Различные типы позиционных систем счисления двоичная система счисления

Произвольное число Х в двоичной системе представляется в виде полинома

, (5)

где каждый коэффициент a_i может быть либо 0, либо 1.

Примеры изображения чисел в двоичной ПСС:

1₁₀= 1₂ 2₁₀= 10₂

3₁₀= 11₂ 4₁₀= 100₂

5₁₀= 101₂ 6₁₀= 110₂

7₁₀= 111₂ 8₁₀= 1000₂

9₁₀= 1001₂ 10₁₀= 10102

11₁₀= 1011₂ 12₁₀= 1100₂

13₁₀= 1101₂ 14₁₀= 1110₂

15₁₀= 1111₂ 16₁₀= 10000₂

0.5₁₀= 0.1₂ 0.25₁₀= 0.01₂

Таблица сложения чисел в двоичной ПСС имеет вид:

0+0=0 1+0=1 (6)

0+1=1 1+1=10

Таблица умножения в двоичной ПСС имеет вид:

0·0=0 1·0=0 (7)

0·1=0 1·1=1

Шестнадцатеричная система счисления

В этой ПСС базисными являются числа от нуля до пятнадцати. Так как арабских цифр не хватает для обозначения всех базисных чисел, то пришлось ввести в употребление новые символы. Таким образом, для обозначения базисных чисел в шестнадцатеричной ПСС используется ряд символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f. Например, десятичное число 175.5 в шестнадцатеричной ПСС будет записываться в виде af.8₁₆. Действительно, согласно формуле (4):

af.8₁₆=1016¹ + 1516⁰ + 816^-1 = 160 + 15 + 8/16 = 175.5

Шестнадцатеричная ПСС, как правило, используется для более компактной записи двоичных чисел.

Представление чисел в различных системах счисления

Из формулы (4) следует, что любое число можно записать в любой допустимой ПСС. Вид числа при этом (коэффициенты a_i в (2) или (4)) зависит от основания ПСС – K. Например, ниже приведено представление ряда натуральных чисел в трёх различных ПСС.

Соответствие между представлением натуральных чисел в различных псс

Число в 10-ой ПСС	Число в 16-ой ПСС	Число в 2-ой ПСС
1	1	1
2	2	10
3	3	11
4	4	100
5	5	101
6	6	110
7	7	111
8	8	1000
9	9	1001
10	А	1010

Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления

Арифметические действия над числами в любой ПСС производятся по тем же правилам, что и в десятичной ПСС. Это связано с тем, что правила выполнения арифметических операций основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место для ПСС с основанием К. В этом разделе мы покажем примеры выполнения арифметических операций для двоичной ПСС.

Сложение

При сложении числа записываются столбиком (разряд под разрядом), затем цифры суммируются по разрядам. Если результат больше или равен основанию ПСС (2), то возникает единица переноса в соседний левый разряд, а в текущем разряде записываем остаток от деления результата на 2. В следующих примерах точка над разрядом будет означать единицу переноса из соседнего правого разряда.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Десятичная:15₁₀+ 6₁₀Двоичная: 1111₂ + 110₂

_{.

. . .}

15 1111

⁺6 + 110

21 10101