Нагорнов Обратные задачи палеотермометрии 2008

венные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля,

интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Это классическая

101

В системе (12.9) неизвестные коэффициенты

Число уравнений – бесконечно; число неизвестных 2m+1, следовательно, система в общем случае решения при произвольных

bk не имеет. Таким образом, исследуемая задача сводится к реше-

нию СЛАУ вида:

AC b ,

где C (C1,...,Cn ) ; b (b1 , ...,bk ,...) ;

A ( ij ), i 1, 2...., j 1, 2,..., n ; n 2m 1 – число неизвестных.

Для исследуемой задачи доказана теорема единственности. Поэтому однородная задача имеет только нулевое решение. Докажем, что в этом случае есть и устойчивость в следующем смысле.

Пусть имеются два решения C (1) и C (2) , отвечающие столб-

пространство числовых последовательностей (b1 , ...,bk ,...) , сходящихся к нулю (так как коэффициенты Фурье стремятся к нулю), с матрицей A ( ij ) в некотором базисе.

Найдем Im – образ этого оператора.

Утверждение. Пусть – какой-либо базис Rn . Тогда векторы e1 , ..., en образуют базис в Im .

Доказательство. Возьмем произвольный вектор z Im . По определению Im x Rn такой, что x z .

102

Разложим вектор x по базису e1 , ...,en : x x1e1 x2e2 ... xn en . Тогда в силу линейности оператора :

z x x1 e1 x2 e2 ... xn en , то есть разложение существует.

Докажем единственность такого разложения, т.е. линейную

имеем 1e1 2e2 ... n en 0 , откуда в силу линейной независимости e1 , ...,en следует, что 1 2 ... n 0 и утверждение

доказано.

Следствие. Im – конечномерное (n-мерное) подпространство C0 .

Обозначим Vn Im , тогда имеем, что линейный оператордействует из Rn в Vn , причем имеет нулевое ядро. Отсюда сле-

C (2) C (1) 1 b(2) b(1) .

Таким образом, если для двух “близких” переопределений существуют решения обратной задачи в виде отрезка ряда Фурье, то эти решения “близки”.

“Вариационная” постановка обратной задачи.

U (x,t), f (t) ?

103

При фиксированном разбиении отрезка функции Vi (x,t) определе-

ны однозначно как решения прямой задачи (12.13). В силу линейности (12.10) решение U (x,t) представимо в виде

N

U (x,t) CiVi (x,t) .

У этой задачи существует единственное решение.

104

Единственность следует из линейной независимости функ-

105

13. МЕТОДЫ РЕКОНСТРУКЦИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ ПО ДАННЫМ ИЗМЕРЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПРОФИЛЯ В СКВАЖИНАХ ДЛЯ ЛЕДНИКОВ И ГОРНЫХ ПОРОД С ПЕРЕМЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ СРЕДЫ

Рассмотрим методы реконструкции температуры поверхности по данным измерений температурного профиля в скважинах для ледников и горных пород с переменными свойствами среды. К этим методам относятся: метод контроля [MacAyeal et al., 1991], метод Монте-Карло [Dahl-Jensen et al., 1998, Mosegaard, 1998], метод регу-

ляризации по Тихонову [Нагорнов и др., 2001; Коновалов и др., 2001] и метод реконструкции с использованием дополнительных косвенных источников изменений климата.

Так как с математической точки зрения прямая задача (4.41) для горных пород является частным случаем прямой задачи (9.8) для ледников, рассмотрим методы реконструкции температуры поверхности для ледниковых скважин.

13.1. Метод контроля

Метод контроля представляет собой аналог метода неопределенных множителей Лагранжа. Этот метод использовался для реконструкции колебаний температуры поверхности ледника по данным измерений температуры в скважине Dye-3 на юго-востоке ледникового покрова Гренландии [MacAyeal et al., 1991].

В случае реконструкции температуры поверхности исходным минимизируемым функционалом является функционал, состоящий из невязки и интеграла, определяющего среднеквадратичное отклонение искомой температуры поверхности от некоторой

заданной функции (t) [MacAyeal et al., 1991]:

с точностью входных данных (экспериментальных значений температуры в скважине). В качестве функции (t) может быть задана

усредненная температура поверхности в прошлом. Тогда метод кон-

106

троля позволяет восстановить колебания температуры на временных масштабах, по которым производится усреднение (функцией (t) ).

Дополнительными условиями, связывающими остаточный профиль температуры V (z,t f ) , являются уравнение, описывающее процесс

распространения тепла, начальное и граничные условия. С учетом этих условий задача реконструкции температуры поверхности сводится к минимизации следующего функционала (функции Лагран-

жа) с множителем Лагранжа (z,t) :

Дополнительные соотношения, включающие уравнение переноса тепла, граничное условие у основания ледника и начальное условие, представляют собой условия равенства нулю соответствующих вариаций функционала (13.2):

Проинтегрировав по частям интеграл, содержащий уравнение переноса тепла, в функционале (13.2), преобразуем функционал к следующему виду:

107

H (z)C(z) (z,t f )V (z,t f )dz

0

Приравняем к нулю соответствующие вариации функционала:

Тогда для определения множителя Лагранжа (z,t) получим следующую систему уравнений:

z

(0,t) 0 ;

108

(z)C(z) (z,t f ) V (z,t f ) (z) 0 .

Атемпература поверхности как решение обратной задачи

Таким образом, алгоритм решения обратной задачи методом контроля будет следующим.

1. Задается приближенное значение изменений температуры поверхности 0 (t) , например, в качестве 0 (t) может быть задана

усредненная температура поверхности в прошлом.

2. В качестве функции (t) берется значение с текущего шага итерации: (t) n (t) и вычисляется решение прямой задачи

вычисляется множитель Лагранжа n (z,t) .

4.Из (13.7) с полученным значением множителя Лагранжа

n (z,t) определяется значение изменений температуры поверхно-

сти на следующем шаге итерации n 1(t) .

Методы контроля на одном из этапов процедуры минимизации функционала содержат решение для множителя Лагранжа

(z, t) , которое неустойчиво по отношению к ошибкам измерения

профиля температуры. Чтобы проиллюстрировать чувствительность восстановленной температуры к ошибкам входных данных, рассмотрим тестовую задачу реконструкции известной температуры поверхности, используя следующие исходные данные [MacAyeal et.

1 1, 4 10 6 м2 с-1 , Q 0,05 Вт м 2 , которые являются харак-

терными значениями соответствующих величин для Гренландии. Если в качестве температуры поверхности ледника взять один период синуса (кривая, соответствующая ∆T=0 °C на рис. 13.1), а затем по скважинному профилю температуры, соответствующему этой граничной температуре, снова восстановить с помощью методов контроля поверхностную температуру, внеся случайную ошибку различной амплитуды (см. рис. 13.1), то получается следующий результат. При ошибках измерения температуры в скважине порядка 0,01°C, восстановленная температура поверхности значительно отличается от истинной температуры. Причем, если не вносить ошибку в профиль температуры при t=tf, то ошибка восстановления пренебрежимо мала (рис. 13.1). Таким образом, для практической обработки реальных экспериментальных данных, методы контроля дают неудовлетворительный результат.

Рис. 13.1. Исходный сигнал и его восстановленные значения при различных случайных ошибках в измеренном температурном профиле в скважине.

110