
|
x −1 |
|
; |
|
||
|
|
|
|
− |
|
|||||
x→∞ 2x2 +5 |
x→1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
1+x x |
|
1−cos4x |
|
||||||
lim |
|
; |
lim |
|
|
|
|
; |
||
|
|
2 |
|
|
||||||
x→∞ |
x |
x→0 |
|
x |
|
|
||||
4. Найти производные функций. |
|
|||||||||
y = |
3x3 −2x; |
u =t cos(2t −5); |
y = |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x = |
2cos t, |
|
|
|
|
|
|
|||
y =sin2t. |
|
|
|
|
|
|
||||
x2 −3x+2 lim x2 4x 3; x→1 − +
lim sin3x.
x→π2 x
ln x ; y =2x tg3x; x2 −1
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
Закрытый железный бак с квадратным основанием имеет объем V=200 куб. м. Какими должны быть высота и сторона основания бака, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала? 6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
2 x |
|
4 |
||
y =x e |
; |
y =x + |
|
. |
x |
||||
19
Вариант 17
1. Указать, какие из функций являются: а) ограниченными; б) монотонными; в) четными или нечетными; г) периодическими.
y =1−4x2; y =2cos2x; y =2− |
1 |
; y =log (x−1). |
|
|
|||
|
x |
2 |
|
|
|
||
2. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва. Построить графики функций.
|
2, |
x ≤0, |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
f (x) = |
2 , |
0 px p1, |
f (x) = |
|
. |
|
|||||
|
4−x2 , |
x ≥1; |
|
x −1 |
|
|
|
|
|
||
3. Вычислить пределы функций, используя преобразования функций и первый и второй замечательные пределы.
lim |
3x3 +8x −2 |
; |
|
lim |
|
x −3 |
|
|
; |
|
|
|||
x3 −x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→∞ |
|
|
x→3 |
3x −x |
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
lim(1+x)x ; |
|
|
lim |
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
2x |
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 1−cos2 |
|
|
||||||
4. Найти производные функций. |
|
cos3x |
|
|||||||||||
y = |
ln3 x; u = |
1 |
cos(2t −2); |
y = |
; |
|||||||||
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x =t −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =2t +1.
lim |
2x2 +5x−7 |
; |
||
x2 −1 |
|
|||
x→1 |
|
|||
lim(sin x +cos x).
x→π2
y = 3 x sin2x;
5. Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
Требуется изготовить коническую воронку с образующей l=10 см. Какой должна быть ее высота, чтобы объем воронки был наибольшим?
6. Средствами дифференциального исчисления сделать полное исследование функций, построить их графики.
y =ln(4−x2 ); y =2− |
1 |
. |
2 |
||
|
x |
|
20