Крючков Теория переноса нейтронов 2007
.pdfРассмотрим величину Σa , которая входит в формулу (3.72) для
Σtot
ϕ(E0 , E) :
∑а(E′) |
NПσγП(E′)+ NHσаН(E′) |
||
|
= |
|
. |
∑ tot (E′) |
NHσSH (E′)+ NHσаН(E′)+ NПσSП(E′)+ NПσаП(E′) |
Водород – слабый поглотитель, поэтому ∑аН<<∑SH , и вторым
членом в знаменателе последнего выражения можно пренебречь по отношению к первому члену. Поскольку микроскопическое сечение рассеяния водорода и поглотителя имеют один порядок величины, а концентрация ядер водорода существенно больше, чем поглотителя (случай сильного разбавления), то третьим членом в знаменателе последнего выражения можно пренебречь по отношению к первому. Необходимо отметить, что возможен случай резкого возрастания сечения рассеяния поглотителя в области резонанса, но приближение бесконечной массы поглотителя дает возможность этот случай не рассматривать. Рассматривается случай сильного разбавления, т.е. концентрация ядер поглотителя много меньше, чем концентрация ядер водорода. Пусть соотношение концентра-
ции ядер |
такое, |
что выполняются условия: |
∑аН<<∑аП и |
∑aП <<∑SH , |
т.е. |
требуется, чтобы выполнялось |
соотношение: |
∑аН<<∑аП <<∑SH . Найдем диапазон отношения концентраций
ядер поглотителя и водорода, при котором последнее соотношение выполняется. Для этого учтем порядок величин для микроскопических эффективных сечений в области замедления: σaH 10–3 б,
σSH 10 б, σаП 104 б в резонансе. С учетом этого легко найти искомый диапазон изменений NП/NЗ:
NHσaH << NПσаП << NHσSH ; |
|
||||||||||||
σаН << |
NП |
<< σSH ; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
σаП |
|
|
NH |
|
|
σаН |
|
|
|
|
|||
|
−7 |
10−3 |
|
|
N |
П |
10 |
|
−3 |
||||
10 |
|
= |
|
<< |
|
<< |
|
|
=10 |
. |
|||
|
104 |
NH |
104 |
||||||||||
|
|
|
|
|
251 |
|
|
|
|
|
Таким образом, случай сильного разбавления соответствует
NH |
[ |
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
NП |
10 |
−6 |
, 10 |
−4 |
|
. |
При |
этом |
выполняется |
условие |
|
|
|
|
|||||||
∑аН<<∑аП <<∑SH , |
и в числителе анализируемого выражения вто- |
рым членом можно пренебречь по отношению к первому, а в знаменателе – четвертым по отношению к первому. Таким образом, в рассматриваемом случае:
∑a (E′) |
NПσγП(E′) |
|
||
|
≈ |
|
. |
(П4.2) |
∑ tot (E′) |
NHσSH (E′) |
σγγnn
1/Ε |
|
σSn |
|
1/E |
|
|
|
|
|
σsn |
|
E 1 |
E r |
E 2 |
ΕE |
Ε1 |
Εr |
Ε2 |
Рис. П4.1. Пояснения к расчету вероятности избежать поглощения при замедлении
Подставим (П4.2) в (3.72) и преобразуем получившееся выражение:
252
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
П |
|
E1 |
|
|
σγП(E′) 1 |
|
|||||||
ϕ(E1, E2 )=exp − |
|
|
|
|
|
∫ dE′ |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||
|
|
NH |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
σSH (E′) E′ |
|
||||||||||
=[таккак σSH (E)= const |
во всей областизамедления]≈ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
NП |
E1 |
dE′ |
σγП(E′) |
|
||||||||||||||
≈ exp − |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
≈ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
E′ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
NH σSH E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
≈[ |
1 |
|
слабо меняетсяв [E2 , E1] посравнению с σγП(E)– рис. П4.1]≈ |
|||||||||||||||||||
E |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− |
NП |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
(E′) . |
|
|||||||
≈exp |
|
|
|
|
∫1dE′σ |
γП |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
NHσSH Er E2 |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим отдельно интеграл в последнем выражении, воспользовавшись (П4.1):
E2 |
|
′ |
|
|
|
′ |
|
E2 |
|
|
|
dE′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гγ |
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ dE σγП(E |
) |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σr |
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
(E′− Er ) 2 |
Г |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
E1 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(E |
−E |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гγ Г |
|
|
dx |
|
|
|
|
Г |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
x = |
|
|
(E′ |
− Er ) |
= σr |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||
Г |
Г |
2 |
|
)1 |
+ x |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E −E |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
(E2 |
−Er ) |
|
|
|
|
σr Гγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
σrГγ Г |
dx |
= |
arctg(х) |
a |
2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
(E |
−E |
r |
)1 |
+ x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Г |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a1 = Г2 (Е1 − Еr ) , a2 = Г2 (Е2 − Еr ) .
