Крючков Теория переноса нейтронов 2007
.pdfZ
ΩzΩ
Θ
Ωy
Ωx Y
X ϕ
Рис. П6.1. Система пространственных и угловых координат
Таким образом, из уравнения (П6.2) после его интегрирования по Ω, получаем, что коэффициент A(rr) определяется выражени-
ем: A(rr) = 41πΦ(rr) , а следовательно, разложение (П6.2) имеет вид
r |
1 |
|
r |
r |
|
|
Φ(rr,Ω)= |
|
Φ(rr)+ B(rr) Ω. |
(П6.4) |
|||
4π |
||||||
|
|
|
|
|||
Для нахождения коэффициента B(r ) |
умножим уравнение (П6.4) |
на Ωz и проинтегрируем полученное уравнение по переменной Ω:
r r |
1 |
|
r |
r |
|
r r |
|
∫ΩzΦ(rr,Ω)dΩ = |
|
Φ(rr)∫Ωz dΩ + B(rr)∫ |
Ω |
ΩdΩ. (П6.5) |
|||
4π |
|||||||
4π |
4π |
4π |
z |
|
Для вычисления интегралов в последнем равенстве воспользуемся соотношениями (П6.3). Тогда интеграл в первом слагаемом в правой части (П6.3) примет вид
r |
π |
2π |
∫Ωz dΩ = ∫sin ΘcosΘdΘ ∫dϕ = 0 , |
||
4π |
0 |
0 |
|
|
261 |
Рассмотрим в уравнении (П6.5) второе слагаемое
B(rr) ∫ Ωz |
ΩdΩ = ∫ Ωz (Ω B(rr))dΩ . |
4π |
4π |
Скалярное произведение под интегралом можно расписать как
Ωr Br(rr)= (Ωxerx + Ωyery + Ωzerz ) B(rr)= Ωx Bx (rr)+ Ωy By (rr)+ Ωz Bz (rr).
И, следовательно,
∫Ωz (B(rr) Ω)dΩ = Bx (rr) ∫ΩzΩxdΩ + |
|||
4π |
r |
4π |
r |
|
|
||
+ By (rr) ∫ΩzΩy dΩ + Bz (rr) ∫ΩzΩz dΩ. |
|||
|
4π |
4π |
|
Рассчитаем интегралы в правой части последнего выражения, учитывая (П6.3):
|
r |
π |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ΩzΩxdΩ = ∫dΘcosΘsin2 |
Θ ∫dϕcos |
ϕ = 0 , |
|
|
||||||||
4π |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
π |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ΩzΩy dΩ = ∫dΘcosΘsin2 |
Θ ∫dϕsin |
ϕ = 0 , |
|
|
||||||||
4π |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
3 |
|
π |
|
|
|
|
r |
2 |
|
2π |
cos |
Θ |
|
4π |
|
||||
∫Ω2z dΩ = ∫sin Θcos2 |
ΘdΘ ∫dϕ = 2π − |
|
|
|
= |
. |
||||||
3 |
|
|
3 |
|||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
Br(rr) 4∫πΩzΩrdΩr = 43π Bz (rr) .
262
Рассмотрим правую часть уравнения (П6.3):
∫ΩzΦ(rr,Ω)d Ω = iz (rr),
4π
так как по определению i (rr)= ∫ΩΦ(rr,Ω)dΩ.
4π
Таким образом, после умножения уравнения (П5.4) на Ωz и соответствующих математических преобразований получили:
J z (rr)= 43π Bz (rr).
Совершенно аналогично, умножив уравнение (П5.4) на Ωy , можно
получить:
iy (rr)= 43π By (rr),
а после умножения на Ωx
|
|
|
|
|
|
ix (rr)= |
4π |
Bx (rr). |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
|
образом, |
получено |
следующее |
соотношение: |
|||
r |
r |
4π r |
r |
|
|
|
|
||
i |
(r )= |
|
|
B(r ), а следовательно, |
коэффициент B(r ) |
определяется |
|||
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соотношением:
Br(rr)= 43πir(rr).
