Варламов Линейные електрические цепи переменного тока Част ИИ 2008

Комплексная проводимость участка равна:

значение резонансной частоты при резонансе токов совпадает со значением резонансной частоты в последовательном контуре при резонансе напряжений (см. формулу (2.3)). Важно отметить, что на резонансной частоте проводимость всего участка является вещественной Y (ω0 ) = g !

Пусть к рассматриваемому участку приложено напряжение U и по параллельным ветвям, соответственно, протекают токи I g , I L ,

IC , причем общий ток I = I g + I L + IC (согласно первому закону

Кирхгофа).

Сохраняя неизменное значение амплитуды приложенного напряжения, проанализируем, как будут меняться токи и проводимости ветвей и всего участка при изменении частоты ω.

Комплексную амплитуду тока можно выразить через комплекс-

Это означает, что комплексная амплитуда тока и напряжения

прямо пропорциональны, векторы I и U направлены вдоль одной прямой, а потому нет сдвига фаз между общим током и приложенным напряжением. Последний из перечисленных признаков по существу является определением (условия) резонанса в электрических цепях.

31

Оценим амплитуду общего тока:

наименьшей (по сравнению с амплитудой тока на любых других частотах ω ≠ ω0 ) . Кроме того, важно отметить, что из соотноше-

ния (2.14) следует, что при резонансе токов I = I g , т.е. общий ток совпадает с током через ветвь с резистивным элементом. Проводи-

плексные амплитуды токов в ветвях с индуктивным и емкостным элементом, соответственно, можно представить так:

IC = U yC = U jωC = ωCU e j π2 .

Эти соотношения показывают, что векторы I L и IC противопо-

денный при рассмотрении резонанса напряжений, используется и для резонанса токов.

32

C

Таким образом, в режиме резонанса токов по параллельным ветвям с индуктивным и емкостным элементами, соответственно, протекают равные по величине и противоположные по знаку токи, амплитуды которых могут существенно превосходить амплитуду общего тока. Фактически, внутри контура, образованного двумя указанными ветвями, циркулирует ток I LC = I L = IC , который не вы-

текает из этого контура (замкнут в нем).

Поэтому рассматриваемый участок электрической цепи, изображенной на рис. 22, можно заменить при резонансе токов более простым эквивалентным участком (рис. 24).

На рис. 24 пунктиром указан L-C-контур, по которому циркулирует ток I LC . Этот контур не влияет на работу остальной цепи, так

33

как общая проводимость емкостной и индуктивной ветвей

Рис. 24

Рассмотренная модель электрической цепи с параллельным контуром позволила получить простые соотношения между токами в ветвях и приложенным напряжением, простую формулу для резонанса частоты ω0 , наглядную векторную диаграмму, элементар-

ную эквивалентную схему участка цепи в режиме резонанса. Вместе с тем эта модель не учитывает активные потери в ветвях с реактивными элементами и имеет ряд других ограничений. Поэтому рассмотрим более значимые для практики модели, схемы которых изображены на рис. 25 и рис. 26.

Для модели электрической цепи, схема которой изображена на рис.25, полная комплексная проводимость Y складывается из проводимостей Y1 и Y2 первой и второй ветви соответственно:

34

Сгруппировав члены вещественной и мнимой части для проводимости Y получаем:

венно.

Из условия резонанса токов ImY = 0 находим резонансную частоту ω p :

C

тура.

35

Важно отметить, что при r 1 = r2 ≠ ρ резонанс токов возникает на частоте ω p = ω0 . В том случае, когда r1 = r2 = ρ , условие резонанса ImY = 0 (или b(ω) = 0 ) выполняется на любой частоте, а весь уча-

сток цепи может быть заменен эквивалентным сопротивлением

Z э = ρ .

Приняв в соотношении (2.19) r2 = 0 получаем значение резо-

нансной частоты для модели электрической цепи, схема которой изображена на рис. 26:

Особенности векторной диаграммы токов в режиме резонанса для цепей (рис. 25 и рис. 26) рассмотрены на конкретных примерах (см. задачи 27 и 28), что позволяет избежать громоздких выкладок,

иделает рассмотрение более наглядным.

