Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планиров. Ч.1 2011
.pdfнительно предположим, что вперед рассеянные фотоны имеют ли-
~
нейный коэффициент ослабления . Отсюда получаем, что доза
от рассеянного излучения на глубине z, отнесенная к единичному энергетическому флюенсу, будет пропорциональна следующему выражению:
z z
Ds (z) ( z’) exp[
0 0
z |
~ |
(t)dt] exp( |
(u)du) dz . (6.48) |
z |
|
Первые два члена в (6.48) описывают источник рассеянных фотонов, и последний член описывает ослабление рассеянных фото-
нов на пути от точки их рождения до точки передачи энергии в |
|||
|
~ |
ˆ |
|
среду. Заменяя в экспоненциальных членах μ и |
|||
на , получаем |
|||
для ткани: |
, |
(6.49) |
|
Ds (z) zr exp( zr ) |
|||
ˆ |
|
|
где zr – радиологическая глубина.
Соответственно, для воды будет справедливо соотношение:
Ds |
(z) z exp( z) . |
(6.50) |
w |
ˆ |
|
Отсюда, беря отношение выражений (6.49) и (6.50), получаем формулу поправочного фактора для учета гетерогенности для рассеянного излучения:
|
zr |
ˆ |
|
|
||
CFs |
|
|
|
z)] . |
(6.51) |
|
|
exp[ (zr |
|||||
|
|
z |
|
|
|
Эмпирически авторы работы [5] нашли, что ˆ 0,8 . Попра-
вочный фактор для первичной дозы в данном алгоритме предлагается определять, используя метод эквивалентной радиологической глубины.
5.3.5. Расчет дозы от заряженных частиц (Dзч)
Как отмечалось выше, заряженные частицы, ―загрязняющие‖ пучок фотонов, образуются при взаимодействии первичных фотонов с веществом головки облучателя и испытывают многократное рассеяние прежде, чем они достигнут пациента. Поэтому в [5] предполагается, что падающий на пациента флюенс заряженных частиц имеет гауссовское распределение. Ослабление же широкого
381
пучка заряженных частиц с глубиной в среде принимается экспоненциальным. Отсюда распределение поглощенной энергии, нормированное на единицу энергии падающих первичных фотонов, моделируется ядром тонкого луча, имеющего следующий вид:
К зч |
(z,r) e z e r 2 |
, |
(6.52) |
|
|||
|
|
|
где α, β, и γ – эмпирические параметры, зависящие от конструкции головки машины.
Интегрирование ядра (6.52) по квадратному полю размером t дает следующий результат для дозы от заряженных частиц на глу-
бине z (на единичный энергетический флюенс первичных фотонов):
Dзч (z,t) |
t/2 |
t/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
e z |
e (x 2 y2 |
) dxdy e z |
erf 2 ( |
|
|
|
) , |
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
t/2 |
t/2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(6.53) |
|||||||
где erf – функция ошибок, равная: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
erf(x) |
2 |
|
x e u 2 du . |
|
|
(6.54) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Эмпирические параметры α, β, и γ могут быть определены подгонкой результата расчета по формуле (6.53) к разности между измеренной и рассчитанной дозой в области накопления (buid up), т.е. считая, что эта разность создается заряженными частицами, падающими на облучаемый объект.
5.3.6. Расчет дозы от фотонов, рассеянных в головке облучателя (Dзф)
На глубинах, больших глубины проникновения заряженных частиц, ―загрязняющих ‖ пучок, доза снаружи эффективных геометрических размеров пучка определяется фотонами, рассеянными из облучаемой области пациента, и фотонами, рассеянными в головке или прошедшими через коллимационные пластины. Сумму последних двух фракций принято называть ―загрязняющими ‖ фотонами. Так как спектр первичных фотонов обычно определяется методами реконструкции из дозовых распределений в фантоме, то
382
―загрязняющие ‖ фотоны внутри первичного пучка рассматриваются тоже как первичные. Поэтому расчетная модель для ―загрязняющих‖ фотонов необходима только при расчете дозы снаружи первичного пучка.
Главным источником фотонов, рассеянных в головке машины, являются сглаживающий фильтр и первичный коллиматор [14]. Из точек внутри пациента эти два источника видятся под одним и тем же телесным углом, поэтому можно рассматривать их как один эффективный источник, расположенный на месте сглаживающего фильтра. Дозу от ―загрязняющих‖ фотонов определяют в эксперименте как разность между измеренным дозовым профилем и результатами расчета без учета этого компонента. Эту разность в соответствии с рекомендациями [5] используют для оценки параметров ξ и δ ядра тонкого луча, выраженного в виде:
Pзф |
(z,r) |
Dz |
e r |
2 |
, |
(6.55) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
где Dz – доза, рассчитанная на единичный энергетический флюенс первичного излучения.
