Бакаев Методы статистических испытаний 2007
.pdfГлава 9 Формирование инвестиционного портфеля
В данной главе обсуждаются возможности применения техники методов Монте-Карло для численного решения задачи об оптимизации портфеля активов, формируемого инвестором. Известно, что рациональное распределение инвестиций по различным видам активов может существенно снизить риск всего инвестиционного портфеля в целом. Впервые модель формирования оптимального портфеля была предложена в работах Нобелевского лауреата в области экономики, профессора Чикагского университета Г. Марковица и им же указаны определенные методы построения таких портфелей. Задача о формировании и оптимизации инвестиционного портфеля будет рассматриваться именно в постановке Г. Марковица. Для удобства последующего изложения опишем вначале постановку задачи, предложенную Г. Марковицем. Дополнительные детали могут быть найдены в книгах С.В. Булашева [4], М.С. Красса и Б.П. Чупрынова [14] и А.В. Крянева [15].
9.1 Математическая постановка задачи оптимизации портфеля активов
Ожидаемый доход и риск портфеля
Любому инвестору, принимающему решение о вложении средств в те или иные активы, всегда приходится действовать в условиях неопределенности, поскольку цены активов являются случайными величинами. Как правило, реально полученный от деловой активности доход не совпадает в точности с тем, который ожидается в результате некоторого расчета. Другими словами, инвестирование
141
представляет собой сферу деятельности, связанную с риском. Поэтому прежде чем переходить к каким-либо математическим формализациям, необходимо оговорить, в каком смысле понимается мера риска.
Следуя Г. Марковицу, будем характеризовать риск актива мерой рассеяния реально получаемых доходов относительно среднего (то есть ожидаемого) дохода по данному активу или, другими словами, средним квадратичным отклонением доходов по данному активу. Соответственно, риск портфеля отождествляется со средним квадратичным отклонением доходов по всему инвестиционному портфелю.
Для вывода формальных соотношений, характеризующих доход портфеля и его риск, предположим, что портфель состоит из n видов активов и обозначим через Ri случайную величину дохода по i-му активу (i = 1,2,…,n)
при условии, что инвестор направляет весь свой капитал для приобретения этого актива. Пусть µi и σi2 – соответственно
математическое ожидание и дисперсия случайной величины Ri . Тогда, если wi – доля всего капитала, инвестированная в
i-й вид актива так, что
|
n |
|
|
∑wi =1, wi ≥ 0 , |
(9.1) |
|
i =1 |
|
|
доход всего портфеля R – это |
|
то |
случайная величина, |
|
вычисляемая по правилу |
|
|
|
n |
|
|
R = ∑ wi Ri . |
(9.2) |
|
i =1 |
|
Для |
математического ожидания |
µпортф := M[R] дохода |
портфеля получим по правилу сложения математических ожиданий
142
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
µпортф = ∑wi µi . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
Для дисперсии σпортф2 |
:= D[R]всего портфеля имеем: |
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
σ2 |
n |
|
|
|
= |
|
|
|||
=M |
∑ w R |
−∑ w µ |
|
|
|
|
||||
портф |
i=1 i |
i |
i=1 i |
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
(R |
|
|
|
|
= |
=M ∑w |
(R − µ ) ∑ w |
|
− µ ) |
|||||||
|
i=1 i |
i |
i |
j=1 j |
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
w j M [(Ri − µi )(R j − µ j )]= |
||||||||
= ∑ ∑ wi |
||||||||||
i =1 j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
w j cij |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ ∑ wi |
, |
|
|
|
|
|
|
|||
i =1 j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.3)
(9.4)
где сij = M[(Ri − µi )(Rj − µj )] |
– элементы матрицы |
ковариации C := (cij )n×n . |
|
Итак, формула (9.3) позволяет определить ожидаемый (средний) доход портфеля активов, в то время как формула (9.4) характеризует риск портфеля в терминах дисперсии доходов по нему1.
Диверсификация
Перепишем формулу (9.4) в следующем виде:
σ 2 |
n |
2 |
n |
n |
c w w |
|
= |
= ∑ c w |
+ 2 ∑ ∑ |
j |
|||||
портф |
ij i |
|
i=1 |
j=i+1 |
ij i |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
||
1 Очевидно, в соответствии с ранее принятой договоренностью о выборе меры риска, дисперсия доходов равна квадрату выбранной меры риска..
143
n |
σi |
|
wi |
n |
n |
, |
(9.5) |
= ∑ |
2 |
2 +2 ∑ |
∑ ρij σi σj wi wj |
||||
i =1 |
|
|
|
i =1 j =i +1 |
|
|
|
где ρij – коэффициент корреляции между i-м и j-м активами.
