Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007
.pdf
иметь цилиндрические выемки диаметром, равным диаметру отверстия в диафрагмах 2a, и глубиной в половину толщины диафрагмы t/2), возможны резонансы на видах колебаний, определяемых из выражения (6.5), но параметр р принимает в данном случае значения p = 0, 1, ... , N – 1. Соответственно в таком резонансном макете нельзя возбудить вид колебаний π.
Частоту вида колебаний 0 можно приближенно определить как критическую частоту волны типа Е01 в волноводе круглого сечения, т. е.
f = |
с |
= |
114,73 |
[МГц], |
(6.6) |
|
2,613b |
|
b |
||||
|
|
|
|
|
||
где радиус волновода b определен в метрах.
Еще одним важным параметром ускоряющих структур, который может быть определен из дисперсионной характеристики, является коэффициент связи. Приближенно его значение вычисляется из
значений частот видов колебаний 0, π/2 и π. |
|
|||||
kсв = |
|
fπ − f0 |
|
|
. |
(6.7) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
fπ 2 |
|
|||
В периодических структурах поле бегущей волны можно представить в виде суммы пространственных гармоник. Так, для продольной составляющей электрического поля справедлива запись
Ez (r,ϕ, z,t)= ∞ ∑Ezp (r,ϕ)exp[i(ωt − kzp z)], |
(6.8) |
p=−∞ |
|
где kzp = kz0 + 2Dπp ,
Ezp (r,
Фазовая скорость
|
1 z +D |
|
|
|
|
|
2πp |
|
||||
ϕ)= |
|
∫z |
Ez (r,ϕ, z)exp i |
|
z dz . |
|||||||
L |
D |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
р-й гармоники определяется как |
||||||||||||
Vфp |
= |
ω |
= |
|
ω |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
2πp |
|
|
|||||||
|
|
|
kzp |
kz0 |
+ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(6.9)
(6.10)
Очевидно, что значение групповой скорости Vгр = dω/dkz0 на одной частоте для всех пространственных гармоник одинаково.
71
В случае ускоряющих структур с цилиндрической симметрией, возбуждаемых на электрических типах волн Emn, компоненту продольной составляющей электрического поля вблизи оси для p-й ускоряющей пространственной гармоники в структуре без потерь можно записать в виде
Ezp (r,ϕ, z,t)= rn cos(nϕ) ∑∞ |
Ap Jn (kкр. pr)exp[i(ωt − kzp z)], |
(6.11) |
|
|
p=−∞ |
|
|
где |
|
|
|
kzp2 |
|
ω 2 |
(6.12) |
= |
− kz20 . |
||
|
|
c |
|
В случае аксиально-симметричных электрических волн (n = 0) в уравнении (6.11) rn =1, cos nϕ =1.
2. Дисперсионное уравнение
Используя изложенные представления электромагнитного поля в периодической ускоряющей структуре в виде пространственных гармоник, можно изобразить дисперсионную зависимость в виде рис. 6.3. Очевидно, что с ростом номера пространственной гармоники фазовая скорость уменьшается, а групповая скорость остается неизменной.
1/λ 
p= -1 |
p=0 |
p=1 |
ϕ−1 ϕ0
ϕ1
-1/D |
-1/2D |
0 |
1/2D |
1/D |
3/2D 1/λB |
Рис. 6.3. Дисперсионная зависимость круглого диафрагмированного волновода в низшей полосе пропускания
72
Для основной гармоники (p = 0) аксиально-симметричной волны (n = 1) выражение (6.11) упростится:
Ezp (r,ϕ, z,t)= J0 |
|
ν |
|
|
(8.14) |
|
|
01 |
r exp[i(ωt − kz0 z)], |
||
|
|
b |
|
|
|
где ν01 = 2,403 − первый корень функции Бесселя первого порядка.
Дисперсионное уравнение для однородных периодических структур можно получить из эквивалентной схемы. Для круглого диафрагмированного волновода, являющегося предметом исследования в настоящей работе, оно имеет вид
fq = |
fπ 2 |
|
, |
(6.14) |
|
|
πq |
||||
1 |
|
|
|||
± kсв cos |
|
|
|
||
|
|
N |
|
|
или |
fπ 2 |
|
fθ = |
|
|
1 ± kсв cosθ . |
(6.14а) |
Частота вида колебаний с индексом q обозначена как fq, а частота вида колебаний π/2 – как fπ/2. Заметим, что для ускоряющих структур с положительной дисперсией, в частности для КДВ, знак под корнем перед коэффициентом связи должен быть положительным. Для ускоряющих структур с отрицательной дисперсией – знак отрицательный.
Можно построить дисперсионную кривую и определить частоту любого вида колебаний, если известны частоты видов колебаний 0, π/2 и π. Для этого из уравнения (6.7) вычисляется коэффициент связи. Подставляя его значение и значение частоты вида колебаний π/2 в уравнение (6.14), можно определить частоту любого выбранного вида колебаний Θ.
Групповую скорость на любой частоте можно рассчитать, продифференцировав выражение (6.14а) по виду колебаний в соответствии с определением групповой скорости.
