В.Д. Моисеенко Расчет неразрезной балки на изгиб

Министерство образования Российской федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кузбасский государственный технический университет»

Кафедра сопротивления материалов

РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКИ НА ИЗГИБ

Методические указания для выполнения расчетнографического задания по курсу «Сопротивление материалов» для студентов всех специальностей

Составитель В.Д. Моисеенко

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 2 от 14.10.02

Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 150200 Протокол № 3 от 11.11.02

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2003

1

1.ВВЕДЕНИЕ

Вконструкциях машин и инженерных сооружений применяются балки, на которые из конструктивных соображений наложено более связей, чем необходимо для их равновесия. Многопролетные балки, не имеющие промежуточных шарниров, называются неразрезными балками

иотносятся к числу статически неопределимых. Определить для таких балок реакции связей с помощью одних уравнений равновесия сил невозможно, так как число неизвестных реакций превышает число уравнений статики. Для решения статически неопределимых задач необходимо дополнительно к уравнениям равновесия сил составлять уравнения совместности деформаций. Таких уравнений должно быть столько, сколько «лишних» связей наложено на балку.

Взадании предполагается выполнение следующих расчетов:

1.Определение степени статической неопределимости.

2.Раскрытие статической неопределимости.

3.Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

4.Выполнение деформационной проверки.

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Расчет неразрезных балок производится обычно с помощью так называемых уравнений трех моментов.

На рис. 1, а показан участок, выделенный из многопролетной неразрезной балки, находящийся под действием некоторой нагрузки.

Опоры неразрезной балки обозначаются слева направо числами 0, 1, .., n–1, n, n+1 и т.д. Длины пролетов неразрезной балки обозначаются также слева направо l1 , l2 , ..., ln−1 , ln , ln+1 и т.д.

Основная система для неразрезной балки получается удалением из нее связей, препятствующих взаимному повороту смежных сечений балки над ее опорами, т.е. ставятся шарниры над опорами балки (рис. 1, б). Неизвестными будут изгибающие (опорные) моменты М0, М1, .., Мn-1, Mn, Mn+1 и т.д., возникающие в сечениях неразрезной балки над опорами. Неизвестные моменты считаются положительными, когда они вызывают растяжение нижних волокон балки.

2

а)

б)

в)

Рис.1. а) заданная система; б) основная система; в) схема для составления уравнения трех моментов

На рис.1, в показана схема составления уравнения трех моментов для промежуточной опоры n, которое имеет вид:

Здесь углы раскрытия на опоре n αno и βno от действия пролетной

нагрузки определяются по формулам из справочных таблиц (см. приложение).

При отбрасывании лишних связей нужно следить за тем, чтобы новая система была геометрически неизменяемой. Полученная таким образом статически определимая и геометрически неизменяемая система называется основной системой.

Если какой-либо конец балки жестко защемлен, то защемление заменяется дополнительным пролетом бесконечно большой жесткости и бесконечно малой длины (l = 0 ).

3

Если балка имеет консоль с какой-либо стороны, то консоль временно отбрасывается и заменяется моментом от заданной нагрузки, вычисленным относительно ближайшей опоры и приложенным на ней с соответствующим знаком.

Пример этих действий показан на рис. 2, б.

Рис. 2. а) заданная система; б) шарнирно-опертая балка

Решение задачи следует вести по следующему алгоритму:

1.Определить степень статической неопределимости.

2.Привести заданную систему к шарнирно-опертому виду.

3.Выбрать основную и эквивалентную системы.

4.Составить уравнения трех моментов для промежуточных опор.

5.Найти опорные моменты, решив систему уравнений трех момен-

тов.

6.Построить эпюру поперечных сил Q0 от пролетной нагрузки

(эп.Q0).

7.Найти и ввести поправки ∆Q от опорных моментов в эп.Q0.

8.Найти опорные реакции.

9.Построить эпюру изгибающих моментов, эп.Миз.

10.Выполнить деформационную проверку.

11.Подобрать сечение или проверить прочность балки.

4

ПРИМЕР

На рис.3, а представлена схема дважды статически неопределимой неразрезной балки и ее нагружение.

