Metodichka_SMIFV
.pdf111
решетки =0 и df=2, т.е. вырождается в размерность обычной двумерной решетки.
У фрактальных материалов имеется максимальный масштаб , который ограничивает область фрактального поведения. На низких частотах, ниже частоты кроссовера c используют фононный спектр.
На высоких частотах, выше частоты кроссовера > c рассматривают фрактонный спектр.
112
Заключение
Методы обработки экспериментальных данных требуют возможно более полного извлечения содержащейся в этих данных информации. Традиционно для этого применяются такие методы, как:
статистическая обработка на основе гауссова распределения и метода наименьших квадратов;
преобразование Фурье и спектральный анализ;
фильтрация (аналоговая и цифровая).
Впоследние годы произошли существенные изменения в подходах к экспериментальным и теоретическим методам исследований. Стали активно изучаться нелинейные процессы различной физической природы, обладающие свойствами самоподобия и масштабной инвариантности как в реальном, привычном нам, метрическом трехмерном пространстве, подчиняющемся геометрии Эвклида, но и в так называемом фазовом пространстве.
Когда речь идет о свойствах самоподобия и масштабной инвариантности в реальном метрическом трехмерном пространстве, то такими свойствами обладают фракталы, свойствами которых обладают не только красивые геометрические построения, как, например в [9], но и многие природные и технические объекты, вихри в атмосфере и водоемах, течения в трубопроводах и т.д.
Для анализа объектов, имеющих фрактальные свойства, применяется вычисление размерности или показателя Херста. Эти параметры хорошо и в сжатой форме описывают содержание информации в исследуемом объекте. Если же объект эволюционирует, то эти параметры эволюционируют тоже
(см. рис. 124-127, глава 3).
Самоподобие и масштабная инвариантность проявляются также и в фазовом пространстве у так называемых диссипативных систем [7]. Внешне поведение таких систем выглядит неупорядоченно и хаотично и часто называется детерминированным хаосом. Для таких систем для исследования их динамики применяются статистические методы. Кроме хорошо известного преобразования Фурье для исследования их в частотной области применяется также вейвлетпреобразование, позволяющее провести анализ колебаний на ограниченном временном промежутке и получить зависимость не только от частоты, но и от промежутка времени, на котором выполнен анализ. Тогда оно может применяться для анализа нестационарных процессов.
Характерными признаками систем с детерминированным хаосом являются:
Квазипериодический спектр;
Фазовая траектория в виде странного аттрактора;
Дробная размерность фазовой траектории;
Положительная колмогоровская энтропия;
Положительные показатели Ляпунова;
113
Чувствительная зависимость от начальных условий (ЧЗНУ). Для вычисления из измеренных в ходе эксперимента данных таких
показателей, как размерность, колмогоровская энтропия и показатель Ляпунова требуется осуществить переход от измеренных данных к фазовой траектории. Для этого применяется так называемый метод задержек, разработанный и математически обоснованный Такенсом [5] и доведенный до практического алгоритма Грассбергером и Прокаччиа [4]. (см. п. 1.9).
114
Литература
1.Айзек Азимов. Занимательная мифология. Новая жизнь древних слов. М.:Центрполиграф, 2003.
2.E. N. Lorenz: Deterministic nonperiodic flow, J. Athmosph. Sc. 20, 130-141 (1963)
3.Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения — 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
4.Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica 9D, 189,1983.
5.Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. Dynamical Systems and Turbulence, Warwick 1980, Lect. Notes Math. 898, SpringerVerlag, Berlin, 1981, S.366-381.
6.Шустер Г. Детерминированный Хаос: Введение. Пер. с нем. М.: Мир, 1988. 253 с
7.Lewen, Ronald W.:Chaos in dissipativen Systemen/Ronald W. Lewen; BerndPeter Koch; Bernd Pompe.-Berlin:Akad. Verl., 1994.- 253 S.
8.S. Alexander, R. Orbach. Density of states on fractals : « fractons ». J. Physique - LETTRES 43 (1982) L-625 - L-631
9.Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. - М., 1993