3. Дифракция френеля и дифракция фраунгофера.

Рис. 2 Схема опыта по изучению дифракции

Под дифракцией обычно понимают отклонение от законов геометрической оптики при взаимодействии световых волн с препятствиями. Рассмотрим основные особенности дифракции на примере простого эксперимента с круглым отверстием (диафрагмой) D, диаметр которогоd можно изменять. Схема опыта приведена на рис. 2. Свет от источникаS, помещенного в фокусе собирающей линзы (или удаленного на большое расстояние), падает на диафрагмуD.Интенсивность плоской световой волны перед диафрагмой равна₀.На расстоянииb от диафрагмы расположен экранЭ.ТочкаP лежит против центра отверстия; буквой «r» обозначено расстояние, отсчитываемое в плоскости экрана от точкиP.

Рис. 3. Пример распределения интенсивности по экрану при дифракции Френеля.

Пусть первоначально диаметр отверстия достаточно большой (, количественный критерий будет получен ниже). Тогда изображение на экране подчиняется законам геометрической оптики (круглое пятно с равномерной засветкой, штриховая линия на рис. 3). С увеличениемb или уменьшениемdизображение на экране приобретает аномальный для геометрической оптики характер, распадаясь на ряд светлых и темных концентрических колец с центром в точкеP. Пример возможного распределения интенсивности по экрану в этом случае приведен на рис. 3. Разумеется, энергия, прошедшая через отверстие, равна той, что распределена по экрану. Если продолжать удалять экран от отверстия или уменьшать радиус диафрагмы, то, начиная с некоторогоb₁ ,

Рис. 4. Изменение интенсивности в центре дифракционной картины при изменении расстояния до экрана.

Рис.5. Распределение интенсивности по экрану при дифракции Фраунгофера.

интенсивность в точке Pбудет многократно изменяться от максимального значения_P^max4₀ до минимального_P^min0. Сказанное иллюстрируется рисунком 4, где приведена зависимость _P/₀ отb (или от1/d).Важно отметить, что при достижении некоторого граничного значенияb₂ периодическое изменение интенсивности в центре картины прекращается и в точке устанавливается светлое пятно, размер которого превосходит диаметр отверстия. Проводя наблюдения, можно заметить, что центральное пятно окружено слабо различимыми концентрическими кольцами (в центральном круге сосредоточено~98% всей энергии, прошедшей на экран), то есть вновь имеет место дифракция, правда, с несколько другой спецификой. Сказанное иллюстрируется рис. 5. В отличие от дифракции в области «ближ­него поля», приb₁ < b <b₂ , называемой «френелев­ской», дифракция в «даль­нем поле» (приb >b₂)называется «фраунгоферовой».

4. Теория френеля.

Дифракция в ближнем поле качественно хорошо описывается приближенной теорией Френеля, краткое изложение которой приводится ниже. Теория опирается на так называемыйпринцип Гюйгенса-Френеля. Окружим источник светаSпроизвольной замкнутой поверхностьюF. В соответствии с рассматриваемым принципом, каждая точка поверхностиFявляется источником вторичных волн, распространяющихся по всем направлениям. Эти волны когерентны, так как возбуждаются одним первичным источником. По принципу Гюйгенса-Френеля, световое поле, возникающее в пространстве вне поверхности в результате интерференции вторичных когерентных волн, совпадает с полем реального источника света. Дадим математическую формулировку этого принципа. Окружим источник светаSпроизвольной поверхностьюF. Выделим на ней площадкуdF с нормалью . Будем рассматривать амплитуду колебанийdA, создаваемую площадкойdFв точкеМ, находящейся на расстоянииr :

Рис.6. К математической формулировке принципа Гюйгенса-Френеля

, (6)

где A₀ - амплитуда волны на площадке dF, ‑ угол между нормалью к площадке и направлением на точку,- так называемый коэффициент Кирхгоффа, плавно убывающий от единицы при=0 до нуля при=/2. В рамках данного описания коэффициент Кирхгоффа можно считать эмпирическим, хотя его значение и можно рассчитать теоретически. Расстояниеr,присутствующее в знаменателе формулы (6), отражает сферичность вторичных волн. Таким образом, математическая формулировка принципа Гюйгенса-Френеля следующая:

. (7)

Рис. 7. Зоны Френеля для сферической волны

Окружим источник света Sсферической поверхностьюFи рассмотрим амплитуду световой волны в точкеP (рис. 7). Разобьем поверхность на участки (зоны), проведя несколько концентрических сфер с центром в точкеP(на рисунке зоны заштрихованы). Выберем радиусы сфер равнымиb+/2 , b+2/2, ... b+m/2 (где m=1,2,3,...). Тогда соответствующие кольцевые области на поверхностиFназываютсязонами Френеля. С помощью геометрических построений можно показать, что, в случаеb>>,разница в площадях соседних зон очень мала (). В соответствии с введением, две когерентных световых волны, разность хода которых составляет/2, при интерференции полностью погасят друг друга. Так как при равенстве площадей количество светящихся точек в соседних зонах одинаково, то колебания от них в точкеPдолжны практически полностью погасить друг друга. Поставим на пути световой волны диафрагму, диаметр которой совпадает с границей четной зоны Френеля; тогда колебания от всех пар соседних зон скомпенсируют друг друга и в точкеPбудет наблюдаться темное пятно. Если же диафрагма открывает нечетное число зон Френеля, то колебания от одной из них останутся некомпенсированными и в точкеPбудет светлое пятно. Таким образом удается объяснить чередование максимумов и минимумов при изменении диаметра отверстия или расстояния до экрана, представленное на рис. 3.