βгр = |
1 |
dω |
= |
D dω |
= |
Dπ |
kсв sin θ(1+ kсвсosθ)−3 2 , (6.15) |
|
c dθ |
|
|||||
|
с dkz |
|
λπ 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
73 |
|
Для вида колебаний π/2 можно получить связь фазовой и групповой скоростей в виде
βгр |
|
πk |
|
|
= |
св . |
(6.16) |
βф |
4 |
|
Рассмотрим резонансный макет ускоряющей структуры с половинной длиной конечных ячеек. Если макет имеет общую длину в N ячеек, то с точки зрения эквивалентной схемы он представляет собой цепочку из N+1 связанных резонаторов. Амплитуда продольной составляющей электрического поля в середине n-й ячейки на оси структуры на виде колебаний с индексом q запишется в виде
E |
zn |
|
|
z |
|
|
nD |
|
||
|
= cos(kz z)= cos θ |
|
|
= cos |
θ |
|
|
= cos(θ n), (6.17) |
||
Ez0 |
|
D |
||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
||||
где n = 0, 1, … N. Значение n = 0 соответствует величине поля на торцевой пластине.
3. Погрешности определения параметров дисперсионной характеристики
Точность определения резонансных частот различных видов колебаний зависит как от точности измерительной аппаратуры, так и точности изготовления ячеек ускоряющей структуры. Если основные размеры 2а, 2b, L, t выполнены с допусками δ2а, δ2b, δL, δt, то возможная случайная ошибка измерения резонансной частоты из-за таких допусков может быть рассчитана по формуле
dfq |
= ± |
1 |
|
dfq |
δqi |
, |
(6.18) |
||
f |
q |
f |
q |
∑dq |
|||||
|
|
|
i |
i |
|
|
|
||
где δqi = δ2а, δ2b, δL, δt и dfq/dqi – производные частоты вида колебаний с индексом q по геометрическим размерам круглого диафрагмированного волновода. Значения этих производных можно вычислить по параметрическим графикам, приводимым в справочной литературе.
При проведении резонансных измерений нужно учитывать также ошибку, связанную с изменением температуры резонансного макета
74
δfТ |
= α T , |
(6.19) |
f |
|
|
где α – температурный коэффициент расширения материала, из которого изготовлен резонансный макет, T – изменение температуры.
4. Добротность резонансного макета
Другим электродинамическим параметром ускоряющей структуры, который подлежит измерению в настоящей работе, является добротность. Общее энергетическое определение добротности описывается выражением
|
|
|
Q = ω |
W |
, |
(6.20) |
||||
|
|
|
P |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где W – накопленная в резонаторе энергия; Р – рассеянная в резо- |
||||||||||
наторе мощность, причем |
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
W = |
∫E2dV , |
(6.21) |
||||||
|
|
|
|
2 |
V |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P = |
RS |
∫H 2ds , |
(6.22) |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
S |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
RS = πZ0 |
(δ λ), где δ = |
|
|
2 |
|
– глубина |
проникновения; |
||
ωσμ0μ |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Z0 = |
ε0 – импеданс свободного пространства, V и S – объем и |
|||||||||
|
μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площадь резонатора.
По известной добротности и групповой скорости можно рассчитать коэффициент затухания напряженности поля в ускоряющей структуре
α = |
ω |
. |
(6.23) |
2VгрQ
Различают собственную Q0 , нагруженную Qн и внешнюю Qвн добротности. Они связаны соотношением
75
1 = 1 + 1 ……………………..(6.24)
Qн Q0 Qвн
Собственную добротность можно рассчитать по формуле
Q = |
QнQ2н |
, |
(6.25) |
|
|||
0 |
2Qн −Q2н |
|
|
|
|
|
где Qн и Q2н – значения добротностей резонаторов, отличающихся по длине в два раза.
Нагруженная добротность резонансных макетов измеряется методом четырёхполюсника. Ее величина определяется как
Qн = |
|
f0 |
, |
(6.26) |
|
f2 |
− f1 |
||||
|
|
|
где f0 – резонансная частота, а f1 и f2 – значения частот при расстройке резонатора до половинного значения мощности относительно значения мощности при резонансе или до 0,707I0 по амплитуде сигнала, где I0 – значение амплитуды сигнала при резонансе.
Процедура измерений состоит в определении зависимости коэффициента передачи Kп от частоты. Типичная кривая такой зависимости представлена на рис. 6.4.
Kп
Рис.6.4. Зависимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kп 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
коэффициента передачи |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
Kп 0 |
|
|
|
|
||
от частоты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
f |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|
|
|
|||||||
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Объектом исследования в данной работе является резонансный макет ускоряющей структуры типа круглого диафрагмированного волновода. Из двух возможных вариантов резонансного макета (с полными или укороченными концевыми ячейками) выбран второй
76
вариант, позволяющий измерить различные частоты дисперсионной характеристики при изменении числа ячеек в макете, в том числе частоту вида колебаний π. Внешний вид макета, состоящего из трёх ячеек и двух полуячеек и оснащенного устройствами связи, приведен на рис. 6.5.