Слагаемые вида σi2wi2 , характеризующие риски отдельных активов, всегда положительны и работают только на увеличение суммарного риска портфеля. В то же время
слагаемые |
вида |
ρij σi σj wi wj , |
характеризующие |
корреляцию между различными парами активов, могут иметь разные знаки или даже зануляться; поэтому эти слагаемые могут вносить различный вклад в суммарный риск портфеля и, в частности, работать на уменьшение суммарного риска.
Проведем более детальный анализ величины суммарного риска на примере инвестиционного портфеля, образованного двумя активами, то есть при n = 2. В этом частном случае формула (9.5) принимает вид
|
σ 2 |
|
= σ |
2 w 2 +σ 2 w 2 |
+ 2ρ |
|
σ |
1 |
σ |
2 |
w w . |
|
|
(9.6) |
|||||||
|
|
портф |
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
12 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||
Если |
|
оба |
актива |
полностью |
|
коррелированы, |
то есть |
||||||||||||||
ρ12 =1, то дисперсия портфеля |
|
w w = (σ w +σ |
|
w )2 . |
|||||||||||||||||
σ |
2 |
|
= σ 2w 2 |
+ σ 2w 2 |
+ 2σ σ |
2 |
2 |
||||||||||||||
портф |
|
1 |
1 |
что |
2 |
2 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|||||
Отсюда |
следует, |
|
|
σ |
портф = σ1w1 + |
σ2 w2 |
|
или, |
|
другими |
|||||||||||
словами, среднее квадратичное отклонение для всего портфеля просто равно средневзвешенной комбинации средних квадратичных отклонений отдельных активов. В этом случае оба актива выступают в совокупности как актив одного типа и раздельное инвестирование в эти активы не приводит к уменьшению риска портфеля.
Если активы не коррелированы, то есть ρ12 = 0, то имеем для дисперсии портфеля
σпортф2 = σ12 w12 +σ22 w22
или
σпортф = 
σ12 w12 +σ22w22 ,
144
и среднее квадратичное отклонение всего портфеля меньше средневзвешенной суммы аналогичных параметров для
отдельных активов, так как σ 2 w2 |
+σ 2 w2 |
< σ w +σ |
2 |
w |
2 |
. |
|||
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
|
|
||
Это говорит о том, что раздельное инвестирование в два вида актива снижает суммарный риск портфеля, но этот риск тем не менее всегда остается положительным при ненулевых дисперсиях отдельных активов.
Наконец, предположим, что активы антикоррелированы, что соответствует случаю, когда ρ12 = −1. Дисперсия портфеля вычисляется тогда по формуле
σпорф2 = σ12 w12 +σ22 w22 −2σ1 σ2 w1 w2 = (σ1 w1 −σ2 w2 )2
или, в терминах среднего квадратичного отклонения,
σпортф =| σ1 w1 − σ2 w2 | .
Вданном случае за счет раздельного инвестирования в активы эффект снижения риска всего портфеля может быть наиболее ощутим, в частности при подходящем выборе весов
w1 и w2 можно добиться того, чтобы σпортф = 0, то есть можно в принципе сформировать безрисковый портфель.
Следует отметить, что во всех трех рассмотренных случаях математическое ожидание одно и то же, а именно равно µпортф = w1 µ1 + w2 µ2 .
Итак, на примере портфеля из двух активов мы убедились в возможности снижения суммарного риска портфеля за счет раздельного инвестирования в различные активы, если только эти активы не являются полностью коррелированными, то есть реально представляющими под различными вывесками один и тот же актив. Подобные, но несколько более громоздкие рассуждения показывают, что эффект снижения суммарного риска портфеля наблюдается и в случае раздельного инвестирования в большее количество активов – при большом количестве таких активов эффект
145
снижения риска портфеля может быть даже еще более заметен. Таким образом, инвестиционный портфель может обладать меньшим риском, чем отдельные составляющие его активы. Это свойство портфеля активов называется диверсификацией. Ясно, что при фиксированном выборе возможных объектов инвестирования эффект диверсификации должен зависеть от распределения капитала инвестора между отдельными активами, то есть от весов wi ,
i = 1,2,...,n. Поэтому, желая добиться максимального дохода от портфельного бизнеса, инвестор должен решать задачу оптимизации портфеля, то есть задачу оптимального выбора весов wi , i = 1,2,...,n. Эта задача рассматривается далее.
