Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский Университет им. С.Ю.Витте (бывш. Московский Институт Экономики, Менеджмента и Права)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vesnina / 199_теория вероятностей и математическая статистика

.pdf

Скачиваний:

213

Добавлен:

23.05.2015

Размер:

1.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Доверительный интервал (xB ; xB ) (5,4 1,24;5,4 1,24) (4,16;6,64).

Пример. Найти минимальный объём выборки, при котором с надёжностью

0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределённого признака по выборочной средней будет равна 0,2, если среднее квадратиче-

ское отклонение равно 2.

Решение. Дано: 0,95;				0,2;		0,2; найти n.
Из формулы t							t	2 2	. Из условия 2Ф(t) 0,95 находим
			находим n
			находим n					2
		n						2
t 1,96. Тогда n	1,962 22
					384,16 385.
	0,22				384,16 385.
	0,22

Пример. По заданным значениям характеристик нормально распределённого признака найти доверительный интервал для оценки неизвестного математи-

ческого ожидания: 0,95; n 12; S 1,5; xB 16,8.

Решение. t S . Из табл. 4 по данным γ и n находим t 2,20. Тогда n

2,20 1,5 0,95. 12

Доверительный интервал (16,8 0,95;16,8 0,95) (15,85;17,75).

§33. Понятие о критериях согласия

Статистической называется гипотеза о неизвестном законе распре-

деления случайной величины или о параметрах закона распределения, вид которого известен.

Нулевой (основной) гипотезой называется выдвинутая гипотеза Н0.

Конкурирующей (альтернативной) гипотезой называется гипотеза

Н1, которая противоречит нулевой гипотезе Н0.

Пусть имеется статистическое распределение выборки для случайной

величины Х:

хi

х1

х2

х3

…

хk

ni n

…

i 1

По виду полигона или гистограммы, сравнивая их с графиками дифференци-

альных функций распределения, делаем предположение о виде закона рас-

пределения случайной величины.

Сделанное предположение (гипотеза) подтверждается расчётами критерия согласия. Имеются различные критерии согласия: Хинчина, Колмогорова,

Пирсона. Например, критерий Пирсона (хи-квадрат)

2	k	(ni ni)2

		n
	i 1	i

позволяет сравнивать близость частот ni – данного статистического распре-

деления с теоретическими частотами ni, найденными с помощью функции распределения предполагаемого закона:


n np nP(x X x				) n[F(x	) F(x )] nf		xi xi 1		(x	x ),

i	i	i	i 1	i 1	i			2	i 1	i

i 0,1,2, ,k 1, где			f (x) – дифференциальная,			F(x)		– интегральная

функции предполагаемого распределения.

Если вычисленное значение критерия 2 не превосходит некоторого крити-

ческого значения 2кр, взятого по таблице, то выдвинутая гипотеза принима-

ется с заданным уровнем надёжности (вероятности) 1 . В противном случае гипотеза отвергается.

В табл. 6 приложения:

α – уровень значимости, это вероятность отвергнуть гипотезу; s – число степеней свободы, s k 1 r, где

r – число параметров предполагаемого распределения: r 2 для нормального распределения (а и σ), r 1 для показательного распределения (λ).

При проверке гипотезы Н0 возможны следующие ошибки:

ошибка первого рода – отвергнуть гипотезу Н0 при её правильности;

ошибка второго рода – принятие гипотезы Н0 при правильности альтерна-

тивной гипотезы Н1.

§34. Виды зависимостей между случайными величинами Х и Y

X, Y – количественные признаки, связанные между собой.

xi, yi – их возможные значения.

Функциональная зависимость – каждому значению признака Х соответст-

вует единственное значение признака Y: x y f (x).

Статистическая зависимость– каждомузначению признака Х соответствует статистическое распределение признака Y:

x	yi	\|	y1	y2 yk	.
	ni	\|	n1
				n2 nk

Корреляционная зависимость – каждому значению признака Х соответствует среднее значение признака Y (условная средняя yx ):

x yx f (x).

Аналогично: y xy (x).

xyx f (x) – уравнение регрессии у по х.

yxy (x) – уравнение регрессии х по у.