253
Г
-3Г |
-Г |
Er |
Г |
3Г |
Рис. П4.2. Выбор пределов интегрирования
Учитывая, что основной вклад в интеграл от функции |
|
1 |
|
+ x2 |
|
1 |
вносит область около х = 0 (рис. П4.2), т.е. около Е = Еr, выберем Е1 = Еr – 3Г и Е2 = Еr + 3Г. В этом случае а1 = –6, а а2 = 6 и c хорошей точностью arctg(6) ≈ π/2, а arctg(–6) ≈ –π/2. Тогда для вероятности избежать поглощения на резонансе поглотителя при замедлении на водороде получим выражение:
ϕ(E , E |
2 |
)≈exp |
− |
NПσr Гγ π |
. |
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2NHσSH (Er )Er |
|
Оценим ϕ(E1 , E2 ) для первого резонанса 238U, который имеет сле- |
||||||
дующие параметры: Er |
= 6,7 эВ, ГH = 1,5 10–3 эВ, Гγ = 25 10–3 эВ, |
Г = 26,5 10–3 эВ. Видно, что поскольку на ядре 238U при энергии 6,7 эВ идут только процессы резонансного рассеяния и поглощения, то Г = ГН + Гγ . При этом вероятность распада составного ядра по ка-
|
|
Г |
γ |
|
|
налу реакции радиационного захвата |
|
|
|
примерно в 16,5 раз |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
ГН |
|
больше, чем по каналу резонансного рассеяния. Рассчитаем значе-
254
ние сечения образования составного ядра в максимуме резонанса:
σr = 4πD2 ГГН .
Длину волны де Бройля нейтрона можно рассчитать по формуле:
|
h |
|
4,55 10−10 |
|
D= |
2mE |
= |
|
[см], |
|
||||
|
|
E |
где Е – кинетическая энергия нейтрона, эВ;
D(Er )=4,55 6,710−10 =1,76 10−10 см.
Тогда
σr = 4π (1,76) |
2 |
−20 |
|
1,5 10−3 |
|
−20 |
|
4 |
|
|
10 |
|
|
|
|
2,2 10 |
|
см = 2,2 10 |
|
б. |
|
|
26,5 |
10−3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, видно, что в максимуме резонанса сечение дос-
тигает десятков тысяч барн. |
NП |
|
|
Возьмем для определенности |
=10−4 , σSH ≈ 30 б. В результа- |
||
|
|||
те получим: |
NH |
||
|
|
ϕ(E |
, E |
2 |
)=exp |
− 10−4 |
2,2 104 25 10−3 π |
≈ |
||||
1 |
|
|
|
|
|
2 30 6,7 |
|
|
||
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
||
|
|
≈ exp |
|
|
} |
= 0,99957. |
|
|
||
|
|
−0,43 10−3 |
|
|
|
Видно, что вероятность избежать резонансного поглощения практически равна единице. Это следствие того, что ширина резонанса Г много меньше ступеньки замедления на водороде. Поэтому, хотя в максимуме резонанса сечение достигает нескольких десятков ты-
сяч барн, но в эту область энергий попадает только Г от полно-
E0
го числа нейтронов.
255
Приложение 5
РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТИ ИЗБЕЖАТЬ ПОГЛОЩЕНИЯ НА УЗКОМ ИЗОЛИРОВАННОМ РЕЗОНАНСЕ
В ПРИБЛИЖЕНИИ БЕСКОНЕЧНОЙ МАССЫ ПОГЛОТИТЕЛЯ
Получим формулу для расчета вероятности избежать поглощения на узком изолированном резонансе в приближении бесконечной массы поглотителя. Рассмотрим выражение:
=ΣaП(Е) + ΣаЗ .
