Работа № 1-3 изучение законов сохранения при ударе шаров
ЦЕЛЬ: проверить закон сохранения импульса при ударе; определить силу удара и потери энергии при ударе.
ОБОРУДОВАНИЕ: два шара, подвешенных на нитях; угловая шкала, микросекундомер.
Основы теории
Задача о движении системы тел в общем случае решается методами динамики. Для составления уравнения движения необходимо задать силы, действующие в системе. Однако в ряде случаев конечное состояние системы можно определить при помощи законов сохранения. В этих случаях нет необходимости знать все детали взаимодействия.
Закон сохранения импульса. В замкнутой системе тел полный импульс с течением времени не изменяется. Происходит лишь обмен импульсами между различными телами системы. На практике закон сохранения импульса применяется и в незамкнутых системах в следующих случаях.
1. Внешние силы малы и действуют короткое время, так что изменением импульса системы можно пренебречь.
2. Равна нулю проекция внешних сил на какое-либо направление. В этом случае сохраняется лишь соответствующая проекция импульса.
Закон сохранения энергии. Мерой изменения и превращения энергии в механике является работа. Если в системе действуют неконсервативные силы силы трения, неупругой деформации, то происходит превращение части механической энергии во внутреннюю. Работа внешних сил характеризует обмен энергией с другими системами.
Поэтому механическая энергия системы будет сохраняться если отсутствуют диссипативные процессы, (т.е. равна нулю работа неконсервативных сил), а также равна нулю работа внешних сил.
Импульс и кинетическая энергия системы. Пусть мы имеем систему материальных точек с массами mi, движущимися со скоростями vi в некоторой системе отсчета (ее называют лабораторной системой). Можно показать, что полный импульс системы определяется только скоростью движения центра масс v0.:
p = mivi = mv0 , (1)
где m = mi полная масса системы.
Согласно теореме Кенига, кинетическая энергия системы может быть разложена на две составляющие:
T = T0 = Tотн. (2)
Первая составляющая T0 это кинетическая энергия центра масс.
. (3)
Вторая составляющая Tотн связана с движением частей системы относительно центра масс и называется энергией относительно движения
, (4)
где ui = vi – v0 скорости движения точек относительно центра масс (ее называют скоростью в системе центра масс).
В замкнутых системах вследствие сохранения импульса системы величина T0 остается неизменной. Изменения испытывает лишь кинетическая энергия относительного движения.
Удар шаров. Ударом называется изменение состояния тела вследствие кратковременного взаимодействия его с другим телом. Изменение импульса каждого тела pi за время t в соответствии со вторым законом Ньютона равно
pi = Fi t, (5)
где Fi средняя за время t сила, действующая на тело.
Если система замкнута, между телами происходит лишь обмен импульсами. Полный же импульс системы остается неизменным.
В первой фазе удара силы деформации уравнивают скорости тел. Кинетическая энергия относительного движения на короткое время преобразуется в потенциальную энергию упругой деформации и частично в энергию молекулярного движения (внутреннюю энергию).
Во второй фазе удара форма тел восстанавливается и потенциальная энергия вновь превращается в кинетическую (тела разлетаются).
Если деформации тел абсолютно упругие (форма тел восстанавливается полностью), то превращение механической энергии во внутреннюю отсутствует. При абсолютно неупругом ударе, напротив, отсутствует потенциальная энергия деформации: вся энергия относительного движения превращается во внутреннюю. Вторая фаза удара отсутствует, тела после удара не разлетаются.
Рассмотрим задачу об определении скоростей шаров v’1 и v’2 после центрального удара (рис.1).
Рис.1. Схема удара шаров.
При абсолютно упругом ударе система замкнута и отсутствуют неупругие деформации. Поэтому выполняются законы сохранения импульса и механической энергии. Сравнивая состояния до и после удара можно записать (необходимо учитывать знаки скоростей!).
(6)
. (7)
Решение этой системы уравнений позволяет вычислить скорости тел после удара v’1 и v’2.
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Однако при этом тела не разлетаются и v’1 = v’2 = v’
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2) v’. (8)
Для решения задачи о частично упругом ударе необходимо знать потери энергии, которые необходимо учесть соответствующим уравнением.