Нечаев Моделирование процессов ядерной технологии 2007

Одиночный атом имеет строго определенные разрешенные орбиты для движения электронов. Перескок с орбиты на орбиту вызывает (или поглощает) фотон совершенно определенной энергии,

и поэтому спектр излучения или поглощения газов линейчатый.

Фотоны больших или меньших энергий свободно проходят через газ. Это обстоятельство собственно и делает газы прозрачными и плохо греющимися объектами. Особенно это относится к газам из одно- и двухатомных молекул.

В твердых телах и жидкостях атомы расположены близко друг к другу, взаимодействуют между собой, что приводит к расщеплению разрешенных уровней для электронов на множество почти непрерывных подуровней. Внешне это явление выражается в том, что спектр излучения (или поглощения) конденсированных тел является непрерывным; они хорошо греются лучистым теплообменом. Теоретически спектр излучения твердого тела при любой температуре содержит весь набор длин волн – от длинноволнового инфракрасного до дальнего ультрафиолета и рентгеновского излучения. Однако наибольшая интенсивность приходится при разумных в земных условиях (до 3000 градусов) температурах на инфракрасную часть спектра.

∞

Мощность излучения Q = ∫ I d ω , падающая на какую-либо

0

поверхность, называется лучистым потоком. Мощность излучения с единицы поверхности называют плотностью излучения: q = Q/F. При взаимодействии лучистого потока с телом в общем случае

происходит частичное поглощение потока телом (Q Adsorbtion), частичное отражение (QReflect) и частичное пропускание (QDeflect). По определению, имеем: QA + QR + QD = Q.

Обозначим QA/Q = A, QR/Q = R, QD/Q = D. Безразмерные величины A, R, D называются соответственно коэффициентами погло-

щения, отражения и пропускания тела. Очевидно, что

A + R + D = 1.

Рассмотрим некоторые предельные случаи.

•Если D = 1, то А = R = 0. Это справедливо для тела, называемого абсолютно прозрачным. Оно пропускает весь тепловой поток без взаимодействия, и абсолютно прозрачное тело не нагревается излучением.

•Если R = 1, то A = D = 0. Это справедливо для тела, называемого зеркальным, если оно полировано и отражает свет по законам геометрической оптики, или абсолютно белым, если оно шерохо-

21

вато и отражает свет диффузно. Такие теоретические тела тоже не нагреваются излучением.

• Если А = 1, то тело будет поглощать всю поступающую лучистую энергию, и называется оно абсолютно черным. Такие тела лучше всего греются излучением.

Большинство материалов, используемых на практике, не пропускают тепловое излучение (D = 0), не полностью его отражают (0<R<1) и не полностью поглощают (0<A<1). Такие тела носят на-

звание серых тел.

Излучение абсолютно черного тела. Закон излучения тел из-

вестен под названием закона Стефана – Больцмана и гласит, что плотность теплового излучения Qо пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры T :

где σо – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом излучения абсолютно черного тела или постоянной Стефана – Больцмана, равной 5.67-8 Вт/(м2·K4). В инженерной практике часто закон Стефана – Больцмана записывают как

qо = 5.67·(T/100)4 . (2.2.2)

Излучение серого тела. Его мощность определяется, исходя из предположения, что оно имеет спектр излучения, подобный излучению черного тела, но с долей интенсивности ε. Коэффициент ε получил название степени черноты. Он показывает, какую долю от излучения абсолютно черного тела qо составляет излучение серого q , т.е.:

Степень черноты по определению всегда меньше единицы, и зависит не только от материала тела, но и от состояния поверхности, ее обработки, температуры и других факторов и определяется экспериментально. С температурой степень черноты обычно воз-

а также сильно зависит от состояния (шероховатости, полировки, окисленности) поверхности. Степень черноты полированной поверхности примерно вдвое меньше этой величины для шероховатой.

22

2.3. Явленияпереносавгазах

Коэффициенты переноса: динамической и кинематической вязкости, тепло- и температуропроводности, диффузии. Внутреннее трение – вязкость. Кинематическая и динамическая вязкость. Теоретический расчет коэффициентов переноса в газах. Зависимость от давления, температуры и массы молекул. Интегралы столкновений. Эффективное сечение. Механизмы диффузии в газах и твердых телах. Энергия активации. Коэффициенты переноса в многокомпонентных газовых смесях.

Выше обсуждались явления теплопередачи, в частности, теплопроводность в твердых телах. В других курсах подробно излагается явление взаимопроникновения твердых веществ друг в друга – диффузия. Явления диффузии и теплопроводности описываются аналогичными математическими дифференциальными уравнениями. Т.е., они имеют одну математическую модель и носят общее название

явлений переноса – поскольку здесь идет перенос физических субстанций, а именно тепловой энергии и массы.

