vesnina / 199_теория вероятностей и математическая статистика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский Университет им. С.Ю.Витте (бывш. Московский Институт Экономики, Менеджмента и Права)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M(Xi)| ) 1.

.pdf

Скачиваний:

213

Добавлен:

23.05.2015

Размер:

1.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Р(Х 2) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2).

						m
По формуле Пуассона	P(X m) P (m)						e ( np). Таким образом,
По формуле Пуассона	P(X m) P (m)						e ( np). Таким образом,
					n	m!
						m!
имеем:
2	2	4	m
P(X 2) P1000(m)		4		e 4	0,0183 0,0733 0,1465 0,2381
P(X 2) P1000(m)				e 4	0,0183 0,0733 0,1465 0,2381
m 0	m 0	m!

(значения Pn(m) найдены по табл. 3 приложения).

3) n = 100, p = 0,8, m1 = 75, m2 = 90.

По условию задачи q = 1– p = 0,2.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Pn(k1 k k2) = (x2) – (x1),

где (x) – функция Лапласа,								x	k1	np	,	x	k2	np	.
где (x) – функция Лапласа,								x			,	x			.
								1		npq		2		npq
Вычислим x1 и x2:
x	k1		np		75 100 0,8		1,25,
x							1,25,
1			npq		100 0,8 0,2
			npq		100 0,8 0,2
x		k2		np	90 100 0,8			2,25.
x								2,25.
2				npq		100 0,8 0,2
				npq		100 0,8 0,2

Так как функция Лапласа нечетна, т.е. (–x) = – (x), получим

P100(75 k 90) = (2,25) – (–1,25) = (2,25) + (1,25).

По табл.2 приложения найдем:

(2,25) = 0,4938; (1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность P100(75 k 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

§20. Функция распределения вероятностей

случайной величины

Функцией распределения называется функция F(x), определяющая для ка-

ждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значе-

ние, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).

Свойства функции распределения:

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку[0; 1]: 0

F(x) 1.

Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция:

F(x2) F(x1), если x2 > x1.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение,

заключенное в промежутке [a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a X < b) = F(b) – F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X

примет одно определенное значение x, равна нулю: P(X = x) = 0.

Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины X принад-

лежат интервалу (a; b), то F(x) = 0 при x a; F(x) = 1 при x b.

Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения:

lim F(x) 0,	lim F(x) 1.
x	x

Свойство 4. Функция распределения непрерывна слева:

lim F(x) F(x0) .

x x0 0

Пример. В тёмной комнате 7 красных кубиков и 8 синих, не отличаемых друг от друга на ощупь. Мальчик вынес три кубика. Х – случайная величина числа красных кубиков среди вынесенных. Найти закон распределения, математи-

ческое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Построить график функции распределения F(x) = P(Х < x) и найти вероятность Р(Х < 2).

Решение. Возможные значения случайной величины Х: 0,1,2,3. Пусть им соответствуют вероятности Р0, Р1, Р2, Р3. Найдём их, используя непосред-

ственный подсчёт:

		C0	C3		1	8!		6 7 8			1 2 3	56
		C0	C3		1	3!5!		6 7 8			1 2 3	56
P		7		8		3!5!							,
0		C3			15!			1 2 3		13 14 15		455
		C3			15!			1 2 3		13 14 15		455
			15
			15		3!5!
					3!5!
	C1		C	2	7		8!	196
	C1		C	2	7		2!6!	196
P	7		8				2!6!		,
1		C3			455			455
			15

		C	2	C1		8	7!	168
		C	2	C1		8	2!5!	168
P		7			8		2!5!			,
2			C3			455		455
				15
	C		3	C	0	1	7!	35
	C		3	C	0	1	3!4!	35
P	7			8			3!4!		.
3			C3			455		455
				15

Проверка: 56 196 168 35 1. 455 455 455 455

Таким образом, закон распределения имеет вид:

					Х				0				1					2				3

					р						56		196					168				35
					р						455				455						455			455
											455				455						455			455
Найдём М(Х):
Найдём М(Х):					M(X) x1p1 x2 p2 x3 p3 x4 p4
					M(X) x1p1 x2 p2 x3 p3 x4 p4
				0	56		1					196	2 168						3 35			637			1,4.
				0			1															455			1,4.
					455		455						455			455						455
Дисперсию будем искать по формуле D(X) M(X2) M2(X).
Составим закон распределения для Х2.

