Коэффициенты Стьюдента

Число степеней свободы f	Надежность  (доверительная вероятность)
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,999
1	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	32	640
2	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	32
3	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	13
4	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	8,6
5	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	6,9
6	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	6,0
7	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	5,4
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	5,0
9	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	4,8
14	0,69	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1	2,6	4,1
19	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1	2,5	3,9
	0,67	0,84	1,0	1,3	1,6	2,0	2,3	3,3

Примечание. Число степеней свободы равно числу независимых величин xi . При расчете S из n значений только n-1 значений будут независимыми, т.к. величины xi связаны одним уравнением: Поэтому в данном случае число степеней свободы будет равно f = n-1.

Пример.При измерении размера детали штангенциркулем получены следующие результаты:

№ п/п	xi , мм	xi мм	(xi)2, мм2
1	36,2	0,05	2510-4
2	36,1	-0,05	2510-4
3	36,3	0,15	22510-4
4	36,0	-0,15	22510-4
5	36,1	-0,05	2510-4
6	36,2	0,05	2510-4

<x>=36,15 мм(x_i)²= 55010^-4мм

1. Результаты определения<x>,x_iи(x_i)²приведены в таблице. Таблица такого типарекомендуется для удобстваобработки результатов. Для вычисления<x> вместо формулы (1) рекомендуется эквивалентная формула, которая упрощает вычисления.

<x> = a + ( (x_i-a) )/n,

где a- любое “удобное” число, близкое к результату измерения. Если в нашем случае положить a= 36.0, то

<x> = 36,0 + (0,2+0,1+0,3+0,0+0,1+0,2)/6 = 36,15 мм..

Общая часть результатов a = 36.0 при этом не обрабатывается.

2. Находим среднеквадратичное отклонение по формуле (2)

мм.

Здесь общий множитель 10^-2заранее вынесен из-под знака корня.

3. Определяем по табл.2 коэффициент Стьюдента для  = 0.95 иf=6-1=5:t(0,95;5) = 2.6 . Предельное значение погрешности (доверительный интервал) с вероятностью (надежностью ) 0.95 равен

x = 2,64,310^-2 = 0,11 мм.

4. Так как полученная статистическая погрешность близка к погрешности штангенциркуля ( 0.1 мм ), необходимо внести уточнения по формуле (6). Окончательное значение погрешности

мм.

5. Результат запишется в виде

x = 36,15  0,15 мм,  = 0,95.

Этот результат означает, что с вероятностью 0.95 истинное значение измеряемой величины лежит внутри интервала от 36.00 до 36.30мм.

Погрешности косвенных измерений. Часто оказывается, что искомая величина есть функция прямо измеряемых величин. Погрешность такой величины вычисляется через погрешности прямых измерений.

Случай одной переменной. Пусть искомая величина w есть некоторая известная функция прямо измеренной величины x , погрешность которой x, определена одним из указанных выше способов.

w = f(x)

Предполагая величину x малой, погрешность величины w можно найти как дифференциал функции:

w = f_x^’(x)x (7)

где f_x^’(x) - производная функции f(x) по x.

Случай нескольких переменных. Пусть искомая величина w есть известная функция нескольких переменных x,y ..., погрешности которых x, y ... определены ранее одним из указанных выше способов:

w = f(x,y, ...)

Тогда правило дифференцирования дает формулы

w_x = f_x^’(x)x

w_y = f_y^’(x)y, (8)

. . . . . .

где f_x’(x), f_ó’(x), ...- частные производные функции w = f(x,y, ...) по переменным x, y, и т. д. Величины w_x, w_y , ... нужно рассматривать как частные погрешности, возникающие за счет погрешности каждого аргумента в отдельности.

Однако нам известны не сами погрешности, а их предельные значения, которые пропорциональны среднеквадратичным отклонениям. Поэтому согласно правилу сложения дисперсий независимых величин необходимо суммировать не сами частные погрешности, а их квадраты.

⁽⁹⁾

Непосредственное суммирование частных погрешностей без учета знака дало бы завышенный результат по сравнению с формулой (9). Однако маловероятно, что все погрешности величин x, y, z одновременно достигнут предельного значения с одним знаком. При использовании формулы (9) доверительная вероятностьwоказывается та же, что и доверительная вероятность погрешностейx, y, ...

Рекомендуется следующий порядок расчета погрешностей:

1. Определяют погрешности прямых измерений одним из указанных выше способов.

2. Находят частные производные и определяют частные погрешности искомой величины по формуле (8).

3. Результирующую погрешность находят по формуле (9).

Примечание. Если одна или несколько частных погрешностей окажутся заметно меньше ( 3 раза ) остальных, то в формуле их можно не учитывать без заметного ущерба точности.

Пример. По результатам измерения диаметра цилиндра d=15,50,2 мм и высоты h=20,00,4 мм определить объём цилиндра V и погрешность его измерения V.

Рабочая формула:

1. Находим объём цилиндра

^{V= м3}

2. Находим частные погрешности

^V_d^{= м3}

^V_h^{= м3}

3. Находим результирующую погрешность

V= м³

Ответ V=(3,770,12)10^-6 , м³

Примечание.Если аргументы входят в расчетную формулу только в виде произведений или частных в некоторой степени, то расчет погрешностей можно упростить. Пусть

^.