в)

Рис.3. а) неразрезная балка; б) шарнирно-опертая балка;

в) основная система; г) эквивалентная система РЕШЕНИЕ

5

1.Определяется степень статической неопределимости: n = m-c, где m – число неизвестных реакций, с – число возможных уравнений статики.

n = 5 - 3 = 2.

2.Заданная схема неразрезной балки (см. рис. 3, а) приводится к шар-

нирно-опертому виду, представленному на рис. 3, б. Для этого заделка на правом конце балки заменяется фиктивным пролетом l3 = 0 . Левая консоль балки мысленно отбрасывается, и действие ее заменяется изгибающим моментом на опоре 0, который равен:

M 0 = m − q1 1,252 =6 −10 1,252 = −5,25 кНм.

3.Нумеруются опоры и пролеты шарнирно-опертой балки по вышеуказанному порядку.

4.Выбирается основная система, для чего устанавливаются шарниры в сечениях над опорами. Основная система при этом представляет цепь шарнирных балок на двух опорах, а основными неизвестными будут изгибающие моменты в сечениях над опорами – опорные моменты

(рис. 3, в).

5.Под эквивалентной системой понимается основная система, загруженная заданными внешними силовыми факторами и неизвестными опорными моментами (рис. 3, г).

6.Составляются уравнения трех моментов по формуле (1) для промежуточных опор (рис. 3, г).

ОПОРА 1

где α1o – угол раскрытия на опоре 1 от пролетной нагрузки предыдущего, примыкающего к опоре 1 пролета l1 , т.е. от распределенной нагрузки q на части пролета и от силы Р (приложение):

6

β1o - угол раскрытия на опоре 1 от пролетной нагрузки последующего, примыкающего к опоре 1 пролета l2 , т.е. от распределенной нагрузки q2

где α2o - угол раскрытия на опоре 2 от пролетной нагрузки предыдущего, примыкающего к опоре 2 пролета l2 , т.е. от распределенной нагрузки q2 на всей длине пролета l2 (приложение):

Подставляются числовые значения в уравнение трех моментов для опоры 2:

Решается система уравнений трех моментов (3) и (5):

_____________________

27,5М1 = 181,6, откуда

Из второго уравнения системы получим:

2,5 6 ,6 +5 M 2 = −58,6 ,

M 2 = −755,11 = −15,02кНм.

M 2 =−15,02 кНм.

Проверка:

Найденные значения опорных моментов подставляются в первое уравнение системы:

15 6,6 + 2,5 (-15,02) = 61,5, 61,45 61,5.

7.Строится эпюра поперечных сил, эп.Q0, от пролетной нагрузки. Для этого каждый пролет рассматривается, как самостоятельная двухопорная балка, и эпюра поперечных сил для нее строится любыми ме-

8

тодами, которые использовались при расчете статически определимых балок. Эп.Q0 представлена на рис. 4, б.

Рис. 4. а) расчетная схема для определения поперечных сил Q 0; б) эпюра поперечных сил от пролетной нагрузки;

в) эпюра поправок ∆Q

8.Определяются поправки ∆Qi от действия опорных моментов к эпюре поперечных сил для каждого пролета по формуле

9

Поправки ∆Q для первого и второго пролетов равны:

Эти поправки к эпюрам ∆Q 0 показаны на рис.4, в.

Окончательная эпюра поперечных сил строится путем суммирования двух эпюр – эп.Q 0 и эп.∆Q. Одновременно с этим к окончательной эпюре поперечных сил пристраивается эпюра поперечных сил на консоли от действия приложенной на ней равномерно распределенной нагрузки (см. рис. 5, б ).

По окончательной эпюре поперечных сил определяются опорные реакции неразрезной балки, равные разности поперечных сил, действующих в сечениях, расположенных справа и слева от опоры в непосредственной близости от нее, т.е. величине скачка на эпюре поперечных сил в сечениях над опорами (рис. 5, б).

Изгибающие моменты в характерных точках неразрезной балки вычисляются по формуле

Расчет эпюры изгибающих моментов ведется в табличной форме

(табл.1).