Крючков Теория переноса нейтронов 2007

Чем больше доля ядер поглотителя, тем сильнее депрессия спектра нейтронов в области резонанса. Этот эффект «выедания» спектра нейтронов на резонансе при повышении доли ядер поглотителя в среде называется эффектом резонансной самоэкранировки. Он приводит к тому, что при повышении концентрации ядер поглотителя в среде скорость поглощения на резонансе, которая определяется интегралом по энергии от произведения макроскопического сечения поглощения поглотителя на спектр нейтронов, растет медленнее, чем макроскопическое сечение поглощения поглотителя.

σa , Φ

1

2

σa

E

Er

Рис. 3.23. Спектр нейтронов в области резонанса

Подставим найденный спектр Вигнера (3.78) в уравнение баланса нейтронов в интервале ∆E′:

Рассчитаем скорость поглощения на резонансе, проинтегрировав последнее выражение по интервалу энергий [E1, E2]:

151

Вероятность избежать поглощения при замедлении в области энергий [E1, E2] будет определять следующей формулой:

В последнем равенстве учтено, что интеграл всегда существенно меньше единицы, и использована формула разложения экспоненциальной функции около нуля.

Таким образом, для вероятности избежать поглощения на узком изолированном резонансе при замедлении на ядрах замедлителя с атомной массой большей единицы получена следующая формула:

Если учесть, что функция 1/E слабо меняется на небольшом интервале [E1, E2], то для расчетов вероятности избежать поглощения на узком изолированном резонансе при замедлении на ядрах замедлителя с атомной массой большей единицы можно использовать следующую формулу:

152

функция и ∑SП(E′) – сильноменяющаяся резонансная функция. Но

поскольку рассматривается тяжелый поглотитель, то замедлением на поглотителе часто пренебрегают (это так называемое приближение бесконечной массы поглотителя). При этом в ∑tot (E′) учиты-

3.13. Поглощение нейтронов на группе узких изолированных резонансов

Рассмотрим задачу о нахождении вероятности избежать поглощения на группе узких изолированных резонансов в сечении поглощения поглотителя, расположенных в асимптотической по отношению к замедлителю области энергии. Отметим, что результат будет приближенным, поскольку не все резонансы в сечении поглощения поглотителя реально являются узкими и изолированными по отношению к замедлению на реальных замедлителях.

Всю энергетическую область в данной задаче представим как совокупность непересекающихся энергетических интервалов (рис. 3.24), в каждом из которых выполняется одно из нижеследующих условий:

•макроскопическое сечение поглощения много меньше макроскопического сечения рассеяния (область слабого поглощения), это условие реализуется между узкими изолированными резонансами или в области неразрешенных резонансов;

•внутри интервала расположен узкий изолированный резонанс

всечении радиационного захвата поглотителя.

В предыдущем разделе были получены выражения для расчета вероятности избежать поглощения при замедлении для обоих, перечисленных выше, случаев: выражение (3.75) для случая слабого поглощения и (3.79) для случая узкого изолированного резонанса.

153

Видно, что вид этого выражения не зависит от рассматриваемого случая. Для расчета вероятности избежать поглощения при замедлении для всей энергетической области [E1, E2] необходимо перемножить вероятности избежать поглощения при замедлении для каждого из энергетических интервалов, составляющих эту область (см. рис. 3.24), при этом каждая из вероятностей определяется одним и тем же выражением (3.75) или (3.79):

Рис. 3.24. Схема разбиения энергетической области на интервалы

Необходимо отметить, что последнее выражение:

•точное для замедления на водороде;

•приближенное для случая слабого поглощения при замедлении на ядрах с атомной массой большей единицы;

•приближенное для случая одного или нескольких узких изолированных резонансов в сечении поглощения поглотителя при расположенных в асимптотической области энергии по отношению к замедлению на замедлителе с атомной массой большей единицы.

154

В физике ядерных реакторов большой интерес представляет вероятность избежать поглощения при замедлении от Е0 – энергии, при которой нейтроны рождаются (около 2 МэВ), до Еth – верхней границы тепловой области энергии (1 – 5 эВ). Естественно, что эту вероятность можно рассчитать по формуле:

3.14. Эффективный и истинный резонансные интегралы

Расчет вероятности избежать поглощения при замедлении по общей, пусть даже приближенной, формуле (3.81), представляет собой сложную задачу. Действительно, для каждой конкретной топливной композиции необходимо вычислить интеграл по энергетической переменной от функции, которая имеет сложную (резонансную) зависимость от энергии и которая стоит и в числителе, и в знаменателе подынтегральной функции. Задача существенно усложняется для реальных сред, состоящих из нескольких десятков резонансных поглотителей (тяжелых ядер).

В показателе экспоненты в выражении (3.81) стоит интеграл

R = E∫0 Σa (E( ′))dE′ , который пропорционален скорости поглоще-

Eth ξΣtot E′ E′

ния нейтронов. Действительно, скорость поглощения нейтронов в области от Еth до Е0 рассчитывается по формуле:

R1 = E∫0Σa (E′)Φ(E′)dE′,

Eth

где в общем случае под интегралом стоит спектр Вигнера

155

летаргия, соответствующая Еth.