Перейдем теперь к рассмотрению математических моделей явлений переноса в газах и жидкостях, обладающими по сравнению с твердыми телами, еще и дополнительным свойством – текучестью, т.е. способностью легко изменять форму и неразрывно перемещать свои части относительно друг друга.

Естественно, что газы и жидкости, как и твердые тела, обладают свойствами переноса энергии и массы путем теплопроводности и диффузии, а каждое вещество имеет свои индивидуальные коэффициенты переноса – теплопроводности, температуропроводности

идиффузии.

Вгазах и жидкостях из-за явления текучести следует принять во внимание еще одну физическую субстанцию – количество движения подвижной среды как целого, когда средние значения скоростей молекул отличны от нуля, а проще говоря, когда жидкость или газ текут как целое. Поэтому в явления переноса следует включить

ивязкостные процессы – внутреннее трение.

При теоретическом изучении вязкостных явлений можно стро-

ить двоякую картину: либо поле скоростей, либо поле импульсов.

Соответственно при изучении этого явления используют два коэффициента пропорциональности, входящие в уравнение переноса:

23

-коэффициент динамической вязкости η, который имеет раз-

мерность [H.c/м2], используя который получаем поле импульсов;

-кинематической вязкости ν = η/ρ [м2/с], используя который, из решения дифференциального уравнения получаем поле скоростей.

Коэффициенты переноса – важные фундаментальные свойства веществ, зависящие от многих составляющих, и их желательно определять экспериментально. Однако часто экспериментальные данные отсутствуют или их трудно провести в реальных условиях. Поэтому при проведении вычислительного эксперимента часто встает задача теоретического расчета значений величин коэффициентов переноса – диффузии, вязкости, теплопроводности.

Поставленная задача достаточно хорошо решается для газов и жидкостей в молекулярно-кинетической теории, в разделе, где изучается взаимодействие частиц (атомов или молекул) между собой. При этом учитываются диаметры молекул, их жесткость и шероховатость, параметры силового взаимодействия – притяжения и отталкивания и др.

В зависимости от выбранной физической модели молекул и их взаимодействия, различные эффекты могут по-разному описываться математически (иметь разные математические модели). Более того, даже появляться и исчезать. Так, например, рассматривая молекулы как математические точки, вообще не может появиться ни одно явление переноса. Абсолютно гладкие и абсолютно упругие (с бесконечной жесткостью) молекулы-сферы не опишут явления вязкости. Если принять зависимость сил отталкивания молекул пропорционально пятой степени расстояния между их центрами (как сделал Дж. Максвелл в целях упрощения математических выкладок; такой газ даже называют максвелловским), то нельзя описать явление термодиффузии – явления возникновения градиента концентраций и потока массы под влиянием градиента температуры. Чем меньшую жесткость мы будем приписывать молекулам, тем сильнее будет температурная зависимость всех коэффициентов переноса из-за уменьшения эффективного сечения столкновения.

Будем придерживаться наиболее распространенной модели молекул по Леннард – Джонсу, по которой сферические молекулы при столкновении притягиваются с силой, пропорциональной шестой степени расстояния, и отталкиваются с силой, пропорциональной двенадцатой степени расстояния.

24

В соответствии с моделью Леннард – Джонса коэффициент динамической вязкости неполярного газа, состоящего из атомов или неполярных почти сферических молекул, следует рассчитывать по формуле:

η = 2.669.10-8(M.Т)0.5/(σ2ω ) [Н.с/м2], (2.3.1)

где М – молекулярная масса, Т – абсолютная температура, σ – диаметр молекулы, ω – интеграл столкновений, учитывающий деформацию молекул при соударениях; для абсолютно упругих сфер он тождественно равен 1. Истинное значение интеграла столкновений рассчитывается по формуле:

ω = 1.161/(Т*) 0.14874 + 0.52487exp(-0.7732Т*),

где Т* – приведенная температура, равная Т/(ε/k) и где, в свою очередь, ε – потенциал Ленарда-Джонса, k – постоянная Больцмана. Обычно табулируют сразу величину ε/k. Если ее значение неизвестно, то ее можно оценить по одной из следующих зависимостей:

ε/k = 0.77Ткр; ε/k = 1.15Ткип; ε/k = 1.92Тпл ,

где Ткр, Ткип, Тпл – критическая температура и температуры кипения и плавления, соответственно, при нормальном атмосферном давлении.

Диаметры молекул также табулируются в справочниках. Если же его нет в литературе, то за диаметр молекулы можно принять диаметр сферы, объем которой равен сумме объемов ионов, образующих данную молекулу.