Нетрудно определить и количественное значение интенсивности в точке P, воспользовавшись так называемойспиралью Френеля.

Рис. 8. Схема построения спирали Френеля

Для ее построения мысленно разобьем зоны Френеля на более мелкие подзоны. Будем изображать суммарное колебание от подзоны в виде вектора на вращающейся плоскости. Вектор от следующей подзоны должен быть повернут на некоторый небольшой угол=2x/, гдеx- разность хода между лучами от соседних подзон. Кроме того, из-за уменьшения коэффициента Кирхгоффа, амплитуда колебаний от следующей подзоны чуть меньше, чем от предыдущей. Результат сложения колебаний от отдельных подзон представлен на рис. 8. Нетрудно сообразить, что к концу первой зоны Френеля вектор от подзоны развернется на "", а к концу второй зоны- совершит полный оборот. Так как сумма нескольких векторов есть вектор, соединяющий начало первого с концом последнего из них, то амплитуда колебаний от первой зоны Френеля изображается векторомОF₁(что соответствует светлому пятну в центре дифракционной картины), а от второй - векторомОF₂(относительно темный центр). Естественно, чем меньше размер подзон, тем точнее проведенные

Рис.9. Спираль Френеля.

рассуждения. В пределе бесконечно малых подзон, ломаная линия с рис. 8. Переходит в непрерывную кривую, называемую спиралью Френеля (она изображена на рис.9). С ее помощью можно получить количественную оценку интенсивности света в центре дифракционной картины. В самом деле, амплитуда колебания от первой открытой зоны Френеля изображается вектором ОF₁ , длина которого на рис. 9 обозначена какE₁. Очевидно, что амплитуда колебаний от полностью открытого волнового фронта изображается вектором с длинойE₀. Из-за близости первого витка спирали к окружности, можно предположить, чтоE₁2E₀, или, то же самое₁4₀.

Любопытно заметить, что в колебаниях открытого фронта первая зона вносит вектор , а остальные зоны - вектор,’равный по модулю и направленный навстречу. Поэтому, если перекрыть первую зону Френеля непрозрачным диском, то в точкеP (то есть в центре геометрической тени) будет наблюдаться так называемое «пятно Пуассона» с начальной интенсивностью₀.

Рис. 10. К определению размера зон Френеля для плоской волны

Оценим размеры зон Френеля и предельные расстояния для начала френелевской или фраунгоферовой дифракции для простейшего случая плоской волны. Непосредственно из рисунка 10, по теореме Пифагора, следует:

, (8)

где учтено, что при переходе от геометрической оптики к ближнему полю дифракции . Из спирали Френеля хорошо видно, что дифракционные явления хорошо выражены лишь для первых витков спирали. Поэтому, в качестве критерия перехода к геометрической оптике можно взять (с некоторой долей произвола) условиеm~10. Выражая из (8) количество зон, укладывающихся в отверстии, будем иметь, что дифракция Френеля наблюдается при необходимом условии. (9)

Чтобы в центре наблюдалось темное пятно, необходимо наличие хотя бы двух открытых зон Френеля. Когда в отверстии укладывается существенно

Рис. 11. К определению пределов дифракции Френеля

меньшая часть волнового фронта, чем первая зона, происходит переход к фраун­гоферовой дифракции в дальнем поле. Приближенный количественный критерий перехода можно получить, потребовав, чтобы разность хода между крайними лучами от диафрагмы не превышала, к примеру, /4(см. рис.11):

. (10)

Так как (число зон Френеля, укладывающихся в отверстие), для наблюдения френелевской дифракции необходимо выполнить условие:. При нарушении этого неравенства слева начинается дифракция Фраунгофера, справа - изображение отверстия подчиняется законам геометрической оптики.

Изложенная простая теория также дает возможность качественно объяснить происхождение множества дифракционных колец. В самом деле, представим себе, что мы смотрим на отверстие и строим зоны Френеля не из точки P, а из, смещенной относительно центра дифракционной картины на расстояниеr.

Рис.12. Зоны Френеля. Построенные из точки, смещенной по экрану относительно центра диафрагмы

Открывающаяся нашему взгляду картина представлена на рис. 12. При взгляде под углом круг трансформируется в эллипс и не все зоны Френеля целиком в нем помещаются. Далее, если площади нечетных и четных зон (на рис.12 они заштрихованы) примерно равны, в точке будет наблюдаться минимум интенсивности. Соответственно, будут иметь место и максимумы. Более тщательный анализ показывает, что число горбов на графике для интенсивности в зависимости от прямолинейной координаты «х», ось для которой проходит через точкуP, совпадает с числом открытых зон. Это утверждение иллюстрируется рис. 13, где приведены зависимости(x)/₀для случая одной (13-а), двух (б) и трех открытых зон.

а	б	в
Рис 13. Примерное распределение интенсивности по экрану для одной (а), двух (б) и трех (в) открытых зон Френеля.