Прологарифмируем эту формулу

lnw=lnx+lny-lnz.

По правилу дифференцирования

Но величины

представляют собой относительные погрешности соответствующих величин. Поскольку каждая погрешность является независимой, то суммировать следует не конкретные приращения (с учетом знака), а их максимальные (доверительные) значения

Таким образом, если какая-либо величина входит в расчетную формулу в виде множителя в степени(включая отрицательные и дробные), то ееотносительнаяпогрешность дает вклад в общую погрешность (относительную) с этим множителем.

В указанном случае рекомендуется следующий порядок расчета:

1. Находят относительные погрешности аргументов

⁽¹⁰⁾

2. Производят суммирование относительных погрешностей (с учетом показателей степени) по формуле.

(11)

3. Находят погрешность величины wпо формуле

w=w(12)

Пример. Определить указанным способом погрешности по данным предыдущего примера.

1. Определяем относительные погрешности определения диаметра цилиндра и его высоты:

2. Находим относительную погрешность определения объема:

 =

3. Абсолютная погрешность определения объема равна

^w = ^м3

Легко видеть, что использование этого метода упрощает вычисление погрешностей. Обратите внимание, что поскольку диаметр входит в рабочую формулу в степени 2, то влияние его погрешности на погрешность результата удваивается.

Основные правила вычисления. Точность производимых в эксперименте вычислений должна соответствовать точности измерений. Рассмотрим два числа: 0.0204 и 0.02040 . Эти два числа имеют различную точность записи. Точность числа определяется числом значащих цифр. Значащей цифрой приближённого числа в десятичной записи называется любая цифра, кроме нулей, расположенных слева от первой ненулевой цифры. Так, в числе 0,02040 четыре значащие цифры. Первые два нуля не являются значащими и служат для указания разряда. Значащими являются цифры 2,0,4 и нуль, расположенный справа. Этот нуль указывает на численное значение разряда. В числе 0.0204 три значащие цифры. Разряд 10^-5 в этом числе не определен.

Абсолютная погрешность записи числа равна половине единицы последнего приведенного в записи разряда. Так, число 0,0204 могло получиться округлением любого числа в интервале 0,0204±0,00005. Следует помнить, что относительная точность числа определяется числомзначащих цифр, а не числом знаков после запятой. Так, числа 0,0204 (±0,00005) и 20,4 (±0,05) имеют одинаковую точность, отличаясь лишь множителем 10³.

В больших числах нули справа могут служить как для указания значащих цифр, так и для определения разряда числа. Так, число 689 000 в указанной записи может иметь от трех до шести значащих цифр. Поэтому большие числа рекомендуется представлять в виде числа порядка единицы с соответствующей степенью числа 10. Указанное выше число следует записать в виде 6,89·10⁵, если оно имеет три значащие цифры, или 6,8900·10⁵, если оно имеет пять значащих цифр. Таким же образом следует записывать и малые числа: 0,00204 = 2,04·10^-3. Указанное правило облегчает вычисления с большими и малыми числами.

Таблица 3

Примеры погрешностей округления некоторых чисел

Пример	Число значащих цифр	Погрешность округления
3,1416	5	0,00005
3,14	3	0,005
0,1500	4	0,00005
0,015	2	0,0005
3 (целое)		0,000...0...

Таблица 4.

Максимальная относительная погрешность чисел

с различной точностью записи

Число значащих цифр	Макс. относит. погрешность
2	0.05, (5% )
3	0.005, (0.5% )
4	0.0005, (0.05% )

Сформулируем основные правила вычислений:

1. Вычисления следует производить с таким числом значащих цифр, чтобы точность вычислений была на порядок выше точности измерений. Точность вычислений ограничивается числом с наименьшим числом значащих цифр. Целые числа считаются заданными абсолютно точно (т.е. с бесконечным числом значащих цифр).

2. Необходимое число значащих цифр должны иметь и табличные величины. В противном случае при расчете погрешностей следует учитывать неточность задания этих величин.

3. В промежуточных вычислениях число значащих цифр не должно превышать более чем на единицу число значащих цифр исходных данных, так как лишние значащие цифры, появившиеся при расчете, не повышают точности вычислений.

4. После окончания вычислений точность записи необходимо привести в соответствие с погрешностями измерений. Так, в записи числа 20,220,2 указывать сотые бессмысленно, поскольку уже десятые содержат погрешность.

5. Величина погрешности округляется до однойзначащей цифры. Все расчеты погрешностей достаточно вести с двумя значащими цифрами. Иногда в записи погрешности оставляют две значащие цифры, если округление до одной значащей цифры заметно изменяет величину числа. (Например, округление погрешности 0,149 до 0,1 - первая значащая цифра равна единице).

6. Результат расчета измеряемой величины следует округлить так, чтобы его последний десятичный разряд соответствовал последнему разряду погрешности.

Пример. (3,8253  0,032 ) - промежуточный результат и

(3,83 0,03 ) - окончательный результат.

Таблица 5