1 курс летняя сессия / Линейная алгебра / Вопросы к экзамену по линейной алгебре

Вопросы к экзамену по линейной алгебре для студентов факультета экономики 1 курс 2 семестр 2011-2012 уч.г.

1. Элементы линейной алгебры.

1. Матрицы (основные определения, виды матриц).

2. Действия над матрицами (сложение, вычитание матриц, умножение матрицы на число). Их свойства.

3. Действия над матрицами (умножение, транспонирование матриц). Их свойства.

4. Определители (основные понятия). Вычисление определителей второго и третьего порядков.

5. Свойства определителей.

6. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение.

7. Вычисление определителей четвертого и выше порядков.

8. Элементарные преобразования матриц.

9. Обратная матрица, её вычисление и свойства.

10. Базисный минор матрицы.

11. Ранг матрицы. Его свойства.

12. Эквивалентные матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.

13. Системы линейных алгебраических уравнений (основные понятия).

14. Решение невырожденных линейных систем. Матричный метод решения систем уравнений.

15. Решение невырожденных линейных систем. Метод Крамера.

16. Решение произвольных систем уравнений. Теорема Кронекера - Капелли.

17. Элементарные преобразования систем уравнений.

18. Метод Гаусса решения линейных систем.

19. Решение системы однородных линейных уравнений.

2. Элементы векторной алгебры.

20. Векторы (основные определения).

21. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число). Их свойства.

22. Проекция вектора на ось, свойства проекций.

23. Разложение вектора по ортам. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

24. Система координат в пространстве. Действия над векторами, заданными своими координатами.

25. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты, применение к решению задач.

26. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов, применение к решению задач.

27. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов, применение к решению задач.

3. Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.

28. Система координат на плоскости. Виды систем координат.

29. Приложения метода координат на плоскости (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении, площадь треугольника).

30. Преобразование системы координат (параллельный перенос, поворот осей координат).

31. Линии на плоскости. Основные понятия. Способы задания линии на плоскости.

32. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Возможные частные случаи.

33. Общее уравнение прямой на плоскости. Возможные частные случаи.

34. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

35. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

36. Уравнение прямой в отрезках на плоскости.

37. Уравнение прямой по точке и вектору нормали на плосости.

38. Полярное уравнение прямой на плоскости.

39. Нормальное уравнение прямой на плоскости.

40. Основные задачи о прямой на плоскости (угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, расстояние от точки до прямой).

41. Уравнение поверхности в пространстве. Основные понятия.

42. Уравнение линии в пространстве. Основные понятия.

43. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

44. Общее уравнение плоскости. Возможные частные случаи.

45. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

46. Уравнение плоскости в отрезках.

47. Нормальное уравнение плоскости в векторной и координатной формах.

48. Основные задачи о плоскости (угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, расстояние от точки до плоскости).

49. Прямая в пространстве: векторное уравнение.

50. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

51. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

52. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

53. Общее уравнение прямой в пространстве.

54. Основные задачи о прямой в пространстве (угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве).

55. Основные задачи о прямой в пространстве (условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости – 2 случая).

56. Основные задачи о прямой и плоскости в пространстве (угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости).

57. Основные задачи о прямой и плоскости в пространстве (пересечение прямой с плоскостью, условие принадлежности прямой плоскости).

4. Линейные пространства. Линейные преобразования

58. Понятие линейного векторного пространства.

59. Вектор в п-мерном пространстве.

60. Линейная зависимость и независимость векторов.

61. Свойства линейной зависимости векторов.

62. Размерность векторного пространства.

63. Базис векторного пространства.

64. Разложение вектора по базису.

65. Дополнение до базиса.

66. Матрица перехода к новому базису.

67. Свойства матрицы перехода к новому базису.

68. Линейные подпространства.

69. Сумма и пересечение линейных подпространств. Свойства суммы и пересечения линейных подпространств.

70. Линейная оболочка векторов линейного пространства. Свойства линейной оболочки.

71. Евклидовы пространства. Основные понятия.

72. Свойства длины вектора в евклидовом пространстве.

73. Ортонормированная система векторов.

74. Ортогональное дополнение.

75. Свойства ортогонального дополнения.

76. Линейные отображения. Основные понятия. Примеры.

77. Образ, ранг, ядро, дефект линейного тотбражения.

78. Отображение базиса.

79. Линейные операторы и их свойства.

80. Структура линейного оператора.

81. Матрицы оператора в разных базисах.

82. Определитель оператора в разных базисах.

83. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

84. Независимость собственных векторов.

85. Симметричный оператор.

86. Ортогональность собственных векторов.

87. Понятие квадратичной формы.

88. Связь между квадратичной формой и оператором.

89. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

90. Свойства канонических форм.

91. Критерий Сильвестра.

5. Комплексные числа и многочлены.

92. Комплексные числа. Основные понятия.

93. Геометрическое изображение комплексных чисел.

94. Формы записи комплексных чисел.

95. Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение).

96. Действия над комплексными числами (деление, возведение в степень, извлечение корня п-й степени.

97. Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел.

98. Многочлен одной переменной. Основные определения.

99. Операции над многочленами (сложение, вычитание, умножение).

100. Деление многочленов. Теорема о делении многочленов с остатком.

101. Делители многочленов. Свойства делимости многочленов.

102. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.

103. Взаимно простые многочлены.

104. Корни многочленов. Теорема о корне многочлена.

105. Схема Горнера при делении многочленов.

106. Кратные корни многочлена.

107. Основная теорема алгебры.

108. Следствия из основной теоремы алгебры.

4