Анализируя (2.3.1), видно, что коэффициент динамической вязкости не зависит от давления и зависит, но не очень сильно, от температуры. Причем эта зависимость не только явная, но и через интеграл столкновений: чем выше температура, тем выше кинетическая энергия молекул, тем больше они деформируются при столкновениях и тем меньше кажущийся диаметр (эффективное сечение) молекул.

Коэффициент кинематической вязкости ν [м2/с] связан с дина-

мической вязкостью очевидным соотношением (как скорость с импульсом): ν = η/ρ, где ρ – плотность газа. Поскольку плотность газа зависит прямо пропорционально от давления Р:

ρ = P.M/R/Т [кГ/м3],

где М – молекулярная масса компонента, R=0.082 [м3. атм/(кмоль. К)]

– газовая постоянная, то точно так же зависит от давления и коэффициент кинематической вязкости.

Выше мы привели формулы для расчета коэффициентов вязкости полностью теоретическим методом. Если известно эксперимен-

25

тальное значение коэффициента динамической вязкости при какойто температуре Тo, то его можно экстраполировать на нужную температуру по эмпирической формуле:

η= ηо(То+ C)/(Т + C)/(Т/То)1.15,

где С – опять же эмпирическая величина. Для полярных газов уравнение (2.3.1) также справедливо по форме, но с несколько другим значением величины интеграла столкновений:

ω2 =ω1+ 0.2δ2/Т *,

где δ2 – некоторая эмпирическая безразмерная величина, связанная с

характеристической температурой Дебая. Обычно табулируются температуры Дебая, но иногда и сами безразмерные величины.

Коэффициент теплопроводности λ, [Вт/(м·К)], для неполярного газа, рассчитывают как среднее арифметическое по двум уравнениям:

λ= 1320η(11.17 + (Cp – R))/M;

λ= 1000η(18.71 + (Cp – R))/M,

где Cp – молярная теплоемкость при постоянном давлении, [Дж/(моль·К)], R – газовая постоянная, здесь равная 8.314

[Дж/(моль·К)].

Коэффициент температуропроводности а [м2/с] химически

Эта же формула справедлива и для твердых тел, работой расширения которых при изменении температуры можно пренебречь, по-

этому для них теплоемкость при постоянном объеме Ср и теплоемкость при постоянном давлении Сv практически не отличаются.

Если в газовой среде идут химические реакции, то Cp в (2.3.2)

следует заменить на d∆Hсмеси/dТ – производную от теплосодержа-

ния смеси по температуре, вычисленную с учетом тепловых эф-

фектов реакций.

Такие нюансы связаны с тем, что через коэффициент температуропроводности рассчитывается температура, определяемая количеством тепла, пришедшем в данную точку тела. Если тело твердое (практически не расширяется), все тепло пошло только на его разогрев. Тогда для определения численного значения изменения температуры (какую температуру "привело" с собой пришедшее тепло) нужно использовать значение теплоемкости при постоянном объеме. Если тело состоит из химически инертного газа или смеси газов, то при определении температуры следует учесть работу расширения, на которую расходуется тепловая энергия, и в (2.3.2)

26

следует использовать теплоемкость при постоянном давлении. Если же при нагреве идут химические реакции (согласно принципа Ле Шателье, эндотермические, с поглощением тепла), то на их осуществление также потребуется некоторое количество тепла. Поэтому кажущееся значение теплоемкости возрастет, а коэффициент температуропроводности уменьшится. Для его расчета в (2.3.2) необходимо использовать изменение полного теплосодержания смеси с изменением температуры.

Рассмотренные выше явления теплопроводности и вязкости наблюдаются как в смесях, так и в чистых материалах – ведь это явления переноса, связанные с переносом некоторых характеристик материи, а именно энергии и импульса. Третье явление переноса, которое мы будем изучать – диффузия, связано с переносом реальной материи – вещества примеси в матрице основного. Для простоты мы будем рассматривать только разбавленные растворы, где легко идентифицировать растворитель и растворенные вещества. Это дает основание часто говорить не о взаимодиффузии, а просто

одиффузии.

Вбинарной смеси коэффициент взаимодиффузии D12 [см2/с]

описывается формулой из молекулярно-кинетической теории газов:

где P – давление, Па; σ12 = 0.5.(σ1 + σ2) – среднеарифметический диаметр молекул первого и второго сорта, или характеристическое расстояние между центрами разнородных молекул во время столкновения; M1 и M2 – соответственно массы молекул первого и второго сорта; интеграл столкновений для диффузии, рассчитываемый по формуле:

ω3 = 1.06.(T*)0.1561 + 0.193.exp(-0.476.T*) + 1.036.exp(–1.530.T*),

причем для расчета приведенной температуры используют среднегеометрическое значение параметров взаимодействия Леннард – Джонса: T * = T/[(ε1/k)(ε2/k)]0.5.