Примеры. Площадь квадрата Y есть функция от длины стороны квадрата Х: y x2, зависимость функциональная.

Товарооборот магазина Y зависит от числа торговых работников Х. Эта зависимость корреляционная.

Две основные задачи теории корреляции:

1.Определить форму корреляционной связи, то есть определить вид уравнения регрессии.

2.Оценить тесноту (силу) корреляционной связи.

§35. Корреляционная таблица

Все наблюдения числовых признаков X и Y с соответствующими частотами записываются в корреляционную таблицу.

Пример.

х	у	2	4	6	nх
1		2	–	4	6
3		–	5	6	11
5		3	9	3	15
nу		5	14	13	n = 32

Числа 1; 3; 5 (левый столбец таблицы) показывают наблюдаемые значения признака Х. Числа 2; 4; 6 (первая строка) показывают наблюдаемые значения

признака Y.

Числа внутри таблицы показывают частоту появления соответствующей пары значений (X, Y). Например, пара (1; 2) наблюдалась 2 раза, пара (3; 4) – 5 раз, пара (1; 4) не наблюдалась ни разу (соответствующая частота равна 0).

По данным наблюдений вычислены частоты nx, ny, n: nx – частота появления данного значения Х,

ny – частота появления данного значения Y,

n – объём выборки, количество всех наблюдаемых пар (X, Y).

Так, значение х = 1 наблюдалось 2 + 4 = 6 раз; значение х = 5 наблюдалось 3 + 9 + 3 =15 раз и т.д. Объём выборки n =6 + 11 + 15+ 32 или n = 5 + 14 + 13 + 32.

В общем виде корреляционная таблица выглядит так:

у1

у2

… уm

х1

n11

n12

… n1m

х2

n21

n22

… n2m

nx2

хk

nk1

nk2

… nkm

…

nxi ni1 ni2 nim nij;

nyj n1j n2 j nkj

nij;

j 1

i 1

n nx1 nx2 nxk nxi

или n ny1

ny2

nym

nyj .

i 1

j 1

y1nl1

y2nl2 ymnlm

yjnlj

Условные средние по х:

x xl

j 1

nl1 nl2 nlm

x n

xinit

Условные средние по у:

y y

1 1t

2 2t

k kt

i 1

n1t n2t nkt

nyt

§36. Виды уравнений регрессии

Вид регрессии

Уравнение регрессии

Сведениек линейномувиду

1. Линейная

ax b

cy d

Гиперболическая

x a bt

lna xlnb

Показательная

abx

lna A

Y A Bx

lnb B

Вид регрессии

Уравнение регрессии

Сведениек линейномувиду

lna bln x

4. Степенная

yx axb

lna A

Y A bX

ln x X

Параболическая

x a

x at b

Параболическая

x ax2

bx c

к линейной не сводится

В случаях 1–5 параметры линейной зависимости находятся по формулам, указанным в следующем параграфе. Для случая 6 применяется непосредственно метод наименьших квадратов.

Пример. Дана таблица


i	1		2		3		4			5		6		7	8	9
X	0,25		0,37		0,44		0,55		0,60			0,62		0,68	0,70	0,73
Y	2,57		2,31		2,12		1,92		1,75			1,71		1,60	1,51	1,50

		i		10		11	12	13			14		15	16	17
		X		0,75		0,82	0,84	0,87			0,88		0,90	0,95	1,00
		Y		1,41		1,33	1,31	1,25			1,20		1,19	1,15	1,00

Определить коэффициент корреляции rxy и уравнения линий регресии.

