Башуров Методика решения математических задач 2011

2 1

∫∫xsin(xy) dx dy = ∫dy∫x sin (xy) dx , то нам предстоит достаточно

1

долгая процедура взятия интеграла∫x sin xy dx . Поэтому восполь-

0

зуемся возможностью поменять порядок повторного интегрирования и представим двойной интеграл в виде

1 2

∫∫xsin(xy) dx dy = ∫dx∫x sin (xy) dy .

Этап 4 решения задачи заключается во взятии двух «табличных» интегралов:

область V – верхняя полусфера радиуса 3 с центром в начале координат (рис. 5.5)

Сделаем замену переменных в подынтеграль-

ной функции

x2 + y2 + z2 = (r sinθcosφ)2 + (r sinθsinφ)2 + (rcosθ)2 = r2,

а также не забудем о якобиане J = r2sinθ.

Формула для вычисления интеграла принимает вид:

71

5.3. Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы:

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

72

5.12.y2 − 4 y + x2 = 0 , y2 −8 y + x2 = 0 , y = x, x = 0.

5.13.y = 3x , y = 8ex , y = 3, y = 8.

Пластина D задана ограничивающими кривыми, ρ – поверхностная плотность. Найти массу:

5.14.D: x = 1, y = 0, y2 = 4x, y ≥ 0; ρ = 6x +3y2.

5.15.D: y2 = 10x + 25, y2 = –6x + 9; ρ = 2y2.

5.22.z = 4 −6(x2 + y2 ), z = 12y + 4.

5.23.y2 + x2 = 4x , z = 10 – y2, z = 0.

5.24.z = 16 − x2 − y2 , 6z = x2 + y2 .

5.25.x2 + y2 + z2 =1 , x2 + y2 + z2 =16 .

5.26.x2 + y2 + z2 ≤ 2x

Тело V задано ограничивающими его поверхностями,

ρ– плотность. Найти массу:

5.27.x = 0, x = 3, y = 0, y = 4, z = 0, z = 2; ρ = x + y + z .

5.28.z =1 − x2 − y2 , z = 0; ρ=5z .

5.29. x2 + y2 + z2 =1, x2 + y2 = z2 , x = 0, y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; ρ = 32z .

73

5.30. x2 + y2 + z2 = 4 , x2 + y2 = z2 , x = 0, y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0;

ρ= 6z .

5.31.x2 + y2 = 1649 z2 , x2 + y2 = 74 z , x = 0, y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0;

ρ=80 yz .

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

2.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. СПб.:

Лань, 2006.

3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. М.: Физматлит, 1972.

74

Глава 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

6.1. Определения, основные теоремы и формулы

Для существования определенного интеграла необходимо выполнение двух условий: ограниченности промежутка [a,b] (для того чтобы была возможность разбить его на конечное число отрезков, длины которых не превышают некоторого числа ) и ограниченности функции f(x). При нарушении какого-либо условия или обоих сразу появляется необходимость в двух несобственных интегра-

лах.

Определение 6.1. Пусть функция f(x) определена на промежут-

Ak

ке [a, ∞). Рассмотрим последовательность ∫ f (x)dx для Аk, стре-

a

мящихся к бесконечности. Если эта последовательность имеет предел, то он называется несобственным интегралом первого рода и

∞

обозначается ∫ f (x)dx .

a

Схожим образом определяется несобственный интеграл и в случае промежутка (−∞, a] и промежутка (−∞,+∞). Сходимость

(т.е. существование) интеграла обосновывается тремя теоремами: Теорема 6.1 (признак Коши). Если функция f(x) неотрицатель-

ϕ(x)

на, представима в виде f (x)= xα , то:

1)если α > 1 и функция φ(x) ограничена, то интеграл существует (или сходится);

2)если α ≤ 1 и функция φ(x) отделена от нуля, т.е. ϕ(x)≥ ε >0,

то интеграл не существует (или расходится).

Теорема 6.2 (признак Дирихле). Пусть имеем две функции f(x) и g(x), определенные и непрерывные на промежутке [a, ∞), g(x) –

∞

монотонна. Для сходимости интеграла ∫ f (x)g (x)dx достаточно,

a

чтобы:

75

A

1) функция Φ(А)= ∫ f (x)dx была ограниченной функцией от

a

А: Φ(А) ≤ C (C = const, a ≤ A < ∞) (хотя предела limΦ(А) может

A→∞

ине существовать);

2)g(x)→ 0 при x → ∞ .