Σtot (E) ΣаП(Е) + ΣSП(Е) + ΣSЗ + ΣаЗ
Вчислителе этого выражения можно пренебречь макроскопическим сечением поглощения замедлителя по сравнению с макроско-
пическим сечением поглощения поглотителя, поскольку микроскопическое сечение поглощения замедлителя (10–3 и менее барн)
меньше микроскопического сечения поглощения поглотителя в максимуме резонанса (порядка 104 б) на 6 – 7 порядков, а концентрация ядер поглотителя в реальных средах меньше концентрации ядер замедлителя всего на один-два порядка. В знаменателе рассматриваемого выражения можно пренебречь сечением поглощения замедлителя по отношению к сечению рассеяния замедлителя (разница в сечениях составляет более трех порядков), а также сечением рассеяния поглотителя по отношению к сечению поглощения поглотителя, поскольку рассматривается приближение бесконечной массы поглотителя.
С учетом вышесказанного подставим в формулу (3.80) выражения для сечений. Согласно (П4.1)
∑aП(E)= ∑r |
Гγ |
|
|
1 |
|
, где |
x = |
2 |
(E−Er ). |
||||
Г 1 |
+ x |
2 |
Г |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Гγ |
|
|
|
||
∑ tot (E)= ∑SЗ+ ∑aП(E) |
= ∑SЗ+ ∑r |
|
1 |
|
|||||||||
Г 1+ x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
256 |
|
|
|
|
|
|
и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑r |
Гγ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
E |
|
|
|
|
∑a (E′) |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 1+ |
2 |
|
(E′− Er )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∫2 dE |
|
|
= |
∫2 dE′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
= |
x = |
(E' − Er ) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
∑tot (E′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гγ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Г |
|||||||||||||||||||||||||||||||
E |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
∑SЗ+ ∑r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
1+ 2 (E′− E ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
(E |
−E |
|
) |
|
|
|
|
|
|
Гγ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
Г Г |
2 |
|
r |
dx |
|
∑r Г 1+ x2 |
|
≈ |
|
∑r Гγ |
∞ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гγ |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
+ |
∑SЗ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 Г(E −E |
|
|
|
) |
|
|
∑ |
|
+ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ ∑SЗ |
+ ∑r |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
SЗ |
r Г 1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
при выполнении последнего равенства учтено, |
что |
Гγ ≈ Г, далее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Гγ ∑r |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
Гγ∑r |
arc tg |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
∞ |
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
||||||||||||||
|
2 |
∑SЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
2 ∑SЗ |
|
|
|
∑r |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 + |
1+ |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑SЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SЗ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Гγ ∑r π |
|
|
|
|
∑SЗ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ∑S |
|
|
|
|
|
|
∑SЗ+∑r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В ходе последних преобразований была проведена замена пределов интегрирования по соображениям, аналогичным обсужденным в прил. 4. Кроме того, в знаменателе было использовано приближенное равенство Гγ ≈ Г, которое становится точным в случае
отсутствия резонансного рассеяния (приближение бесконечной массы поглотителя). Вероятность избежать поглощения на узком изолированном резонансе в приближении бесконечной массы поглотителя получается после подстановки найденного выражения в
257
(3.80): ϕ ≈1 |
− |
πГγΣr |
Σ |
sз |
, |
где ∑r = NПσr ; ∑SЗ= NЗ σSЗ ; |
||
2ξ∑SЗEr |
∑SЗ |
|||||||
|
|
+ Σr |
|
|
||||
σr = 4πD2 ГН . Коэффициент |
|
|
|
|||||
k = |
∑SЗ |
называется коэффи- |
||||||
Г |
|
|
|
|
|
∑SЗ+ ∑r |
|
циентом самоэкранировки резонанса. Он связан с эффектом резо-
нансной самоэкранировки.
Если ∑r <<∑SЗ (слабый резонанс), то k ≈1 . Этот случай соот-
ветствует бесконечному разбавлению. |
|
|
|||||
Если |
∑r >>∑SЗ |
(сильный резонанс), то |
k <<1 |
и |
|||
k ≈ |
∑SЗ |
= |
∑SЗ NП |
|
. Используя полученную формулу и |
ре- |
|
|
∑r |
|
σr |
|
|
|
|
зультаты расчетов, проведенных в прил. 4, выполним численную
оценку |
ϕ(E , E |
2 |
) для первого резонанса 238U при замедлении на |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
NП |
=10 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
6 С и |
|
|
|
. Сечение рассеяния для углерода примем равным |
||||||
NЗ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 б, а ξ = 0,158 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ϕ(E1, E2 ) |
=1− |
πГγ NПσr |
|
NЗσSЗ |
= |
|
|||
|
2ξNЗσSЗEr |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
NЗσSЗ + NПσr |
|
|||
|
=1− π 25 10−3 2,2 104 10−4 |
5 |
2,2 104 |
≈ 0,986. |
||||||
|
|
|
2 0,158 5 6,7 |
|
5 +10−4 |
|
Коэффициент самоэкранировки резонанса в этом случае составляет 0,883. Таким образом, вероятность избежать поглощения равна 98,6 %, вероятность поглотиться – 1,4 %. Заметим, что действительно величина, вычитаемая из единицы (в данном случае – 0,014), значительно меньше единицы, поэтому правомерно использованное ранее при выводе формулы (3.80) разложение экспоненциальной функции вблизи нуля.