Рис. 6.5. Резонансный макет ускоряющей структуры типа КДВ
Резонансный макет собирается из отдельных элементов – торцевых пластин, которые обеспечивают нужные граничные условия, диафрагм и колец. Эскиз макета с указанием основных размеров приведен на рис. 6.6,а. Весь набор сжимается в прессе для обеспечения хорошего электрического контакта. Необходимое удельное давление в местах контакта элементов резонансного макета осуществляется помещением резонатора в пресс, создающий продольное сжатие отдельных элементов. Непосредственно перед сжатием макета необходимо убедиться, что его отдельные элементы выровнены и их посадочные плоскости совпадают, как это показано на рис.6.6,б. В противном случае элементы макета, изготовленные из пластичной меди, будут деформированы и придут в негодность.
|
правильно |
неправильно |
|
|
б |
|
Рис. 6.6. Резонансный макет: |
|
а |
эскиз элементов макета (а); |
|
сборка элементов (б) |
||
|
77 |
|
Включение резонансного макета в измерительный тракт экспериментальной установки, схема которой приведена на рис. 6.7 производится по схеме четырёхполюсника. Элементы связи представляют собой электрические диполи (штыревые антенны), расположенные в одной из торцевых пластин макета. Конструкция держателей, изображенная на рис. 6.8, позволяет изменять глубину погружения антенн и, соответственно, регулировать коэффициент связи резонатора с СВЧ трактом.
Рис. 6.7. Функциональная схема установки измерения резонансных частот
Рис. 6.8. Устройства связи резонатора с измерительным трактом
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Размеры ускоряющей структуры: диаметр ячейки 2b = 72 мм, диаметр пролетного канала 2a = 20 мм, длина периода структуры D = 24 мм, толщина диафрагм t = 4 мм.
1. Для круглого диафрагмированного волновода рассчитать примерное значение частоты вида колебаний 0.
78
2. Рассчитать значения частот на видах колебаний 0, π/4, π/3, 2π/3, 3π/4, π по формуле (6.14а) при kсв = 0,015, fπ 2 = 2807 МГц ,
kсв = 0,03, fπ
2 = 2847МГц и kсв = 0,053, fπ/2 = 2900 МГц.
3. Определить относительные значения групповой скорости видов колебаний π/2 и 2π/3 при трех значениях kсв и fπ/2, указанных в п. 2 настоящего задания.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Собрать установку в соответствии с рис. 6.7 и макет, состоящий из одной ячейки и двух полуячеек, выбрав диафрагмы с диаметром отверстия 2а = 20 мм.
Обеспечить необходимое сжатие между элементами макета и связь с генератором и индикаторным прибором. Установить по частотомеру частоту возбуждающего генератора, равную частоте рассчитанного вида колебаний 0. Изменяя частоту в небольших пределах, зафиксировать резонанс.
Провести измерения частот видов колебаний 0, π/2, π. Повторить измерения для макетов с диафрагмами, диаметры отверстий в которых 2а = 25 и 2а = 30 мм.
2.Изменив число ячеек макета, провести измерение частот видов колебаний 0, π/3, 2π/3, π, используя диафрагмы с размером отверстия в диафрагме 2а = 20 мм.
Провести измерения добротностей на всех видах колебаний.
3.Провести измерение частот видов колебаний 0, π/4, 2π/4, 3π/4, π, для чего собрать резонансный макет из необходимого числа элементов, используя диафрагмы с размером отверстия в диафрагме
2а = 20 мм.
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Собрать резонансный макет ускоряющей структуры, состоящий из ячейки и двух полуячеек. Снять зависимость величины нагруженной добротности от величины связи со внешними цепями на виде колебаний π/2. Величина коэффициента связи резонатора и
79
внешних цепей (связанного с генератором устройства ввода мощности и индикаторной части) определяется глубиной погружения внутрь резонатора электрических диполей – штырей. Достаточно измерить значение добротности для четырех значений глубины погружения штырей связи внутрь резонатора.
ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
1.Приведите результаты предварительного задания.
2.Запишите значения частот разных видов колебаний, измеренных на резонансных макетах с разным числом ячеек. Постройте дисперсионную характеристику в координатах частота –вид коле-
баний. В качестве значений частот видов колебаний 0, π/2 и π, которые были измерены несколько раз в макетах разной длины, рекомендуется взять средние значения. Нанесите на график расчетные значения частот видов колебаний π/5, 2π/5, 3π/5, 4π/5, определенные аналитически по формуле (6.14).
3.На отдельном графике постройте дисперсионные кривые для ускоряющих структур с различным диаметром пролетного канала
2а.
4.Вычислите по дисперсионной зависимости значения фазовой
игрупповой скоростей на видах колебаний π/2 и 2π/3.
5.Результаты измерения добротности для различных видов колебаний оформите в виде таблицы, а результаты выполнения дополнительного задания – графически.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1.Какую информацию об электродинамических характеристиках ускоряющих систем дает дисперсионная зависимость?
2.Изобразите дисперсионную зависимость круглого диафрагмированного волновода как полосового фильтра.
3.Почему не может возбуждаться вид колебаний π в резонансных макетах с целыми ячейками на концах и с электрической связью между ячейками?
80