Характерным для коэффициента диффузии является его обратная зависимость от суммарного давления (см. (2.3.3)), ибо от него зависит длина свободного пробега молекул.

Диффузия в газах не является активируемым процессом, поскольку молекулам до их непосредственного контакта не надо преодолевать энергетических барьеров, как в твердом теле. Поэтому величина коэффициента диффузии в газах возрастает от температуры не по экспоненциальному, а по степенному закону. Как видно из (2.3.3), для абсолютно упругих сфер это степень 1.5; для реальных газов, из-за деформации молекул, учитываемой интегралом

27

столкновений, величина степени будет несколько большей и обычно лежит в пределах от 1.7 до 2.0. Чаще всего для практических расчетов значений коэффициента диффузии при произвольных P и Т, исходя из известной из эксперимента его величины Dо при неко-

торых Pо и То, используют экстраполяционную формулу:

D = Dо(T/Tо )1.75(Pо/P),

причем значение степени 1.75 может уточняться в процессе работы. Приведем еще эмпирическую формулу для расчета коэффициента диффузии в водороде при нормальных условиях (Т = 273К, P = 1 атм) компонента с молекулярной массой Мi, количество кото-

рого менее 5% объемных:

lg(Dоi) = 1.0507 – 0.8189lg(Mi).

Коротко остановимся на процессе диффузии в твердых телах.

Общепринято использование эмпирической экстраполяционной формулы зависимости коэффициентов диффузии в твердых телах и жидкостях, аналогичной формуле Аррениуса для скорости химической реакции как активируемого процесса:

D = Dо exp(- ∆E/(RT)),

где Dо – предэкспоненциальный множитель, ∆E – энергия активации процесса диффузии. Величины предэкспоненциального множителя и энергии активации зависят от природы примеси и матрицы, т.е. от механизма и конкретных особенностей процесса диффузии данной пары веществ. Природа же возникновения энергии активации диффузии в твердом теле или в жидкостях, в отличие от диффузии в газах, очевидна: твердые и жидкие тела потому твердые и жидкие, потому что их молекулы находятся в силовом поле их взаимного притяжения, и не могут свободно перемещаться в пространстве. Чтобы их переместить на новое место, надо сначала разорвать связи молекулы на прежнем месте, т.е. затратить энергию активации.

Кинематическая вязкость смеси связана с динамической соотношением:

где η [Н.с/м2] и ρ [кГ/м3] – соответственно динамическая вязкость и плотность смеси . Динамическая вязкость смеси приближенно рассчитывается по аддитивному закону для обратных величин :

∑ Mi xi

1/η = Σ(yi/ηi) = ηi ,

∑Mi xi

28

где yi = Mixi/Σ(Mixi) – массовая доля i-того компонента. Более точные значения вязкости смеси дает формула:

Плотность смеси газов рассчитывается из объединенного зако-

на газового состояния по формуле:

ρ =Σ(Мiхi.Pi)/(RT),

где хi – мольная доля i-го компонента, Pi [атм] – его парциальное давление, R = 0.082 [м3. атм/(кмоль.К)] – универсальная газовая постоянная, P – общее давление.

Величины Dj – коэффициенты диффузии каждого компонента в многокомпонентной смеси рассчитываются по формуле Уилке:

Коэффициент теплопроводности смеси рассчитывается из коэффициентов теплопроводности отдельных компонентов по формуле, аналогичной (2.3.4) для динамической вязкости:

Таким образом, имеем все необходимые формулы и уравнения для моделирования и расчета явлений переноса в газах.

29

Контрольныевопросы

1.Перечислите механизмы передачи тепла и массы.

2.Сформулируйте закон Фурье и 1-й закон Фика.

3.Что такое коэффициенты излучения, поглощения, отражения и пропускания?

4.Запишите закон Стефана – Больцмана для серых тел.

5.Дайте определение коэффициентов динамической и кинематической вязкости.

6.Дайте определение коэффициентов тепло- и температуропроводности, диффузии.

7.Что такое внутреннее трение?

8.Как зависит от давления, температуры и массы молекул коэффициент теплопроводности в газах?

9.Как зависит от давления, температуры и массы молекул коэффициент диффузии в газах?

10.Что такое интегралы столкновений и эффективное сечение?

11.В чем различие механизмов диффузии в газах и твердых телах?

12.Как рассчитываются коэффициенты переноса в многокомпонентных газовых смесях?

30