Крючков Теория переноса нейтронов 2007

где Вn определяется выражением (4.15), а константа n включает в себя константы Аn и Cn. Для определения константы n используем начальное условие (решение (4.17) при τ = 0):

j(x, 0)= Sδ(x)= ∑ An cos Bn x .

n

Умножим обе части последнего уравнения на cos(Bm x) и проин-

Воспользовавшись ортогональностью системы косинусов (4.16)

и правилами интегрирования дельта-функции, получим: S = Am a2 ,

а следовательно, Am = 2aS . Таким образом, окончательно имеем решение исходного уравнения возраста:

где коэффициенты Bn определяются выражением (4.15).

Задача 2. Определить плотность замедления от плоского моноэнергетического источника мощностью S, расположенного в бесконечной гомогенной среде.

Необходимо решить уравнение возраста:

∂2 j(x, τ) = ∂j(x, τ) ∂x2 ∂τ

181

с начальным условием j(x, τ)= Sδ(x), условием симметрии j(x,τ)= j(− x, τ) и условием ограниченности плотности замедле-

ния на бесконечности. Поскольку среда бесконечна, то, основываясь на методе разделения переменных, решение уравнения возраста будем искать в виде

После подстановки (4.19) в исходное уравнение получим:

причем функция ψ(x, B) должна удовлетворять условию ограни-

ченности при стремлении переменной x к плюс, минус бесконечности и условию симметрии по переменной x. Разделим обе части последнего равенства на произведение функций F(B, τ)ψ(x, B) и по-

лучим следующее уравнение:

В последнем уравнении первое слагаемое зависит только от переменной x, а второе – только от переменной τ. Эти переменные независимы, а выражение в квадратных скобках при любых значениях каждой из переменных всегда равно нулю. Это возможно только в случае, если первое и второе слагаемые равны одной и той же константе. Рассмотрим возможные варианты: положительная и отрицательная константы (константа, равная нулю, не рассматривается, поскольку соответствует тривиальному решению).

Если константа положительная: B2 > 0 , то для функции ψ(x, B)

получается уравнение: ψ′′(x, B) = B2ψ(x, B) , общее решение которого имеет вид ψ(x, B) = C1 exp(Bx) +C2 exp(−Bx) и не может удов-

летворить условию ограниченности на бесконечности, кроме тривиального решения при С1 = С2 = 0.

182

Если эта константа отрицательная: − B2 < 0 , то для функции

ψ(x, B) получается следующее уравнение: ∂2ψ(x, B) = −B2ψ(x, B),

∂x2

решение которого имеет вид

ψ(x, B)= C1(B)sin(Bx) +C2 (B) cos(Bx) .

Для удовлетворения условию симметрии необходимо принять равной нулю константу С1, поскольку функция sin(x) – нечетная. Таким образом, решение будет иметь вид ψ(x, B) = C(B) cos(Bx) .

В рассматриваемом случае (константа отрицательная: − B2 > 0 ) для функции F(B, τ) получается следующее уравнение:

∂F∂τ(B, τ) = −B2 F(B, τ),

решением которого является функция

F(B, τ)= H (B)exp(− B2τ).

Таким образом, согласно формуле (4.19), решение исходного уравнения возраста будет иметь вид

j(x,t)= ∞∫G(B)exp(− B2τ)cos(Bx)dB ,

−∞

где константа G(B) включает в себя константы C(B) и Н(B).

Для нахождения константы G(B) используем начальное условие по возрасту. При τ = 0

Sδ(x)= ∞∫G(B)cos(Bx)dB .

−∞

Известно [2], что δ(x) может быть представлена в виде

183

Таким образом, решение уравнения возраста для данной задачи можно записать в виде

j(x, τ) = S ∞∫exp(− B2τ)cos(Bx)dB .

2π −∞

Интеграл в последнем выражении можно вычислить, используя следующий табличный интеграл [1]:

В результате для плотности замедления получаем:

И окончательно, плотность замедления в рассматриваемой задаче имеет вид

Задача 3. Определить плотность замедления от изотропного моноэнергетического точечного источника мощностью S в бесконечной гомогенной среде.

184

Решим данную задачу, используя принцип суперпозиции источников. Для этого воспользуемся найденным в предыдущей задаче решением. Пусть мощность источников плоскости равна единице:

расстоянии x от плоскости определяется выражением:

Представим плоскость как суперпозицию точечных источников. Для этого возьмем кольцо радиусом ρ и шириной dρ. Все точечные источники, расположенные на этом кольце, удалены на одинаковое расстояние r от точки x (рис. 4.3). Построим плотность замедления от плоскости jпл как суперпозицию плотности замедления от то-

чечных источников.

dρ

•

ρ r

Область точечных источников

Рис. 4.3. Схема для расчета плотности замедления от точечного источника

185

Плотность замедления djпл(x, τ) от выбранного кольца площадью 2πρdρ определяется выражением:

djпл (x, τ)= 2πρdρjТ (r, τ).

Тогда плотность замедления от всей плоскости можно вычислить как

jпл(x, τ)= 2π∞∫ jТ (r, τ)ρdρ.

0

Учитывая, что

x2 +ρ2 = r2 , ρdρ = rdr ,

интеграл в последнем выражении можно переписать как

∞

jпл(x, τ)= 2π∫ jТ (r, τ)rdr .

x

Продифференцируем последнее выражение по переменной х:

Вычислим производную в последнем равенстве, используя (4.21):

186

Таким образом, если при r = 0 в бесконечной гомогенной среде расположен изотропный точечный источник мощностью S, то плотность замедления рассчитывается по формуле:

Отметим, что интеграл от плотности замедления по всему объему бесконечной среды равен мощности внешнего источника, поскольку решение уравнения возраста получено для непоглощающей среды (решалось уравнение возраста в непоглощающей среде):

При вычислении интеграла последовательно использовались выражение для dV в сферических координатах (dV = 4πr2) и замена

переменных t = r2 (dt = 2rdr, r = t12 ), а также табличное значение определенного интеграла, взятое из [1]:

Вычислим средний квадрат смещения (расстояние по прямой) нейтрона при замедлении от энергии Е0 (точки источника) до той точки пространства, где в процессе замедления его возраст стал равен τ:

187

При вычислении интеграла использовались выражение для dV в сферических координатах (dV = 4πr2), замена переменных

t = r2 (dt = 2rdr, r = t12 ) и значения интеграла (4.23): в знаменателе

Таким образом, возраст нейтронов – одна шестая среднего квадрата смещения (расстояние по прямой) нейтрона в процессе замедления от точки, где его энергия равна Е0 (энергия источника), до той точки, где его возраст стал равен заданной величине τ.

Еще раз отметим, что этот вывод получен в рамках модели непрерывного замедления и не учитывает как пробег нейтрона до первого столкновения, так и смещение нейтрона после последнего столкновения. Плотность замедления j(r, τ) от единичного источ-

ника в бесконечной непоглощающей среде (см. формулу (4.22)) как функция расстояния от источника r при разных значениях возрастаτ приведена на рис. 4.4.

188