Врежиме резонанса тока полная проводимость Yp = g (ω p ) яв-

ляется вещественной, поэтому (как для участка цепи, изображенного на рис. 25, так и для участка на рис. 26): I p = U Y = U g (ω p ) .

Из полученного соотношения следует, что на резонансной частоте ω p весь участок электрической цепи может быть заменен рези-

ражение (2.19) для ω p в соотношение (2.18) и выполнив элемен-

тарные преобразования, можно получить простую формулу для расчета значения проводимости (или сопротивления) контура в момент резонанса токов:

Анализ соотношения (2.18) показывает, что условие резонанса ImY = 0 выполняется на частоте ω p , а условие минимума |Y| дос-

тигается на частоте ωm , причем в общем случае ω p ≠ ωm . Поэтому

амплитуда тока I имеет минимум на частоте ωm , а нулевой фазовый сдвиг общего тока относительно приложенного напряжения имеет место на частоте ω p . Этим рассмотренные цепи (рис. 25 и

рис. 26) отличаются от простейшего параллельного контура (см. рис. 23), в котором условия ImY = 0 и min | Y | обеспечивают-

ся при одинаковой частоте ω0 .

2.2.2. Энергетические соотношения при резонансе токов

Энергетические процессы при резонансе токов в простейшей цепи, схема которой изображена на рис. 22, аналогичны процессам энергообмена в цепи с последовательным соединением R – L – C элементов при резонансе напряжений.

В режиме резонанса токов для комплексных амплитуд токов индуктивного и емкостного элементов выполняется соотношение

I L = −IC . Это означает, что синусоидальные токи iL (t) и iC (t) находятся в противофазе (сдвиг фаз составляет π). Пусть через емко-

элемент протекает ток: iL (t) = I L cos(ωt + ψ − π) = −IC cos(ωt + ψ) . К параллельным ветвям приложено одинаковое напряжение u(t) и

для мощности в индуктивном и емкостном элементах выполняется:

pL + pC = u(t) iL (t) + u(t) iC (t) = u(t)[iL (t) + iC (t)] = = u(t)[−iC (t) + iC (t)] =

Пусть приложенное напряжение задано: u(t) = = U sin(ωt + ψ) . В этом случае токи через емкостной и индуктивный элементы, соответственно, можно записать так:

37

Мгновенные значения энергии магнитного и электрического поля представим в виде (заметив, что в рассматриваемой цепи uC (t) = uL (t) = u(t) ):

мгновенные значения энергии магнитного и электрического поля изменяются в противофазе. Из соотношения pL + pC = 0 ясно, что

pL = − pC , а это означает, что

Продифференцировав правые части (2.20) и подставив результат в (2.21) получаем:

WL[− sin 2(ωt + ϕ)] 2ω = −WC [sin(2ωt + ϕ)] 2ω .

После сокращения получаем: WL = WC . Подобный результат был

получен для максимума энергии магнитного поля и электрического поля при рассмотрении резонанса напряжения (см. раздел 2.1.2). Сохраняют свое значение и графики на рис.15, которые иллюстрируют изменение во времени WL (t) и WC (t) (полное совпадение с

представленными графиками достигается, когда начальная фаза ψ = 0) . Справедливым остается и вывод об энергообмене в режиме

38

Очевидно что при резонансной частоте ϕ(ω0 ) = 0 . Для частот ω < ω0 фазовый сдвиг тока относительно напряжения ϕ > 0 , что характерно для цепей, проводимость которых носит индуктивный характер ( bL > bC ). Когда частота ω > ω0 , фазовый сдвиг ϕ < 0 , что характерно для цепей с емкостной проводимостью ( bL < bC ). График зависимости от частоты реактивной проводимости b(ω) изображен на рис. 28.

Рис. 28

Амплитуды токов в ветвях параллельного колебательного контура при неизменной амплитуде приложенного напряжения про-

IC = U ωC . График зависимости амплитуд токов от частоты изображен на рис. 29.

На резонансной частоте ω0 проводимость цепи наименьшая –

ток так же минимален. Если поддерживать неизменной амплитуду общего тока I, то получим зависимости напряжения U (приложенного к контуру) и токов IL, IC, Ig от частоты (подобно тому, как ранее было сделано для последовательного контура при рассмотрении резонанса напряжений):

40