Башуров Методика решения математических задач 2011

t1

L = ∫ Eϕ′t 2 + 2Fϕ′t ψ′t +Gψ′t 2 dt .

t0

Площадь элементарной площадки, расположенной на поверх-

ности, задаваемой системой

x = ϕ(u,v),

y = ψ(u,v), (8.6)

z = χ(u,v),

вычисляется по формуле

Рассмотрим интегралы от функций, заданных на поверхности (поверхностные интегралы).

x = ϕ(u,v),

Пусть на поверхности y = ψ(u,v), задана функция f (x, y, z),

z = χ(u,v),

т.е. функция точек этой поверхности. Рассмотрим область D, являющуюся частью этой поверхности (рис. 8.1, а). На плоскости S(u,v) этому «куску» поверхности отвечает область S (рис. 8.1, б).

а

91

Разобьем кусок поверхности D на элементарные площадки dDk, выберем на каждой элементарной площадке произвольную точку Мk(xk,yk,zk) и составим сумму Римана

Определение 8.1. Предел сумм Римана (8.8) при стремлении площадей всех элементарных площадок к нулю, не зависящий ни от способа разбиения поверхности на элементарные площадки, ни от выбора точек Мk, называется поверхностным интегралом первого рода и имеет обозначение ∫∫ f (x, y, z)ds .

D

Используя выражение для площади элементарной площадки ds = EG − F 2 dudv , получим выражение для поверхностного инте-

грала первого рода ∫∫ f (ϕ(u,v),ψ(u,v),χ(u,v))dudv .

D

Определение 8.2. Если в качестве сомножителей в сумме Ри-

мана (8.8) вместо площадей элементарных площадок dDk брать проекции каждой площадки dxdy, dxdz, dydz (см. рис 8.1, а) на ко-

ординатные плоскости (а таковых в нашем пространстве три), то получатся три поверхностных интеграла второго рода:

Часто вместо трех интегралов рассматривают одновременно все

∫∫P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy ,

D

где функции P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) определены на одной по-

x = ϕ(u,v),

верхности, заданной системой y = ψ(u,v),

z = χ(u,v).

Для взятия интеграла второго рода надо определиться, в какую сторону направлять нормаль к поверхности, так как от этого выбора зависит не величина косинусов, а их знак. Зачастую различают внешнюю и внутреннюю стороны поверхности и нормали, которые

92

соответственно называются внешней и внутренней. Стороны поверхности отличаются тем, что при попытке перейти с одной стороны на другую направление нормали меняется скачком на противоположное. Поверхности, для которых нельзя различить внешнюю и внутреннюю стороны, называются односторонними (приме-

ром такой поверхности является «лист Мебиуса», изображенный на рис. 8.2).

Интеграл первого рода сводится к двойному интегралу по области S в плоскости (u,v) путем формальной подстановки в инте-

грал ∫∫ f (x, y, z)ds выражения площади элементарной площадки

D

через коэффициенты первой квадратичной формы Гаусса

Интегралы второго рода вычисляются либо сведением искомого интеграла второго рода к первому при помощи формул dxdy = ds cos(N, k ) , dydz = ds cos(N,i ) , dxdz = ds cos(N, j) , либо,

что самое удобное, записью уравнения поверхности в виде z = z(x,y). Тогда получим, например,

∫∫R(x, y, z)dxdy = ∫∫R(x, y, z (x, y))dxdy .

D S

Определение 8.3. Если в области D пространства нескольких переменных (x1, …, xn), являющимися декартовыми координатами,

93

задана функция U (x1, …, xn), то говорят, что в области D задано

скалярное поле функции U.

Определение 8.4. Если в области D пространства нескольких переменных задана векторная функция a(x1, ..., xn ) , то говорят, что

вобласти D задано векторное поле a .

Втом случае, когда речь идет о трехмерном пространстве, то используются обозначения для координат x, y, z, а для ортов репе-

ра – i , j, k .

Определение 8.5. В области D , на которой задано скалярное

поле функции U (x1, …, xn), может быть определен дифференциальный оператор, называемый градиентом функции U (x1, …, xn) и

обозначаемый либо

Этот дифференциальный оператор ставит в соответствие скалярному полю U векторное поле grad U.

n

Определение 8.6. Дивергенцией векторного поля a = ∑ak ek

Этот дифференциальный оператор ставит в соответствие векторному полю a скалярное поле div a .

Определение 8.7. Ротором векторного поля a называется век-

94

Этот дифференциальный оператор ставит в соответствие векторному полю a также векторное поле rot a . Такие выражения

имеют дифференциальные операторы в декартовых координатах. В том случае, когда пространство задается не декартовыми ко-

ординатами, а какими-либо другими, выражения для перечисленных выше операторов меняют свой вид, и для конкретных систем координат их можно найти в справочнике [4]. Если мы проследим

за изменением функции u (x1, …, xn), определяющей скалярное поле u, следуя вдоль кривой Г, заданной уравнениями (8.1), или, что то

же самое, одним векторным уравнением r = r (t) , то приращение функции u (x1, …, xn), или скорость ее изменения, определяется «производной по направлению»

где Ak – косинусы углов, образованных единичным вектором касательной r0 к кривой Г с осями координат. Производную по направлению часто удобно использовать в виде

Из этого выражения для производной по направлению следует, что направление наибольшего роста функции совпадает с направлением градиента этой функции. В любом другом направлении функция растет медленнее.

Интегрируя векторное поле a по какому-либо замкнутому кон-

где ds – вектор с координатами (dx1, …, dxn).

Если нам заданы замкнутый контур Г и векторное поле a , то можно рассмотреть поверхность S, «опирающуюся» на контур Г (рис. 8.3) и рассмотреть выражение

95

8.2. Примеры решения задач

Пример 8.1. Построить трехгранник Френе для кривой, заданной в векторной форме r (t) = sin t i + cost j +t k .

Выразим сначала уравнение кривой в виде r (s) , где s – нату-

ральный параметр, выражаемый интегралом (8.3). Для нашей кривой интеграл удается взять и связь между параметром s и парамет-

Обратимся к третьему уравнению системы Френе: dn0

ds

откуда

æb0 = dnds0 + kτ0 =

=− 14 (cos s2 i −sin s2 j) + 12 ( 12 cos s2 i − 12 sin s2 j + 12 k ) =

97

В свою очередь,

Получим выражение для второго вектора в трехграннике Френе kn0 = j , где k – кривизна кривой в точке t = 0. Так как оба вектора

τ0 и n0 единичной длины, то k = 1.

Пример 8.3. Вычислить поверхностный интеграл

∫∫(x2 + y2 + z2 )2 ds ,

S

где S – первый октант сферы радиуса R = 2 с центром в точке (0,0,0). Уравнение такой сферы имеет вид x2 + y2 + z2 = 4 . Найдем вы-

ражение для элементарной площади dS. Для этого сначала определим коэффициенты первой квадратичной формы Гаусса, предварительно перейдя к сферическим координатам (они выполняют роль криволинейных координат):

x = 2cos ϕcos ψ,y = 2cos ϕsin ψ, .z = 2sin ϕ,

Е = 4, F = 0, G = 4cos2ϕ.

Воспользуемся формулой (8.9) и получим требуемое выражение ds = 4cosϕdϕdψ. Поскольку параметры ϕ и ψ (широта и долго-

двойной интеграл ∫∫64cos ϕdϕdψ по

99