Методы анализа сложных электрических цепей

постоянного тока: применение законов Кирхгофа, метод контурных токов. Уравнение баланса электрической мощности.

В электротехнике часто находят применение сложные электрические цепи с несколькими активными или пассивными элементами. Если такая цепь содержит много узлов и контуров, то расчет цепи на основе первого и второго законов Кирхгофа будет связан с решением большого количества уравнений.

Количество уравнений, составляемых по I закону Кирхгофа, равно:

Метод контурных токов (МКТ) позволяет уменьшить количество уравнений до числа:

Вводя понятие контурных токов, можно снизить порядок системы уравнений. Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах, направления и величины которых остаются неизменными. Зная значения контурных токов, можно легко найти токи во всех ветвях схемы.

При расчете электрических цепей с применением законов Кирхгофа необходимо:

1.Выбрать положительное направление токов во всех ветвях схемы;

2.Выбрать положительное направление обхода контура;

3.Составить уравнения по законам Кирхгофа;

по первому закону Кирхгофа составить nу-1 уравнение, по второму закону Кирхгофа составить nв –nу +1. Общее число уравнений равно числу ветвей в схеме;

4. Полученную систему уравнений решают относительно

для нахождения токов ветвей для на рисунке:

Имеем систему из шести уравнений с шестью неизвестными. Выразив токи I1, I2, I5 через I4, I6,I3, получим:

I1 I4 I6,

I2 I3 I4,

I5 I6 I3,

I3 R3 I4 R4 I6 R6 0,

I4 I6 R1 I6 I3 R5 I6 R6 E1,

I3 I4 R2 I3 R3 I6 I3 R5 E2.

Решая данную систему уравнений, можно найти токи ветвей.

Число совместно решаемых уравнений равно числу ветвей схемы (числу неизвестных токов ветвей), поэтому его применение не всегда целесообразно.

В качестве переменных в методе контурных токов принимаются контурные токи.

В схеме выделяют независимые контуры. В каждом контуре произвольно выбирают направление контурных токов. За контурные токи удобно принять токи внешних ветвей схемы, которые входят только в данный контур.

Уравнения составляются на основе второго закона Кирхгофа, выражая токи ветвей через контурные токи.

пишем второй закон Кирхгофа:

I4R4 I6R6 I3R3 0,

I6R6 I1R1 I5R5 E1,

I3R3 I5R5 I2R2 E2.

Выразим токи ветвей через контурные:

I11 I4, I22 I1 , I33 I2 , I6 I11 I22, I3 I33 I11, I5 I33 I22.

После преобразования получим следующую систему уравнений:

I11 R3 R4 R6 I22 R6 I33 R3 0,

I11 R6 I22 R1 R5 R6 I33R5 E1 ,

I11 R3 I22 R5 I33 R3 R2 R5 E2 .

Решив систему уравнений относительно контурных токов, находятся токи ветвей. Правильность решения по методу контурных токов осуществляется на основании второго закона Кирхгофа.

Уравнение баланса электрической мощности.

Баланс мощностей – это интерпретация закона сохранения энергии в электротехнике. Мощность генераторов энергии в электрической цепи равна мощности потребителей:

Где– источников ЭДС; мощность источников тока;

–токи источников тока;

–напряжения на зажимах источников тока.

Эти суммы алгебраические. Источник может как вырабатывать, так и потреблять электрическую энергию (заряд аккумулятора). Если направления ЭДС и тока через источник ЭДС совпадают, мощность источника записывают в уравнении баланса мощностей с положительным знаком. Он работает в режиме генератора. При противоположных направлениях ЭДС и тока мощность в уравнении баланса учитывают с отрицательным знаком (режим потребителя).

Определение знака мощности источника тока поясняет, на котором показана разметка зажимов источника тока, вырабатывающего (а) или потребляющего (б) электрическую энергию. Ток и напряжение U направлены в сторону уменьшения потенциала, что и позволяет разметить зажимы источника. Мощность потребителей (нагрузок)

Эта сумма арифметическая

Погрешность расчета не должна превышать (1–3) %.

В некоторых случаях для упрощения расчетов токов рационально заменить источники тока эквивалентными источниками преобразование.

Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов. Метод эквивалентного генератора, Метод наложения (суперпозиции).

Метод узловых потенциалов является наиболее общим и широко применяется для анализа цепей любой конфигурации. При расчете электрических цепей методом узловых потенциалов потенциал одного из узлов принимается равным нулю. Для всех остальных узлов составляют уравнения по первому закону Кирхгофа. Решив систему уравнений, определяют потенциалы узлов. Затем по закону Ома определяют токи ветвей. Для приведенной схемы

электрической цепи, составим уравнения по методу узловых

0

потенциалов. Примем потенциал узла d равным нулю, тd.е. запишем первый закон Кирхгофа для узловI4.а,в,сI6 .I1 0,

I3 I4 I2 J,

I5. I6 I3 J.

токи по закону Ома через потенциалы