1. Метод половинного деления

Пусть корень уравнения (1) отделен на отрезке [a;b]. Требуется найти значение корня с точностью ε.

"Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности (6):

В в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которых функция F(x)=0 имеет разные знаки"[8]. "Точность будет достигнута, если:

Корень уравнения вычисляется по формуле x=(a_n+b_n)/2 (7)"[1].

Пример:

Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления с точностью до 0,00001.

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Заполнить ячейки A1:H1 последовательно следующим образом: a, b, c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c), |b-a|<=2*e, e.

2. Ввести в ячейку A2 число 5, в ячейку B2 - число 6.

3. В ячейку B2 ввести формулу: =(A2+B2)/2.

4. В ячейку D2 ввести формулу: =cos(2*A2)+A2-5, скопировать эту формулу в ячейки E2:F2.

5. Ввести в ячейку G2 формулу: =ЕСЛИ(ABS(B2-A2)<=2*$H$2;C2;"-").

6. Ввести в ячейку H2 число 0,00001.

7. В ячейку A3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;A2;C2).

8. В ячейку B3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;C2;B2).

9. Диапазон ячеек C2:G2 скопировать в диапазон ячеек C3:G3.

10. Выделить диапазон ячеек A3:G3 и с помощью маркера заполнения заполнить все нижестоящие ячейки до получения результата в одной из ячеек столбца G (это ячейки A3:G53).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32977.

2. Метод хорд

" Для реализации данного метода, нужно построить исходную функцию y=F(x) и найти значения функции на концах отрезка F(a) и F(b). Затем провести хорду М₁M₂ c концами в точках М₁(a, F(a)) и M₂(b, F(b)). Абсцисса точки пересечения хорды М₁M₂ с осью OX это и есть приближенный корень x₁. Далее найти точку M₃(X₁ ,F(x₁ )), построить следующую хорду и найти второй приближенный корень x₂. И так далее. В зависимости от поведения функции возможны два случая:

Рис. 1

Рис. 2

Для первого случая (Рис. 1) справедлива следующая формула (8):

и справедливо неравенство: F(a)*F''(a)>0, где x₀=b.

Для второго случая (Рис. 2) справедлива следующая формула (9):

и справедливо неравенство: F(b)*F''(b)>0, где x₀=a.

Условия сходимости метода секущих аналогичны условиям сходимости метода Ньютона, т. е."[1]

.

Пример:

Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд с точностью до 0,00001.

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать одну из двух предложенных формул для решения задачи, для этого:

Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

Заполнить ячейки следующим образом:

• - В ячейку A1 ввести a.

• - В ячейку A2 ввести цифру 5.

• - В ячейку B1 ввести b.

• - В ячейку B2 ввести цифру 6.

• - В ячейку C1 ввести f(x)=cos(2x)+x-5.

• - В ячейку C2 ввести формулу =COS(2*A2)+A2-5.

• - В ячейку D1 ввести f1(x)=-2sin(2x)+1.

• - В ячейку E1 ввести f2(x)=-4cos(2x).

• - В ячейку E2 ввести формулу =-4*COS(2*A2).

• - В ячейку F1 ввести Выбор формулы.

• - В ячейку F2 ввести формулу =ЕСЛИ(C2*E2>0;"Воспользоваться формулой 8";"Воспользоваться формулой 9").

• - В ячейку G1 ввести e.

• - В ячейку G2 ввести цифру 0,00001.

• В итоге получается следующее:

2. Исходя из того, что выбрана формула 9, в Excel необходимо выполнить следующие действия:

• В ячейку A4 ввести xn.

• В ячейку B4 ввести f(xn).

• В ячейку C4 ввести b-xn.

• В ячейку D4 ввести f(xn)*(b-xn).

• В ячейку E4 ввести f(b).

• В ячейку F4 ввести f(b)-f(xn).

• В ячейку G4 ввести xn-f(xn)*(b-xn)/f(b)-f(xn).

• В ячейку H4 ввести |f(xn)|<=e.

• В ячейку A5 ввести цифру 5.

• В ячейку B5 ввести формулу =COS(2*A5)+A5-5.

• В ячейку C5 ввести формулу =$B$2-A5.

• В ячейку D5 ввести формулу =B5*C5.

• В ячейку E5 ввести формулу =COS(2*$B$2)+$B$2-5.

• В ячейку F5 ввести формулу =$E$5-B5.

• В ячейку G5 ввести формулу =A5-(B5*C5/F5).

• В ячейку H5 ввести формулу =ЕСЛИ(ABS(B5)<=$G$2;A5;"-").

• В ячейку A6 ввести формулу =G5.

• Выделить диапазон ячеек B5:D5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек B6:D6.

• Выделить диапазон ячеек F5:H5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек F6:H6.

• Выделить диапазон ячеек A6:H6 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек ниже до получения результата в одной из ячеек столбца H (A6:H9).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.