					Х2			0					1				4					9
					р					56			196				168					35
					р					455				455						455			455
										455				455						455			455

M(X	2		196	4 168		9 35
		)									2,6.
		)	455	455							2,6.
			455	455	455

D(Х) = 2,6 – (1,4)2 = 0,64.

По определению функция распределения находится по формуле

F(x) P(X x):

0,			x 0			0,			x 0
	56						56
	56		, 0 x 1				56		, 0 x 1
	455		, 0 x 1						, 0 x 1
	455					455
	56 196						252
	56 196						252
F(x)				, 1 x 2					, 1 x 2
F(x)		455		, 1 x 2			455		, 1 x 2
		455					455
	252 168					420
					, 2 x 3				, 2 x 3
		455			, 2 x 3		455		, 2 x 3
		455					455
1,		x 3				1,		x 3

Построим график функции распределения:

420

455

252

455

По функции распределения Р(Х < 2) = F(2) = 252 . 455

§21. Плотность распределения вероятностей

непрерывной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной ве-

личины называется первая производная от функции распределения: f (x) F (x).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение,

принадлежащее интервалу (a; b), определяется равенством

P(a X b) f (x)dx F(b) F(a) .

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения F(x) =

f (t)dt .

Свойства плотности распределения:

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. f (x) 0.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения по всей

числовой оси равен единице: f (x)dx = 1.

§22. Числовые характеристики непрерывных

случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, воз-

можные значения которой принадлежат всей оси Ox, определяется равенством

M(X) = xf (x)dx, где f(x) – плотность распределения случайной величины X.

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения ко-

торой принадлежат всей оси Ox, определяется равенством

D(X) = [x M(X)]2 f (x)dx

или равносильным равенством

D(X) = x2 f (x)dx [M(X)]2 .

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины оп-

ределяется так же, как и для дискретной величины:

(X) D(X) .

Все свойства числовых характеристик, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Пример. Дана функция плотности распределения

0, x 0


f (x) A(x 2),0 x 2
	x 2
0,

Найти: 1) параметр А; 2) построить графики плотности и функции распреде-

ления; 3) Р(1 < x < 4); 4) М(Х), D(X), (X); 5) вероятность Р, что отклонение случайной величины от М(Х) не более 1.

										2
Решение. Так как f (x)dx 1,								получаем A(x 2)dx 1, так как
										0
2			(x 2)		2	2																			1
2					2	2
A(x 2)d(x 2) A						A(8 2) 6A, тогда 6A 1 A																					.
A(x 2)d(x 2) A						A(8 2) 6A, тогда 6A 1 A																					.
0		2				0																		6
0		x 0				0
0,		x 0
	1
	1
Итак, f (x)		(x 2),		0 x 2
Итак, f (x)	6	(x 2),		0 x 2
	6	x 2
0,		x 2

																				x
Найдём F(х), функцию распределения по формуле F(x)																						f (t)dt

		x
если x 0, F(x) 0dt 0,

		0				x	1				x	2		x
если 0 x 2, F(x)				0dx			1		(t 2)dt		x			x	,
если 0 x 2, F(x)				0dx			6		(t 2)dt						,
						0	6			12			3
						0
		0				2		1			x						2				2
		0				2					x						2				2
если 2 x ,		F(x) 0dx								(x 2)dx			0dt			x			x				4			2		1.
						0		6		2			12					3			0	12		3
						0				2											0

	0,		x 0;
				x
	x2
Итак,	F(x)				,	0 x 2;
		12
			3
	1,		x 2.

Построим оба графика

f(x)

F(x)

0 2

Найдём P(1 < x < 4).

Так как P(х1 < x < х2) = F(х2) – F(х1),

F(1)	x2	x			5		, F(4) = 1,

	12	3			12
	12	3	x 1		12
			x 1
P(1 < x < 4) = 1–				5			7	.
P(1 < x < 4) = 1–								.
			12			12

Найдём М(X) по формуле M(X) xf (x)dx.