Решение. Составим расчётную таблицу:

i	Х	Y	X2	Y2	XY

1	0,25	2,57	0,0625	6,6049	0,6425

2	0,37	2,31	0,1369	5,3361	0,8547

3	0,44	2,12	0,1936	4,4944	0,9328

4	0,55	1,92	0,3025	3,6864	1,0560

5	0,60	1,75	0,3600	3,0625	1,0500

		6		0,62		1,71	0,3844			2,9241				1,0602

		7		0,68		1,60	0,4624			2,5600				1,0880

		8		0,70		1,51	0,4900			2,2801				1,0570

		9		0,73		1,50	0,5329			2,2500				1,0950

		10		0,75		1,41	0,5625			1,9881				1,0575

		i			Х	Y	X2				Y2			XY

		11		0,82		1,33	0,6724			1,7689				1,0906

		12		0,84		1,31	0,7056			1,7161				1,1004

		13		0,87		1,25	0,7569			1,5625				1,0875

		14		0,88		1,20	0,7744			1,4400				1,0560

		15		0,90		1,19	0,8100			1,4161				1,0710

		16		0,95		1,15	0,9025			1,3225				1,0925

		17		1,00		1,00	1,0000			1,0000				1,0000

				11,95		26,83	9,1095			45,4127				17,3917

					17		17
Из таблицы получаем: xi						11,95,	yi 26,83,
					i 1		i 1
17			17			17				17
xi2	9,1095,		xi2 9,1095, yi2 45,4127, xi yi										17,3917.
i 1			i 1			i 1				i 1
Теперь находим
			x	11,95/17 0,7029,				y	26,83/17 1,5782;
		2x	9,1095/17 (0,7029)2						0,0418,		x	0,2042,
		2y	45,4127/17 (1,5782)2						0,1806,		y	0,4250;
			Cxy		17,3917/17 0,7029 1,5782 0,0863;
				rxy	( 0,0863)/(0,2042 0,4250) 0,9943.

Вычисляем значение произведения | rxy | n 1; так как

| rxy | n 1 0,9943 4 3,9772 3, то связь достаточно обоснована.

Уравнения линий регрессии:

yx y rxy x (x x),

т.е. yx 1,5782 0,9943 0,4250(x 0,7029); 0,2042

yx 2,0695x 3,0329;

xx x rxy x (y y),y

т.е. xy 0,7029 0,9943 0,2042(y 1,5782); 0,4250

xy 0,4776y 1,4566.

Построив точки, определяемые таблицей, и линии регрессии, видим, что обе линии регрессии проходят через точку М(0,7029; 1,5782). Первая линия отсе-

кает на оси ординат отрезок 3,0329, а вторая – на оси абсцисс отрезок 1,4566.

Точки (xi, yi) расположены близко к линиям регрессии.

yx 2,0695x 3,0329;

xy 0,4776y 1,4566.

§37. Метод наименьших квадратов

Служит для нахождения параметров уравнения регрессии. Пусть даны соответствующие значения рассматриваемых признаков X и Y:

хi

х1

х2

…

хk

уi		у1		у2	…	уk
Подберём функцию y	f (x),		наилучшим образом отражающую зависимость
между признаками X и Y.

Подставляя хi в функцию, получим теоретическое значение Y (обозначим yiт ): yiт f (xi ).

(yiт yi ) – отклонения теоретических значений yiт от эмпирических значе-

ний yi.

Суть метода наименьших квадратов: параметры выбранной функции y f (x)

находят так, чтобы сумма квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических была наименьшей, т.е.

(yiт yi)2 min.

i 1

Нахождение параметров уравнения линейной регрессии:

yax b.

1.Из системы нормальных уравнений:

a xi2 b xi xi yi

i 1

a xi nb yi.

i 1

;

где 2x x2

y y R

(x x), где R

x y

§38. Показатели тесноты корреляционной связи

Н – корреляционное отношение (для линейной и нелинейной связи). R – коэффициент корреляции (только для линейной связи). Свойства:

		R			H Hy/x
1.	\| R\| 1	или 1 R 1.	1.	0 H 1.
2.	R 0	Х и Y не связаны линей-	2.	H 0	Y не связано с Х.

ной зависимостью (эта зависимость может быть нелинейной).

H Hy/x

3. | R| 1, т.е. R 1

Х и Y свя-

3. H 1

Y связано с Х функцио-

заны функциональной зависимостью.

нальной зависимостью.

Если R 0,

то связь прямая, т.е. с

ростом Х растёт Y. Если R 0, то

связь обратная, т.е. с ростом Х убы-

вает Y.