Таким образом, с учетом найденных коэффициентов разложение (П6.2) принимает вид
r |
1 |
|
|
3 |
|
r |
r |
|
|
Φ(rr,Ω)= |
|
Φ(rr)+ |
|
i |
(rr)Ω . |
(П6.6) |
|||
4π |
4π |
||||||||
|
263 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим разложение (П5.6) в уравнение Больцмана для моноэнергетических нейтронов с изотропным источником:
1 |
|
r |
|
|
r r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
r r |
|
|
|
||
|
Ω [Φ(rr)+3Ωi |
(rr)]+ |
|
|
Σtot (rr)[Φ(rr)+ |
3Ωi (rr)]= |
|
|
|||||||||||
|
|
4π |
|
4π |
|
(П6.7) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
r |
1 |
|
r |
r |
r |
′ |
r |
r |
|
r′r |
r |
r |
|||||
|
|
|
′ |
||||||||||||||||
= |
|
q(r )+ |
|
4∫πΣS (r )WS (r;Ω |
→ Ω)[Φ(r )+ |
3Ω i (r )]d |
Ω . |
||||||||||||
4π |
4π |
||||||||||||||||||
Рассмотрим интеграл рассеяний: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
r |
′ |
|
|
|
|
r |
′ |
r |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ΣS (r )WS |
(r; |
Ω → Ω)[Φ(r )+ |
3Ω i |
(r )]d Ω = |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4π |
|
r r |
′ |
r |
|
|
r′ |
|
|
r |
′r |
|
r r |
′ |
r r′ |
|
|
r |
r |
|
|
|
|
r |
r |
||||||||||
= ΣS (r )Φ(r )∫WS (r;Ω → Ω)d |
Ω + ΣS (r )∫3Ω i |
(r )WS |
(r;Ω → Ω)d Ω . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
В последнем выражении ∫WS (Ω′ → Ω)d Ω′ =1 |
по определению |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
индикатрисы рассеяния.
С учетом преобразованного интеграла рассеяния умножим (П6.7) на Ωz и проинтегрируем по переменной Ω:
r |
|
r r |
|
r |
r |
|
Ω + |
∫ΩΩz Φ(r )d Ω +3 ∫ΩΩz (Ω i (r ))d Ω + Σtot (r )Φ(r )∫Ωz d |
|||||||
4π |
r r |
4π r |
r |
|
4π |
r |
|
+3Σtot (rr)∫Ωz (Ω i |
(rr))Ω = q(rr)∫Ωz d Ω + ΣS (rr)Φ(rr)∫Ωz dΩ + (П6.8) |
||||||
4π |
r |
r r′r r4π |
r r′ |
r r′ |
4π |
|
|
+3ΣS (r )∫Ωz d Ω ∫Ω i (r )WS (r;Ω → Ω)d Ω . |
|
|
|
||||
|
4π |
4π |
|
|
|
|
|
Рассмотрим интегралы в последнем уравнении. Уже было полу-
чено, что ∫Ωz d Ω = 0 .
4π
Теперь разберем интеграл во втором слагаемом в левой части
(П6.8) I1 = ∫ΩΩz (Ω ir(rr))d Ω . Скалярное произведение под
4π
интегралом можно представить следующим образом:
264
r |
r |
|
|
|
∂Φ |
+ Ωy |
∂Φ |
+ Ωz |
∂Φ |
r |
||
I2 = ∫ΩzΩ Φd Ω = ∫ |
Ωz Ωx |
∂ x |
∂ y |
dΩ = |
||||||||
4π |
4π |
|
|
|
|
|
|
∂ z |
|
|||
|
|
∂Φ |
2 |
r |
|
4π ∂Φ |
|
|
|
|||
|
= |
|
|
∫Ωz dΩ = |
|
|
|
. |
|
|
||
|
∂ z |
3 ∂ z |
|
|
||||||||
|
|
4π |
|
|
|
|
|
Вычислим интеграл в четвертом члене в правой части уравнения (П6.8), используя полученные ранее результаты:
r |
r |
r |
r |
r |
4π |
|
|
I3 = ∫Ωz (Ω i )d Ω = ∫Ωz (Ωxix + Ωyiy + Ωziz )d Ω = iz ∫Ω2z d Ω = |
iz . |
||||||
3 |
|||||||
4π |
|
4π |
|
4π |
|
Z
Ω'z Θ Ω
Y
X ϕ
Рис. П6.2. Схема рассеяния нейтрона
Рассмотрим интеграл в последнем члене в правой части уравне-
ния (П6.8) ∫Ω |
r r r |
(rr)W |
r r r |
d Ω ∫Ω′i |
(rr;Ω′ → Ω)d Ω′ и преобразуем его, |
||
z |
4π |
S |
|
4π |
|
|
учитывая, что индикатриса рассеяния в случае практически изотропного в ЛС рассеяния зависит не от конкретных значений на-
r
правления скорости нейтрона до столкновения с ядром – Ω' и на-
r
правления скорости нейтрона после столкновения с ядром – Ω , а только от косинуса угла между этими двумя направлениями (угла Θ на рис. П6.2), который обозначим µ0 .
