Крючков Теория переноса нейтронов 2007

A(r , E)=∑tot (r , E)Φ(r , E)dVdE,

где Σtot (rr, E) = Σa (r , E) + ΣS (r , E) ;

Q(r , E)=S(r , E)dVdE,

где S(r , E) – мощность внешних источников нейтронов (заданная

функция).

После подстановки полученных выражений в уравнение баланса нейтронов в фазовом объеме dVdE и сокращения dVdE получим уравнение баланса нейтронов в единичном фазовом объеме

− div i (rr, E)− Σtot (rr, E)Φ(rr, E) +

Это уравнение – точное и отражает закон сохранения нейтронов, но содержит две неизвестные функции – плотность потока и вектор тока нейтронов. Для связи вектора тока нейтронов с плотностью потока нейтронов используем полученный в гл. 2 закон Фика, который обобщим на случай рассматриваемого фазового пространства: i (rr, E)=− D(rr, E) grad Φ(rr, E). После подстановки закона Фика

в последнее уравнение получим искомое уравнение замедления в диффузионном приближении (или уравнение диффузии замедляющихся нейтронов):

div D(rr, E) Φ(rr, E)− Σtot (rr, E)Φ(rr, E)+

161

FS (rr, E) = ξqE или FS (rr,u) = qξ ,

где q – мощность внешнего источника нейтронов. Этот спектр, записанный в переменных летаргии, не зависит от энергетической переменной. В данном случае рассматривается конечная (но большая) поглощающая (но слабопоглощающая) среда с неоднородным расположением источников нейтронов. Поскольку рассматриваемое уравнение применимо только для больших слабопоглощающих сред далеко от локальных неоднородностей, то можно ожидать, что функция плотности рассеяния слабо меняется по энергетической переменной (летаргии) в пределах ступеньки замедления, а следовательно, функциюFS (r , u) в пределах ступеньки замедления

можно адекватно описать двумя членами разложения в ряд Тейлора по летаргии u (летаргия после рассеяние) около летаргии u′(летаргия до рассеяния):

Это выражение точное в бесконечной гомогенной среде без поглощения даже без второго члена. Введением второго члена в разложении (4.2) учитывается конечность среды, наличие поглощения и локальных неоднородностей для большой слабопоглощающей среды далеко от локальных неоднородностей. Заметим, что чем меньше ступенька замедления, т.е. чем тяжелее ядра среды, тем меньше интервал, на котором проводится разложение функции, и, следовательно, точность аппроксимации функции двумя первыми членами разложения в ряд (4.2) выше. Отметим, что использование разложения (4.2) подразумевает, что энергия нейтрона в процессе замедления меняется непрерывно, а не дискретным образом. Это

модель непрерывного замедления (рис. 4.1).

Необходимо отметить, что на рис. 4.1 приведена качественная картина замедления для среднего нейтрона. Реально при описании нейтронного поля имеют дело с величинами, усредненными по

163

Для выполнения описанных выше преобразований перейдем в уравнении (4.1) от энергетической переменной к летаргии и запишем его в асимптотической области энергий, т.е. для нейтронов, которые испытали уже большое количество столкновений с ядрами среды. Для этого умножим уравнение замедления в диффузионном

приближении на E и перейдем к переменной u, учитывая, что

Φ(rr, E) E = Φ(rr,u):

В последнем уравнении отсутствует член внешнего источника, поскольку оно записано для асимптотической области энергий. Перейдем к переменной летаргии в интеграле столкновений с учетом равенств E = E0e−u и FS (r , u′)du′ = −FS (r , E′)dE′:

164

В ходе вычисления интеграла I2 используем замену переменных:

Таким образом, для интеграла рассеяния получаем выражение:

В этом случае уравнение замедления с учетом диффузии нейтронов принимает вид

− D(u)∆Φ(rr, u)+ ∑ tot (u)Φ(rr, u)− ∑S (u)Φ(rr, u)+ ∂∂u (ξFs (rr, u))= 0.

Здесь учтено, что ∑S (u)Φ(r , u) = FS (r , u).

После выполнения сложения второго и третьего члена в этом уравнении получим:

Последнее уравнение называется уравнением замедления в модели непрерывного замедления. Оно справедливо в асимптотической области энергий в том случае, если можно использовать закон

166

Фика. Отметим, что чем тяжелее ядра среды, тем более точно разложение (4.2), а следовательно, тем более адекватно уравнение (4.3) описывает пространственно-энергетическое распределение нейтронов в среде.

Введем новую переменную τ, которая удовлетворяет следующему равенству:

≡D(u)du и рассматриваемое уравнение запишется в виде:

ξΣS (u)

167

Найдем связь между функциями j*(rr, τ) и j(r , τ) . Будем искать

эту связь в виде j*(rr, τ)= j(rr, τ) ρ(τ). Подставив это выражение в уравнение (4.5), получим:

Выражение в первых квадратных скобках представляет собой правую часть равенства (4.6), а следовательно, всегда равно нулю. Таким образом, для того, чтобы оставшееся равенство выполнялось для любого значения j(r , τ) , необходимо, чтобы выражение во

вторых квадратных скобках было тождественно равно нулю, т.е.

dρ(τ)+ Σa (τ) ρ(τ)= 0, dτ D(τ)

и, следовательно

Из начального условия (4.7) получаем, что ρ(0) =1. Решение последнего уравнения с данным начальным условием имеет вид

169

Тождественно преобразуем интеграл в полученном выражении:

Для вышеприведенных преобразований был использован переход от переменной «возраст» к переменной «летаргия» по формуле

dτ′ = Ddu′ , а затем от переменной «летаргия» к переменной «энер-

ξΣS

гия» по формуле: du′ =− dEE′′ .

Таким образом, если учесть, что в слабопоглощающей среде

ность избежать поглощения при замедлении от энергии источника Е0 (τ = 0) до текущего значения энергии Е, соответствующего возрасту τ. А следовательно, плотности замедления в среде с поглощением и в точно такой же среде, но без поглощения, связаны между собой выражением:

или j * (rr, τ)= j(r , τ) ϕ(0, τ) .

Таким образом, вместо уравнения возраста (4.5) можно решать более простое уравнение возраста без учета поглощения:

170