Интегрируя ядро (6.55) по полю падающего излучения А, получаем [5]:
Dзф |
(2π |
Az |
Ds ) ξ e ς r 2 dA δ , |
(6.56) |
|
az |
|||||
|
|
A |
|
где δ – постоянный дозовый уровень, добавляемый, чтобы учесть утечку излучения из головки и погрешность измерения;
Ds – доза от рассеянного излучения в расчетной точке, добавление которой связано с невозможностью при измерении разделить дозу от первичного и рассеянного излучений.
6.Метод конечного тонкого луча (КТЛ)
6.1.Алгоритм расчета дозы на основе метода КТЛ
Конечный тонкий луч в англоязычной литературе, например [15,16], называют FSPB, т.е. тонкий (дословно ―карандашный‖) пучок с конечным поперечным сечением. Впервые эта модель для
383
расчета дозовых распределений была предложена в работе [15] и усовершенствована в работе [16].
В основе алгоритма КТЛ лежат следующие предположения:
1)пучок излучения может быть геометрически разделен на конечное число небольших пучков меньших размеров (рис.6.16);
2)все КТЛ идентичны по поперечным сечениям и создаваемым ими дозовым распределениям;
3)началом излучения является точечный источник;
4)суперпозиция дозовых распределений КТЛ дает дозовое распределение всего пучка;
5)каждый КТЛ имеет взвешенный флюенс падающих фотонов, который может изменяться вместе с позицией КТЛ в пучке.
В соответствии с моделью КТЛ доза в конкретной точке Q от nхm моноэнергетических КТЛ дается формулой:
|
|
n,m |
|
|
|
DQ Wi, j Ki,Qj A, |
(6.57) |
|
|
i, j 0 |
|
где |
K Q |
– доза в точке Q, которая создается КТЛ, находящимся в |
|
|
i, j |
|
|
i,j-позиции; |
|
||
|
|
Wij Φij0 e tij ISC , |
(6.58) |
Φij0 – флюенс первичного излучения в воздухе через попереч-
ное сечение на входной поверхности для i,j-КТЛ без учета ослабления в дополнительных поглотителях;
e tij – поправка на поглощение при прохождении через фильтр для i,j-КТЛ (рис. 6.17);
ISC – поправка на ослабление по закону обратных квадратов; ∆А – площадь поперечного сечения КТЛ на входной поверхно-
сти.
Для немоноэнергетических пучков необходимо дополнительное интегрирование по спектру падающего излучения. Если спектр мало изменяется в пределах поля излучения, то это интегрирование может быть выполнено непосредственно при расчете ядра КТЛ.
Практическое применение данного метода показало, что программы, реализующие 3-мерный расчет дозы непосредственно по формуле (6.57), требуют большого расчетного времени. Для решения этой проблемы в работе [16] было предложено применить ме-
384
тод свертки и быстрое преобразование Фурье, а сами расчеты дозы проводить в веерной геометрии с началом координат в точечном источнике.
Рис. 6.16. Представление поля облучения в виде суперпозиции КТЛ
Источник
SSD0
SSDij
Рис. 6.17. К расчету вклада в дозу от отдельного КТЛ
385
Особенность веерной геометрии по сравнению с декартовой в применении к созданию и хранению массива флюенса первичного излучения показана на рис. 6.18. Основная расчетная формула в работе [16] имеет вид:
D( , , R) Cij K( i , j , R) , |
(6.59) |
ij
где углы α, β и расстояние R показаны на рис. 6.19;
К(α-ζi, β-ζj, R) – дозовое ядро КТЛ в веерной геометрии с учетом спектра и флюенса первичного излучения и ослабления излучения в дополнительных поглотителях;
Сij – поправочный фактор на ослабление флюенса по закону обратных квадратов.
При расчете по формуле (6.59) проводится двойная интерполяция ядра КТЛ на сетку вокселей в веерной геометрии (см. рис.6.19). Такая методика позволяет повысить эффективность расчетов, так как учет наклона конкретных КТЛ под углами ζi , ζj выполняется простым сдвигом ядра по сетке.