∞

Теорема 6.3. Если интеграл ∫ f (x) dx существует, то сущест-

a

∞

вует и интеграл ∫ f (x)dx .

a

Определение 6.2. Пусть функция f(x) определена на промежутке [0,b] и при x → 0 стремится к бесконечности. Рассмотрим по-

следовательность {εk }, стремящуюся к нулю при k → ∞ , и соот-

b

ветствующую последовательность интегралов ∫ f (x)dx . Если по-

εk

следняя последовательность имеет предел, то он носит название несобственного интеграла второго рода и имеет обозначение

b

∫ f (x)dx .

0

Замечание. Если несобственный интеграл первого рода имеет характерную отметку ∞, то интеграл второго рода ничем внешне не отличается от обыкновенного интеграла. Чтобы установить, имеем ли мы дело с несобственным интегралом, требуется заглянуть «внутрь» его.

Для установления сходимости интеграла второго рода исполь-

зуется признак Коши.

Теорема 6.4 (признак Коши). Если функция определена на

1)при α < 1 и функция φ(x) ограничена, и интеграл существует;

2)при α ≥ 1 и функция φ(x) в окрестности точки 0 отделена от

нуля (т.е. ϕ(x) ≥ ε > 0 ), и интеграл не существует.

76

В общем случае необходимо анализировать все точки, в которых подынтегральная функция не ограничена, и каждую такую точку рассматривать отдельно.

Полезной как для интеграла первого рода, так и второго является теорема сравнения.

Теорема 6.5. Если подынтегральная функция положительна, то имеет место следующее утверждение: если f (x) ≥ ϕ(x) , то из схо-

b

димости интеграла ∫ f (x)dx следует сходимость интеграла

a

∫ϕ(x)dx , а из расходимости интеграла ∫ϕ(x)dx следует расходи-

b

мость интеграла ∫ f (x)dx . Здесь а и b могут быть «равны» беско-

a

нечности.

Фигурирующие в теореме сравнения функции ϕ(x) и f (x) называются, соответственно, минорантой и мажорантой.

6.2. Примеры решения задач

Признак Дирихле сразу дает ответ – интеграл сходится, так как

Не вздумайте применить признак Коши – подынтегральная функция не является положительной (или отрицательной)!

Поскольку интеграл является интегралом от положительной функции, переберем все указанные в п. 6.1 способы исследования сходимости несобственных интегралов первого рода. Признак Ко-

77

ши не решает вопроса, так как функция sin x , стоящая в числителе

подынтегрального выражения, не «отделена» от нуля. Попытаемся найти миноранту (тем самым мы подозреваем, что

расходится, так как выполнены все условия применимости признака Коши: α = 1, ϕ(x) =1 отделена от нуля. Второй интеграл сходит-

ся (по признаку Дирихле).

Разность расходящегося и сходящегося интегралов дает расходящийся интеграл. Тем самым, мы установили, что интеграл от ми-

78

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

2.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. СПб.:

Лань, 2006.

3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. М.: Физматлит, 1972.

79

Глава 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

7.1. Определения, основные теоремы и формулы

Пусть нам задана некоторая кривая Г, заданная векторным уравнением r = r (t), или в координатной форме этого уравнения

x =ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t).

Значение параметра t = t0 задает начальную точку кривой, а значение параметра t = t1 – конечную точку М1. Пусть в точках М кривой Г задана функция f(М).

Введем разбиение { sk } кривой Г на криволинейные «отрезки» sk . Выберем на каждом криволинейном «отрезке» sk точку Мk и

N

составим сумму Римана ∑ f (Mk ) sk .

k =1

Определение 7.1. Если предел интегральной суммы Римана

N

∑ f (Mk ) sk при длинах «отрезков» sk , стремящихся к нулю,

k =1

существует и не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек {M k }, то он называется «криволинейным интегралом перво-

го рода от функции f(М) по кривой Г и обозначается ∫ f (М)ds .

Г

Если ясно, о каком интеграле идет речь, употребляют термин «криволинейный интеграл». Если неясно, то приходится пользо-

ваться полным названием «криволинейный интеграл первого рода по кривой Г от функции f(M)».

Криволинейный интеграл обозначается как ∫ f (M )ds или

M0M1

∫ f (x, y, z)ds . Его свойства те же, что и у определенного интегра-

Г

ла. Специально отметим три:

1) ∫ ds = L(Г), где L(Г)– длина кривой Г.

Г

80