5. Математическая модель дифракции.

Распространение электромагнитных волн описывается уравнениями Максвелла; для цилиндрической симметрии вектор напряженности электрического поля удовлетворяет уравнению[¹]:

, (11)

Здесь учтено очевидное отсутствие зависимости решения от азимутального угла. В принципе уравнение (11) может служить основой для математической модели, однако решать его численно слишком сложно, поэтому пользуются дополнительными преобразованиями. Будем искать решение (11) в виде

, (12)

где - орт, определяющий поляризацию,- комплексная амплитуда волны,k=2/ - волновое число. После некоторых нетривиальных математических преобразований, с которыми можно познакомиться по книге[²], уравнение (11) в приведенных координатахисводится к интегральному соотношению для безразмерной комплексной амплитуды

, (13)

где - переменная интегрирования,- Функция Бесселя нулевого порядка (хорошо известная и табулированная специальная функция). Выражение (13) оказывается существенно удобнее для численного моделирования, чем исходное уравнение(11).

1. Особенности дифракции гауссовых пучков.

Рис. 14. Гауссово распределение интенсивности.

Модель плоской волны является математической абстракцией. На практике всегда имеют дело с пучками света, интенсивность которых неравномерно распределена по сечению. Ограничимся одним из простейших распределений - так называемым «гауссовым»:

, (14)

где ₀- интенсивность на оси пучка, - расстояние до оси,_*- эффективная «полуширина пучка» (см. рис. 14), то есть расстояние от оси, на котором интенсивность уменьшается в «e» раз. Дифракция гауссова пучка отличается рядом особенностей, которые легко понять, анализируя предельные случаи. Очевидно, что при_*>>d/2 диафрагма вырезает из пучка его центральную часть и дифракция будет мало отличаться от рассмотренного выше случая. Напротив, при_*<<d/2 пучок вообще не будет «чувствовать» диафрагму.

6. Порядок работы.

Отвечайте на вопросы, а затем переходите к основной части работы. В начале работы машина случайным образом генерирует длину волны и гауссов параметр_* . Предполагается, что размер диафрагмы и расстояние до экрана ограничены конструкционными особенностями установки. Вашей задачей является определение. Для этого необходимо воспользоваться изложенной выше теорией Френеля. Вычисление длины волны производится по числу открытых зон ФренеляN_F, которое Вы и должны определить на основе численного моделирования. После задания Вами диаметра диафрагмыdи расстояния до экранаb, на дисплей выводятся график распределения интенсивности по радиусуrи вид дифракционной картины; для сравнения показывается изображение, подчиняющееся законам геометрической оптики. Изменяйтеb и d(лучше - что-нибудь одно, к примеру,b) так, чтобы добиться ясной дифракционной картины, по которой Вы четко сможете определить число зон Френеля. Если Вы уверены, что понимаете, сколько зон видите, сообщите об этом компьютеру и введите предполагаемоеN_F. По заданнымb,d и N_F машина вычислит расчетную длину волны; при полной уверенности, разрешите машине сравнить ее с заданной в начале. Если совпадение окажется удовлетворительным, то работа Вами выполнена и можно приступить к оформлению протокола. В противном случае, продолжайте численные эксперименты. Надежнее найти дифракционные картины, к примеру, для одной, двух и трех зон Френеля, дать машине определить длину волны в каждом из случаев, вычислить среднюю, и только после этого предложить ее компьютеру для сравнения.

В процессе работы могут возникнуть следующие варианты, которые необходимо уметь распознавать

1. Диафрагма слишком велика, чтобы вырезать из гауссова пучка плоскую верхушку, поэтому дифракция малозаметна или ее результаты никак не напоминают френелевские.

1. В отверстии укладывается существенно менее одной зоны. В результате дифракция не френелевская, а фраунгоферова.

1. Из-за гауссовой формы пучка, амплитуда в центре картины в точности не равна 4₀для нечетного числа открытых зон или нулю для четного числа. Следует иметь в виду, что функция_P(N_F)имеет локальный максимум в первом случае и локальный минимум - во втором.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. М. : Наука. 1980. 751 с.

2.Матвеев А.Н. Оптика. М.: Высшая школа. 1985. 351 с.

13