258
Приложение 6
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ МОНОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ НЕЙТРОНОВ ИЗ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
Уравнение Больцмана в случае, если все нейтроны имеют одну
итуже энергию, принимает вид
ΩgradΦ (rr,Ω)+ Σtot (rr)Φ(rr,Ω)= q(rr,Ω)+
+∫πΣS (rr)Φ(rr,Ωr′)WS (rr;Ωr′ → r )dΩr′.Ω4
Проинтегрируем это уравнение по Ω , учитывая в первом члене равенство Ω grad Φ(rr,Ω)= div ΩΦ(rr,Ω):
div ∫ΩΦ(rr,Ω)dΩ + Σtot (rr)∫Φ(rr,Ω)dΩ = ∫q(rr,Ω)dΩ + |
||||
4π |
r r4π |
r |
4πr r |
|
+ ∫ΣS (rr)Φ(rr,Ω′)dΩ′ ∫WS (rr;Ω′ → Ω)dΩ. |
|
|||
4π |
|
4π |
|
|
Введя в рассмотрение |
вектор |
тока |
нейтронов |
|
i (rr)= ∫ΩΦ(rr,Ω)dΩ , |
глобальную |
плотность |
потока |
нейтронов |
4π |
|
|
|
|
Φ(rr)= ∫Φ(rr,Ω)dΩ , |
интегральный |
источник |
q(rr) = ∫dΩq(rr,Ω) и |
|
4π |
|
|
4π |
|
учитывая, что интеграл от индикатрисы рассеяния равен единицы, из последнего уравнения получим:
div i (rr)+ Σtot (rr)Φ(rr)= q(rr)+ ΣS (rr)Φ(rr).
Принимая во внимание, что Σa = Σtot − ΣS , окончательно полу-
чаем уравнение баланса нейтронов в единичном пространственном объеме:
div i (rr)+ Σa (rr)Φ(rr)= q(rr). |
(П6.1) |
259 |
|
Получим закон Фика, т.е. найдем связь между вектором тока нейтронов i (rr) и плотностью потока нейтронов Φ(r ) . Для этого
разложим функцию Φ(rr,Ω) в ряд по переменной Ω и ограничимся
двумя слагаемыми, т.е. рассмотрим случай почти изотропного потока:
|
Φ(rr,Ω)= A(rr)+ B(rr) Ω . |
(П6.2) |
Проинтегрируем уравнение (П5.2) по Ω : |
|
|
∫ Φ(rr,Ω)dΩ = A(rr)∫ dΩ + ∫(Ω B(rr))dΩ . |
|
|
4π |
4π 4π |
|
Левая часть этого уравнения равна глобальной плотности потока
нейтронов ∫ Φ(rr,Ω)dΩ = Φ(rr), первый член в правой части урав-
4π
нения легко вычисляется: A(rr)∫ dΩ = 4πA(rr), а второй член в пра-
4π
вой части уравнения равен нулю: ∫(Ω B)dΩ = 0 . Для того, чтобы
4π
это проверить, распишем скалярное произведение под интегралом: (Ω B(rr)) = Ωx Bx (rr) + Ωy By (rr) + Ωz Bz (rr) . Тогда с учетом со-
отношений (рис. П6.1)
Ωz = cosΘ; Ωx |
= sin Θcosϕ; |
(П6.3) |
Ωy = sin Θsin ϕ; |
r |
|
dΩ = sin ΘdΘdϕ |
|
легко показать, что выполняются следующие равенства:
∫ ΩxdΩ = ∫ Ωy dΩ = ∫ Ωz dΩ = 0 ,
4π 4π 4π
а следовательно, ∫(Ω B)dΩ = 0 .
4π
260