								1	2									1 x3					2x2				2				10
								1	2									1 x3					2x2				2				10
		M(X)								x(x 2)dx																								.
		M(X)								x(x 2)dx																								.
								6													3		2								9
								6	0									6			3		2				0				9
									0									6									0
	Дисперсия вычисляется по формуле
		D(X) M(X2) M2(X);
					1	2										1				4		2x	3	2					14
						2														4			3	2
M(X2)							x2		(x 2)dx										x													;
M(X2)							x2		(x 2)dx																							;
					6										6							3				9
					6	0									6		4					3		0		9
						0											4							0
D(X)			14			10 2					26			.

			9					9
			9					9			81
Среднее квадратическое отклонение (X)																																			.
Среднее квадратическое отклонение (X)																																	D(X)		.

(x)				26		0,57.
(x)			81			0,57.
			81
Найдём				P		X M(X)																	X M(X)											1, следует
Найдём				P		X M(X)						1				. Так как							X M(X)											1, следует
M(X) 1 X M(X) 1															в нашей задаче													10		1 X							10	1 или	1	X	19	,
																										9										9			9	9
то необходимо найти
	1					19					19						1								1						1					935
P		X							F				F								1																	0,962.
P	9	X				9			F				F								1															972		0,962.
	9					9					9						9						81 12								27					972

§23. Примеры непрерывных распределений

Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной слу-

чайной величины X, если на интервале (a; b), которому принадлежат все воз-

можные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно

f (x) 1 ; вне этого интервала f(x) = 0. b a

Математическое ожидание случайной величины, равномерно распреде-

ленной в интервале (a; b), равно полусумме концов этого интервала:

M(X) a b . 2

Дисперсия случайной величины, равномерно распределенной в интер-

вале (a; b), определяется равенством

D(X) (b a)2 . 12

Hормальным называется распределение вероятностей непрерывной слу-

чайной величины X, плотность которого имеет вид

	1			(x a)2
	1				2
f (x)			e	2		,
				2
		2
		2

где а – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение X.

Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, веро-

ятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ), вы-

числяется по формуле

a	a	, (x) – функция Лапласа.
P( X )

Функция распределения случайной величины X находится по формуле

1	x a
F(x)	Ф	,

2

а вероятность отклонения нормально распределённой случайной величины от её математического ожидания менее чем на равна:


p	X a	2Ф	.

Правило трёх сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не пре-

восходит утроенного среднего квадратического отклонения с вероятностью

0,9973.

Пример. Масса вагона - случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратичным отклоне-

нием 0,9 т. Найти вероятность того, что вагон имеет массу не более 67 т и не менее 64 т. По правилу трёх сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемой массы.

Решение. Для нормального распределённой случайной величины

a	a	67 65		64 65
P( x ) Ф	Ф	Ф		Ф
			0,9		0,9

Ф(2,22) Ф(1,11) 0,4868 0,3665 0,8533.

По правилу трёх сигм наименьшая граница a 3 , наибольшая граница a 3 . Таким образом, 65 3 0,9 65 2,7 .

Наименьшая граница 62,3 т, наибольшая 67,7 т.

§24. Закон больших чисел

Hеравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной ве-

личины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше

положительного числа , не меньше чем 1	D(X)	:
	2

D(X)

P(|X – M(X)| < ) 1 .

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых слу-

чайных величин X1, X2,..., Xn имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по веро-

ятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е. если

– любое положительное число, то

ТеоремаБернулли(Закон больших чисел).Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число

испытаний достаточно велико, т.е. lim P(| m p| ) 1, где – любое сколь

n n

угодно малое положительное число.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке vesnina

#
23.05.20157.91 Mб331 Лекция КОНЕЦ.ppt
#
23.05.20151.14 Mб213199_теория вероятностей и математическая статистика.pdf
#
23.05.2015713.23 Кб512 Лекция КОНЕЦ.ppt
#
23.05.20152.02 Mб373 Лекция КОНЕЦ.ppt
#
23.05.2015334.37 Кб314 Лекция КОНЕЦ.pptx
#
23.05.2015490.25 Кб245 Лекция КОНЕЦ.pptx
#
23.05.20154.7 Mб416 Лекция КОНЕЦ.ppt