Если во всей области замедления реализуется случай слабого поглощения, то полное макроскопическое сечение приблизительно равно макроскопическому сечению рассеяния замедлителя и не зависит от энергии нейтрона ( Σtot (E) ≈ ΣSЗ ). В этом случае выраже-

ние для R можно переписать следующим образом:

Величина I называется истинным резонансным интегралом, пред-

ставляет собой интеграл от микроскопического сечения поглощения поглотителя по всей области замедления и измеряется в барнах. Истинный резонансный интеграл не зависит от соотношения ядер поглотителя и замедлителя в среде, а является характеристикой данного нуклида. Для всех значимых в физике ядерных реакторов нуклидов он рассчитан и приведен в соответствующих справочниках. Таким образом, если во всей области замедления реализуется случай слабого поглощения, то вероятность избежать резонансного захвата может быть рассчитана по формуле:

156

В общем случае преобразуем выражение для R следующем образом:

где введено обозначение

Величина Iэф называется эффективным резонансным интегралом и

измеряется в барнах. Эффективный резонансный интеграл рассчитывается для конкретной среды, поскольку он зависит от соотношения ядер поглотителя и замедлителя в среде, т.е. от изотопного состава среды. Эффективный резонансный интеграл в отличие от истинного учитывает резонансную самоэкранировку, поскольку использует спектр Вигнера. Зная эффективный резонансный интеграл в данной среде, можно рассчитать вероятность избежать поглощения при замедлении:

где NП – концентрация ядер поглотителя в среде.

Исходя из последней формулы, легко дать определение Iэф .

Эффективный резонансный интеграл – эффективное микроскопи-

ческое сечение поглощения ядер резонансного поглотителя, которое позволяет на невозмущенном спектре замедления (спектре Ферми – 1/ξΣS) правильно рассчитать интегральную величину – вероятность избежать поглощения при замедлении.

157

Глава 4 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ЗАМЕДЛЯЮЩИХСЯ НЕЙТРОНОВ

В данной главе в рамках одной модели будут рассмотрены как пространственное распределение (диффузия), так и энергетическое распределение (замедление) нейтронов, которые обсуждались по отдельности в гл. 2 и 3 соответственно. После рождения внешним источником, или в результате деления ядер среды, нейтроны сталкиваются с ядрами, теряя энергию, и одновременно смещаются от источника нейтронов в пространстве. Поэтому для описания нейтронного поля в среде необходимо учитывать взаимосвязанные процессы диффузии и замедления нейтронов, или, другими словами, описывать пространственно-энергетическое распределение нейтронов. Таким образом, фазовое пространство для модели описания нейтронного поля, которое будет рассмотрено в данной главе, представляет собой совокупность переменных (r , E). Будет

рассматрена конечная гомогенная неразмножающая и слабопоглощающая среда (Σa << ΣS ) , состоящая из тяжелых ядер (А >> 1).

Размер среды должен быть существенно больше длины свободного пробега нейтронов в этой среде. Модель нейтронного поля будет формулироваться для пространственных областей, расположенных далеко (более трех длин свободного пробега нейтрона в среде) от локальных неоднородностей и в асимптотической области энергий. В случае замедления на ядрах с атомной массой существенно большей единицы, как было показано в гл. 3, упругое потенциальное рассеяние изотропно в ЛС. Если при этом рассматривать изотропный источники нейтронов, то можно сформулировать уравнения относительно интегральных по угловой переменной функций, т.е. исключить зависимость от угловой переменной. Отметим, что требование того, чтобы среда состояла из тяжелых ядер, является необходимым для применимости рассматриваемой модели (для сред, состоящих из водорода и дейтерия, данная модель не применима), но расчетные исследования показали, что данная модель может с успехом использоваться для описания нейтронного поля в

159

средах, состоящих из веществ с атомной массой больше десяти, т.е. для реальных замедлителей (H2O, C, D2O, Be и др.).

4.1. Уравнение замедления в диффузионном приближении

Рассмотрим баланс нейтронов в элементарном фазовом объеме dVdE около точки фазового пространства (r , E). При этом одно-

временно учтем два процесса – замедление нейтронов и их диффузию. Рассмотрим стационарную задачу и неразмножающую среду, состоящую из тяжелых ядер.

Уравнение баланса нейтронов в элементарном фазовом объеме в данном случае будет иметь вид

− L(r , E)− A(r , E)+ R(r , E)+Q(r , E)=0 ,

где L(r , E) – скорость утечки нейтронов из dVdE через границу объема dV за счет диффузии; A(r , E) – скорость исчезновения нейтронов из dVdE за счет процессов поглощения и рассеяния нейтронов; R(r , E) – скорость генерации нейтронов в dVdE за счет замедления при E′ > E ; Q(r , E) – скорость генерации ней-

тронов в dVdE внешним источником.

Отметим, что любое рассеяние нейтрона уводит его из фазового объема dVdE , поскольку вероятность того, что энергия нейтрона после рассеяния останется в элементарном интервале dE бесконечно мала. Каждое из слагаемых в уравнении баланса можно записать известным способом, который подробно обсуждался или в гл. 2, или в гл. 3 при выводе соответствующих уравнения баланса нейтронов:

L(rr, E)=div i (rr, E)dVdE ,

где i (rr, E) – вектор тока нейтронов;

160