4. Чем ближе Н к единице, тем кор-

4. Чем | R|

ближе к единице, тем

линейная корреляционная связь тес-

реляционная связь теснее.

нее.

Всегда H | R|.

Шкала Чаддока

| R|, H

(0; 0,3)

[0,3; 0,5)

[0,5; 0,7)

[0,7; 0,9)

[0,9; 1)

теснота

слабая

умеренная

заметная

высокая

весьма

связи

высокая

межгр.

Формулы для вычислений: R

; H

x y

общ.

1. Ну/х – корреляционное отношение у к х, где

межгр2

(

)2 nxi

i 1

– межгрупповая дисперсия, характеризует разброс

условных средних

от общей средней

, общ2

. 2y

– общая дисперсия,

характеризует разброс фактических данных уi

от их общей средней

2. Нх/у – корреляционное отношение х к у, где

(

)2 nyj

межгр2

j 1

– межгрупповая дисперсия, характеризует разброс

условных средних

от общей средней

, общ2 . 2x

– общая дисперсия,

характеризует разброс фактических данных хj

от их общей средней

§39. Пример составления уравнения линейной регрессии и оценки

тесноты корреляционной связи

Пусть Х – оценка студента по математике в школе, Y – оценка по математике в первом семестре.

В результате опроса составлена следующая корреляционная таблица:

х	у	2	3	4	5	nx
3		–	1	–	–	1
4		4	26	25	5	60
5		–	12	22	19	53
ny		4	39	47	24	n = 114

Оценить тесноту корреляционной связи между Х и Y, вычислив коэффициент корреляции R. Составить уравнение линейной регрессии Y по Х.

Решение. Для вычисления R найдём																														x	,		y	,	xy		, x2,			y2, x, y.
																									k
																									xinxi
Общие средние:																				x					i 1			3 1 4 60 5 53													508		4,46;
Общие средние:																				x						n														114			4,46;
						yjnyj																				n			114											114
																		2 4 3 39 4 47 5 24																433
	y																	2 4 3 39 4 47 5 24																433
																																						3,80;
									n																		114							114				3,80;
									n																		114							114
							xi yjnij																	2 4 4 3 3 1 3 4 26 3 5 12 4 4 25 4 5 22
	xy											n
	xy																																	114
																																		114
			5 4 5 5 5 19																				1948			17,09;
																										17,09;
							114														114
							xi2nxi									32						1 42 60 52 53 2294
	x	2					xi2nxi									32						1 42 60 52 53 2294
									n																											20,12;
																					114										114					20,12;
																					114										114
							y2jnyj												22 4 32								39 42 47 52							24 1719
	y	2					y2jnyj												22 4 32								39 42 47 52							24 1719
																																										15,08;
											n																114															15,08;
											n																114							114


y									y2					y	2						15,08 3,802								0,81;


x									x2				x		2						20,12 4,462								0,52;
	R					xy					x	y					17,09 4,46 3,80												0,39				линейная связь умеренная.
	R																												0,39				линейная связь умеренная.
							x y														0,52 0,81
	y	x		ax b – уравнение линейной регрессии Y по Х.

a					xy					xy						17,09 4,46 3,80													0,61;			b				y	ax		3,80 0,61 4,46 1,08;
a																													0,61;			b				y	ax		3,80 0,61 4,46 1,08;
								2x													0,522

yx 0,61x 1,08.

Это уравнение выражает зависимость средней оценки по математике в первом семестре от оценки в школе.

Аналогично, xy cy d – уравнение регрессии Х по Y.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке vesnina

#
23.05.20157.91 Mб331 Лекция КОНЕЦ.ppt
#
23.05.20151.14 Mб213199_теория вероятностей и математическая статистика.pdf
#
23.05.2015713.23 Кб512 Лекция КОНЕЦ.ppt
#
23.05.20152.02 Mб373 Лекция КОНЕЦ.ppt
#
23.05.2015334.37 Кб314 Лекция КОНЕЦ.pptx
#
23.05.2015490.25 Кб245 Лекция КОНЕЦ.pptx
#
23.05.20154.7 Mб416 Лекция КОНЕЦ.ppt