266
∫Ω |
d Ω ∫Ω′i (rr)W |
(rr;Ω′ → Ω)d Ω′ = ∫Ω′i (rr)d Ω' ∫Ω W |
(rr;µ |
)d Ω . |
|
z |
S |
4π |
z S |
0 |
|
4π |
4π |
4π |
|
|
Интеграл по Ω может быть преобразован, используя тригонометрические тождества и тождества поворотов к следующему виду:
|
r |
π |
|
|
∫ΩzWS (rr,µ0 )d Ω = 2π∫sin ΘcosΘWS (rr,µ0 )d Θ = |
||||
4π |
|
0 |
|
|
1 |
µ0 )Ω′z dµ0 |
1 |
µ0WS (rr,µ0 )dµ0 |
≡ µΩ′z . |
= 2π ∫µ0WS (rr, |
= Ω′z 2π ∫ |
|||
−1 |
|
−1 |
|
В последнем равенстве введено обозначение µ – средний косинус угла рассеяния. Подставив последнее равенство в выражение для
интеграла по Ω' , получим, учитывая результаты, полученные при вычислении I3:
4∫πΩr′ir(rr)dΩr'4∫πΩzWS (rr;µ0 )d Ωr = µ4∫πΩ′z (Ωr′ ir(rr))dΩr' = µ 43πiz .
Таким образом, после вычисления всех интегралов (П6.8) принимает вид
4π ∂Φ(rr) |
+ 3 |
4π |
Σtot (rr)iz = 3ΣS |
4π |
µ , |
||
|
|
|
|
|
|||
3 ∂ z |
3 |
|
3 |
||||
|
|
|
|
или после тождественных математических преобразований –
3iz (Σtot (rr) − µΣS (rr))= −∂Φ(rr) .
∂ z
Совершенно аналогично можно выполнить преобразования после умножения (П6.7) на Ωx или Ωy и интегрирования по переменной
Ω . В результате получим следующие равенства соответственно:
267
3ix (Σtot (rr) − µΣS (rr))= −∂Φ(rr)
∂ x
и
3iy (Σtot (rr) − µΣS (rr))= −∂Φ(rr) .
∂ y
Последние три равенства можно записать в векторной форме:
3i (Σtot (rr) − µΣS (rr))= − Φ(rr) , |
|
|
или в виде закона Фика: |
|
|
i (rr) = −D(rr) Φ(rr) , |
|
|
где введен коэффициент диффузии D(rr) ≡ |
1 r |
и транспортное |
|
3Σtr (r ) |
|
сечение Σtr (r ) ≡ Σtot (r ) − µΣS (r ) .
Полученное ранее уравнение (П6.1) вместе с законом Фика представляют собой систему уравнений модели диффузии моноэнергетических нейтронов. В данном случае она была найдена в приближении почти изотропного потока нейтронов, практически изотропного рассеяния и относительно интегральных по угловой переменной функций. Требование наличия лишь слабой анизотропии функции плотности потока нейтронов эквивалентно одновременному требованию слабого поглощения, практической неизменности сечения рассеяния от пространственной координаты в рассматриваемой области и удаленности рассматриваемой области от локальных неоднородностей. Ограничение случаем практически изотропного рассеяния в ЛС эквивалентно требованию того, чтобы среда состояла из тяжелых ядер.
268
Приложение 7
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ И ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Рассмотрим интегродифференциальное уравнение Больцмана
(6.1):
Ω Φ(rr, E,Ω)+ Σtot (rr, E)Φ(rr, E,Ω)=
=∞∫dE′ ∫ΣS (rr, E′)Φ(rr, E′,Ωr′)WS (rr; E′,Ωr′ → E,Ωr )d Ωr′+ q(rr, E,Ωr ).
0 4π
Выберем в среде точку О, характеризующуюся радиусомвектором r0 , и точку А, характеризующуюся радиусом-вектором r
(рис. П7.1).
|
Вакуум |
|
|
Среда |
|
|
A |
|
r |
RS (rr0, −Ω) |
|
l |
||
|
O
r0 Ω
Рис. П7.1. Схема для преобразования уравнения Больцмана
269