Metodichka_SMIFV

Рис. 6. Фазовые траектории для решений уравнения (3) при различных начальных условиях.

Тогда длины осей эллипса и его площадь будут зависеть от значений начальных условий. Это одно из важнейших фундаментальных свойств осциллятора без трения.

Пусть теперь у маятника появилось трение в точке подвеса. Тогда уравнение (3) надо переписать в виде:

(6) d 2 x 2 dx 2 x 0 dt2 dt

От уравнения маятника без трения оно отличается членом 2 dxdt ,

содержащим первую производную от координаты (скорость). Его решение

имеет вид (рис. 7):

(7) x xme t cos( t )

14

10

5

dx/dt 0

-5

-10

Рис. 10. Фазовые траектории маятника с трением в точке подвеса и с периодическим возбуждением

Системы, которые существуют за счет рассеивания или диссипации энергии, как в рассмотренном примере, носят название диссипативных систем. Диссипативная система в процессе своей эволюции всегда стремится попасть на аттрактор. Для системы может существовать несколько аттракторов. Например, для рассмотренного примера, аттрактором является также точка с координатами (0,0).

Следующие рисунки показывают, что происходит с осциллятором, когда он еще сильнее приближен к реальности, когда он становится нелинейным. Для этого достаточно чтобы в последнем члене левой части уравнения (8) коэффициент 2 умножался не на переменную x, а на sin(x).

Поведение маятника меняется в корне (рис. 11 – зависимость положения и скорости от времени, рис. 12 – фазовая траектория).

15

60

50

40

x (син) 30 dx/dt (кр) 20

Рис. 11. Зависимость положения и скорости от времени

x

Рис. 12. Фазовая траектория «нелинейного» маятника

16

Генератор (осциллятор) Ван-дер-Поля2

Представляет собой математическую модель электронного генератора:

коэффициент затухания; – частота собственных колебаний; x0- начальная амплитуда.

Параметр затухания 0 (1 x2 ) отрицателен при малых амплитудах

x02

x, положителен при больших. Тогда при <0 ограничивается рост энергии колебаний и при >0 компенсируются потери на трение (затухание).

У такого осциллятора колебания с малой амплитудой усиливаются, а с большой – затухают (рис. 13,14).

Van der Pol

2 Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978-992 (1927).

Рис. 14 Колебания с малой амплитудой усиливаются, а с большой – затухают. Вверху амплитуда, внизускорость

Ниже (рис. 15-20) приводятся решения в фазовом пространстве, полученные для разных значений и 0.

19

Van der Pol

Рис. 18 0=5; =4.176 Координата (сверху), скорость (снизу)

20

Van der Pol

Рис. 20 =4.176; 0=.1; Координата (сверху), скорость (снизу)