- •ПОзиционные системы счисления
- •Цель работы
- •Позиционные системы счисления основные понятия
- •Различные типы позиционных систем счисления двоичная система счисления
- •Шестнадцатеричная система счисления
- •Представление чисел в различных системах счисления
- •Соответствие между представлением натуральных чисел в различных псс
- •Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления
- •Сложение
- •Вычитание
- •Умножение
- •Деление
- •Перевод чисел из одной системы счисления в другую
- •Преобразование представления числа из некоторой системы счисления в десятичную
- •Преобразование представления числа из десятичной системы счисления в другую
- •Пробразование целых чисел
- •Преобразование дробных чисел
- •Примерное соответствие между количествами цифр после точки в разных псс
- •Примеры преобразования представления произвольного числа
- •Преобразование между двоичной и шестнадцатеричной системами счисления
- •Вопросы для самоконтроля
- •Упражнения
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
- •ПОзиционные системы счисления
- •654007, Г. Новокузнецк, ул. Кирова,42 Издательский центр СибГиу
Примеры преобразования представления произвольного числа
Пример 1. Дано число 11001.10112 . Требуется представить его в десятичной ПСС. Согласно (4) можно записать:
11001.10112 =1∙24 + 1∙23 + 0∙22 + 0∙21 + 1∙20 +1∙2-1 + 0∙2-2 + 1∙2-3 + 1∙2-4 =
= 16 + 8 + 1+ 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 25.6875
Пример 2. Дано число 51.39810 . Получить его двоичное представление.
Будем отдельно выполнять преобразование целой и дробной части числа по правилам изложенным в предыдущих пунктах по формулам (13) и (16). Так, чтобы получить требуемую точность двоичного изображения необходимо получить 11 цифр в дробной части, а с учётом округления – 12 цифр.
Преобразование целой части Преобразование дробной части
56 | 0 0. | 398
28 | 0 0 | 796
14 | 0 1 | 592
7 | 1 1 | 184
3 | 1 0 | 368
1 | 1 0 | 736
0 1 | 572
Целая часть = 111000 1 | 144
0 | 288
0 | 576
1 | 152
0 | 304
Дробная часть = 0.0110011001
Результат: 111000.01100110012
Пример 3. Дано десятичное число . Получить его двоичное представление.
Двоичное представление целой части легко получить из таблицы соответствия. Оно равно 112 . Представление дробной части получим из следующего:
310/810 = 3∙2-3 = 112/(102)3 = 0.0112
Результат: 11.0112 .
Преобразование между двоичной и шестнадцатеричной системами счисления
Пусть выполняется соотношение
, (17)
где Q и P – основания ПСС, к - целое положительное число и Q < P. Тогда для перевода изображения числа х из Р-ичной ПСС в Q-ичную достаточно каждую цифру Р-ичного представления числа х заменить на k цифр Q-ичного изображения этого числа. Например, дано число а7.с316 . Требуется получить его двоичное представление. Согласно изложенному выше правилу (17), k = 4. Следовательно, каждая 16-ая цифра заменяется четырьмя двоичными разрядами (тетрадой) по таблице соответствия между двоичными и шестнадцатеричными представления чисел:
а7.с316 = 1010 0111. 1100 00112.
В случае обратного преобразования (из двоичной ПСС в шестнадцатеричную) действуют следующим образом: в исходной двоичной записи числа объединяются разряды в группы по 4 цифры (терады), двигаясь влево и вправо от точки, отделяющей целую и дробные части. При этом, в случае необходимости, добавляют левее самой старшей или правее самой младшей значащей цифры соответствующее количество нулей. После этого, каждая тетрада записывается одной цифрой в шестнадцатеричной ПСС.
Например, двоичное число 101110.112 можно записать в 16-ой ПСС в таком виде (к = 4):
0010 1110.11002 = 2Е.С16 .
Таким образом, шестнадцатеричная ПСС позволяет сжимать двоичные коды в более компактную запись. В то же время преобразования чисел из шестнадцатеричной в двоичную ПСС и обратно не требуют никаких вычислений.