Metodichka_SMIFV
.pdf61
~ |
|
T |
|
N 1 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
(68) Sxx |
( ) |
|
|
x[n]exp( j nT) |
|
|
N |
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
3.3 Вейвлет-анализ Преобразование Фурье является классическим методом частотного анализа и
хорошо зарекомендовало себя при анализе стационарных сигналов (см. выше п. 2.2.1). В общем, его применяют не только для анализа функций зависящих от времени, но и для функций, зависящих от пространственной координаты. Основная идея преобразования Фурье заключается в том, что любая периодическая функция f (t) = (t + T) может быть представлено как сумма гармонических функций:
(69) f (t) (an cos( 2nt ) bn sin( 2nt )) |
||||
|
|
|
|
|
n 0 |
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
Для функции f (t) должно выполняться условие:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(70) |
|
|
|
f (t) |
|
|
|
2 |
|
f (t) |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Фурьепреобразование в общем случае определяется, как:
(71) F ( ) f (t)e j t dt .
Задача, которую решает преобразование Фурье, это выявление периодичности процесса, даже для тех случаев, когда она не видна из-за каких-то мешающих факторов, как, например, шумов (см. рис. 69).
Этот результат достигается за счет усреднения большого количества повторяющихся из-за периодичности особенностей процесса. При совпадении этих периодов с периодом комплексной экспоненты e-j t в формуле (71), получается пик на функции F( ).
Однако, существует большое количество нестационарных процессов, для которых Фурье – преобразование дает существенную погрешность. К таким относятся, например, процессы, у которых на каких-то промежутках времени происходит резкое изменение частоты и амплитуды колебаний. Если бы Фурье-преобразование могло подстраиваться под эти изменения, меняя период, за который оно анализирует сигнал, то должна была - бы появиться зависимость от времени, за которое анализируется частотный спектр, т.е.
F( ,t).
Простейшим способом для этого является введение в Фурье-преобразование функций, которые ограничивают ширину анализируемых участков, так называемых окон. Фурье-преобразование с функцией окна может выглядеть, например, так:
(72) F ( ,t0 ) f (t)g(t t0 )e j t dt .
Здесь g(t-t0) – функция окна, которая строится относительно момента t0.
62
Можно применить более сложное окно, например:
|
|
(t b)2 |
|
|
|
|
(73) F ( ,t0 ) f (t)e |
|
|
j t |
|
||
a2 |
e |
dt . |
||||
|
||||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Это окно представаляет собой колоколообразную гауссову кривую, которая выделяет на временой оси область около значения b, ширина этой области задается коэффициентом a. Пример такой функции приведен на рис. 39.
|
|
(t b)2 |
|
|
Рис. 73. Пример окна для функции e |
a2 |
|||
|
||||
|
|
. b=10, a=1;3;7 |
||
Рассмотренные выше окна имеют постоянную ширину. Если периодичность сигнала меняется со временем, то они ее изменение не выявят. Ширина окна должна быть функцией периодичности: для быстрых сигналов оно должно быть узким, а для медленных – широким.
Для анализа процессов, частотный спектр которых меняется во времени, применяют так называемый вейвлет-анализ (wavelet). В отличие от Фурьепреобразования, вейвлетанализ дает изменение частотного спектра во времени и в нем применяются окна, характеристики которых, зависят от характеристик сигнала, от частоты. При этом преобразовании функция f(x) раскладывается в специальные локальные функции, так называемые вейвлеты, образующие семейство функций вида:
63
|
|
|
|
|
1 |
t b |
||
(74) |
|
(t) |
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
a,b |
|
|
|
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Все элементы этого семейства функций задаются базисным вейвлетом a,b(t) (рис. 74) и образуются путем изменения масштабного параметра a и параметра сдвига b (рис. 75).
t2
Рис. 74. Базисный вейвлет (t). ( t ) (1 t 2 )e 2 (Mexican Hat, MHAT)
Этот вейвлет из-за его формы называют мексиканской шляпой (Mexican Hat, сокращенно MHAT). На рис. 41 представлены MHATвейвлеты, как семейство функций, зависящих от параметров a и b.