а) |
б) |
|
Рис. 6.18. Особенность веерной геометрии в применении к созданию и хранению массива флюенса первичного излучения
386
Применение такого подхода, к сожалению, приводит к значительным погрешностям (до 50 %) на больших расстояниях от оси КТЛ, так как поправка Мэйнорда учитывает только изменение первичного излучения по закону обратных квадратов. Более точный способ, учитывающий изменение в рассеянии излучения при вариации SSD через понятие TMR, был предложен в работах [4,6] в виде:
K SSD1 (d,ao ,r ) K SSDo (d,ao ,r )
|
K SSD |
(dm |
,ao ) TMR(d,aSSD ) |
|
|
SSD |
|
d |
|
SSD |
|
d |
m |
|
2 |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
o |
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
K |
|
(d |
,a ) TMR(d,a |
|
) |
|
|
SSD |
d |
SSD |
d |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
SSDo |
m |
o |
|
SSDo |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
o |
|
|
m |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.61) |
|
|
|||
где KSSD (dm ,ao ) и |
KSSD (dm ,a0 ) – значения дозовых ядер КТЛ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на оси пучка на глубине максимальной дозы;
TMR(d,aSSDo ) – отношение ткань-максимум на глубине d при размере поля на этой глубине aSSDo .
Чтобы пользоваться этой методикой, в работе [4] была рассчитана библиотека ТМR для размеров полей от 0,1 до 10 см. Результаты расчета по формуле (6.61) существенно лучше совпали с прямым расчетом ядра КТЛ методом Монте-Карло. Однако на больших расстояниях от оси КТЛ погрешность оказалась все-таки значительной (до 12 %) [4]. Поэтому авторы [4] предложили для подобных задач еще одну методику, позволяющую при наличии библиотеки ядер КТЛ для нескольких размеров их поперечного сечения определять значения ядра КТЛ при произвольном SSD с погрешностью не более 2 %. Рассмотрим методику подробнее.
Для КТЛ при малых размерах поперечного сечения и SSD в пределах 50 100 см косинус угла падения фотонов практически не меняется и близок к единице. В этих условиях дозовое распределение на глубине d зависит, в основном, от размера поперечного сечения пучка, формируемого на этой глубине, и нормировки падающего потока. Очевидно, что если на глубине d площади поперечных сечений равны и потоки энергии через эти площади тоже
равны, то дозовые распределения будут близки между собой (рис.
6.20).
388
Соответствующая связь между ядрами имеет следующий вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
KSSD (d,r,a) KSSD |
(d,r,aef ) |
|
|
, |
(6.62) |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
o |
|
aef |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aef |
a |
SSDo |
|
SSD1 d |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
SSD1 |
SSDo d |
|
|
|
|
||
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множитель |
|
|
|
в формуле (6.62) приводит к одинаковой |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aef |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормировке по падающему потоку энергии.
SSD0
SSD1
a
aef
d
Рис. 6.20. К расчету дозового ядра КТЛ при изменении SSD
6.3. Метод конечного тонкого луча, основанный на экспериментальных дозовых распределениях
6.3.1. Основные особенности метода
Строгий расчет ядра КТЛ методом Монте-Карло встречает значительные трудности, связанные с неопределенностями в знании энергетического спектра источника. Альтернативный подход к оп-
389
ределению дозового ядра КТЛ был предложен в работах [18, 19]. Он не требует знания спектра первичного пучка фотонов и полностью основывается на обработке стандартного набора дозовых распределений фотонов для конкретной машины в водном фантоме для разных размеров полей. Доза в этом методе разделяется на до-
зу от первичного излучения Dp и дозу от рассеянного излучения
Ds:
D Dp Ds . |
(6.63) |
Доза от первичного излучения рассчитывается на основе феноменологической модели, предложенной в работах [20 – 22] (см. главу 2). При расчете Ds применяется модель КТЛ. Рассмотрим эти алгоритмы более подробно, ориентируясь, главным образом, на работу [19].
6.3.2. Расчет дозы от первичного излучения
Методика расчета первичной дозы основана на использовании эмпирического выражения из работы [20] для первичной дозы от мононаправленного круглого пучка:
|
Dp (d,r) Dp |
e ef d (1 e d ) (1 e r ) , |
(6.64) |
|
|
o |
|
где Dp |
– первичная доза на поверхности в условиях электронного |
||
|
0 |
|
|
равновесия; μ ef – эффективный линейный коэффициент ослабления; β – эмпирический коэффициент продольного электронного равновесия; γ – эмпирический коэффициент поперечного элек-
тронного равновесия.
В эксперименте измеряется полная доза D. Чтобы выделить из D первичную дозу, используется найденная в работе [21] линейная зависимость дозы от переменной z r d/ (r d) . Алгоритм оп-
ределения параметров модели включает следующие шаги:
1) измеренные PDD умножаются на значения Sср( r ), измеренные на dmax в фантоме:
D(d, r) PDD(d, r) Sср (r). |
(6.65) |
Затем таблица PDD преобразовывается в таблицу D(z,d) для квадратных полей разных размеров на глубинах d ≥ dmax. Здесь r –
390