64
Рис. 75. Cемейство MHATвейвлетов при разных значениях масштабного параметра a и сдвига b.
Воздействие параметров a и b на вейвлет показано в таблице:
|
a |
|
1 |
Растяжение в направлении t при одновременном сжатии в направлении |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
Сжатие в направлении t , растяжение в направлении |
|
|
|||
|
|
|||
a 0 |
Отражение относительно t=0 |
|||
b 0 |
Сдвиг вправо |
|||
b 0 |
Сдвиг влево |
|||
С помощью функции a,b(t) определяется непрерывное вейвлетпреобразование:
|
|
|
|
|
|
|
|
(75)W (a,b) f (t) a ,b (t)dt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t b |
||
(76)W (a,b) |
a |
|
2 |
|
f (t) |
|
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратное преобразование
|
|
|
|
(77) |
f (t) C 1 |
|
|
|
a b |
||
|
|
||
65
t b W (a,b) a
a
12 dadb a2
Нормирующий коэффициент С в результате преобразования должен принять конечное значение, поэтому он должен удовлетворять условиям:
|
|
|
ˆ |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C |
|
|
( ) |
|
|
d |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(78) |
|
|
|
|
|
|
|
<∞ |
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следующим распространенным вейвлетом является вейвлет Морле (Morlet):
(t) e |
t 2 |
|
k02 2 |
|
2 |
eik0t e |
|
|
|
4 |
||||
(79) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это функция комплексного переменного, которая раскладывается по гармоническим функциям:
(80) g(t) eik0t ,
Действительная часть: gr (t) cos(k0t) , мнимая gi (t) i sin(k0t) . Параметр k0 задает периодичность вейвлета, a – ширину гауссовой кривой
.
На рис. представлен вейвлет Морле.
66
Рис. 76 Действительная (верхний график ) и мнимая (нижний график) части комплексного вейвлета Морле.
Ниже приводятся примеры вейвлетпреобразований для различных функций: 1. x=sin(t).
Рис. 77 Гармоническая функция x=sin(t)
На следующем рисунке представлен результат вейвлетпреобразования функции x=sin(t) с использованием вейвлета MHAT.
67
Рис.78 Результат вейвлетпреобразования функции x=sin(t) с использованием вейвлета MHAT. График построен линиями равного уровня.
Результат вейвлетпреобразования функции x=sin(t) в трехмерном пространстве:
Рис.79 График вейвлетпреобразования функции x=sin(t) в трехмерном пространстве
2. Гармоническая функция с частотой, меняющейся во времени, t1=exp(t); t=0,2·t;
y=sin(t1/t); и вейвлет-преобразования для такого процесса (рис. 39).
68
Рис.80. Частота меняется со временем
Рис.81. Вейвлетпреобразование для процесса, где частота меняется со временем с использованием вейвлета MHAT. График построен линиями равного уровня.
69
Рис.82. Вейвлетпреобразование для процесса, где частота меняется со временем с использованием вейвлета MHAT. График построен в трехмерном пространстве
Пример вейвлет-анализа изменения температуры вдыхаемого-выдыхаемого воздуха на входе в человеческий нос (рис. ), приведен на рис.
Рис. 83 Изменения температуры вдыхаемоговыдыхаемого воздуха на входе в человеческий нос
70
Рис. 84 Вейвлетанализ изменений температуры вдыхаемоговыдыхаемого воздуха на входе в человеческий нос с использованием вейвлета MHAT
Рис. 85 Вейвлетанализ изменений температуры вдыхаемоговыдыхаемого воздуха на входе в человеческий нос с использованием вейвлета MHAT. График построен в трехмерном пространстве