Оптимизация инвестиционного портфеля
В принципе естественным желанием каждого инвестора является формирование такого инвестиционного портфеля, который обеспечивал бы максимальное значение ожидаемого дохода при одновременном минимальном значении риска. Исходя из полученных выше формул (9.1), (9.3) и (9.4) для оптимизации инвестиционного портфеля инвестор должен
был бы выбирать веса wi |
, i = 1,2,...,n на основе решения |
||||
следующей оптимизационной задачи2: |
|||||
σ 2 |
n |
n |
w w |
|
→ min ; |
= ∑ ∑ c |
j |
||||
портф |
|
ij |
i |
|
|
|
i=1 j=1 |
|
|
|
|
n
µпортф = ∑ µi wi → max ; i=1
n
∑wi =1 , wi ≥ 0 , (9.7)
i =1
где величины сij и µi предполагаются заданными, а веса wi подлежат определению. Задача (9.7) является так называемой
2 Очевидно, задачи минимизации σпортф и σпортф2 эквивалентны.
146
двухкритериальной задачей, поскольку в ней требуется добиться оптимальных значений сразу двух функционалов. Как правило, такие задачи не имеют решения, поскольку требования максимизации ожидаемого дохода и минимизации риска являются в некотором смысле противоречивыми.
Реальный практический путь решения двухкритериальных задач состоит в достижении некоторого разумного компромисса между противоречивыми требованиями. В теории модели Марковица показано, что существует так называемая граница эффективности допустимых решений (или множество эффективных решений, или множество Парето) – это множество векторов w = (w1;w2;...;wn ), удовлетворяющих условию (9.1), или эквивалентно, множество допустимых портфелей3, характеризующееся тем свойством, что для любой пары портфелей из этого множества большему ожидаемому доходу одного из портфелей соответствует и большее значение риска.
На рис. 9.1 замкнутая кривая (состоящая частично из жирной и частично из пунктирной линий) ограничивает множество допустимых портфелей, в то время как жирная кривая указывает границу эффективности – фактически наилучшие портфели следует искать именно на этой границе. Если определены всевозможные портфели, соответствующие границе эффективности, то далее инвестор сам выбирает, руководствуясь собственными представлениями о
3 Каждый допустимый портфель может быть отождествлен с некоторым вектором w,подчиненным условию (9.1).
147
подходящем компромиссе между риском и доходностью, из этих портфелей наиболее его устраивающий. Если ввести в
задачу (9.7) некоторый компромисс между уровнями достижения своих экстремальных значений каждой из двух целевых функций (критериев), то двухкритериальная задача фактически переходит в однокритериальную.
µпортф
µпортф макс
µпортф*
σпортф
σпортф* |
σпортфмакс |
Рис. 9.1. Множество допустимых и эффективных решений
Например, инвестор может зафиксировать по своему желанию устраивающий его уровень доходности µпортф из
допустимого диапазона доходностей и выбирать состав портфеля (или, что то же самое, выбирать набор весов wi , i = 1,2,...,n) из условия минимизации риска. В качестве
другой разумной возможности сведения двухкритериальной задачи к однокритериальной можно предложить инвестору зафиксировать уровень допустимого им риска (не меньший минимально возможного риска), отвечающий его индивидуальной склонности к риску, и решать задачу максимизации доходности портфеля с заданным априори
148
уровнем риска. Наконец, укажем еще один часто применяемый на практике оправданный способ перехода к однокритериальной постановке портфельной задачи: состав портфеля выбирается из условия максимизации отношения доходности портфеля к его риску; именно для такой постановки мы укажем ниже алгоритм численной оптимизации.
Для того чтобы удовлетворить возможные пожелания инвестора в плане перехода от двухкритериальной постановки к однокритериальной, на практике обычно
задают некоторую сетку значений µпортф в пределах между
µпортф* и µпортф* |
макс (см. |
рис. 9.1) и при каждом сеточном |
||||||||
значении µпортф |
|
решают однокритериальную задачу |
|
|||||||
σ2 |
|
n |
n |
w w |
|
→ min ; |
|
|||
|
= ∑ ∑c |
j |
|
|||||||
портф |
i =1 j |
ij |
i |
|
|
|
||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
wi |
= µпортф |
|
|
|||
|
|
|
∑ µi |
; |
|
|||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑wi =1, |
w |
≥ 0 |
|
, |
(9.8) |
|||
|
|
i =1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
которая представляет собой задачу квадратичного программирования с линейными ограничениями. Из решения этой задачи можно получить при каждом
µпортф [µпортф* ;µпортфмакс] набор весов wi , i = 1,2,...,n,
определяющих соответствующий портфель, а также значение риска этого портфеляσпортф . В дальнейшем эта технология не будет использоваться, считается, что инвестор изначально желает максимизировать отношение доходности портфеля к
149
его риску4 и, таким образом, решает следующую однокритериальную задачу:
|
|
|
n |
µ w |
|
|
||
|
µпортф |
|
∑ |
|
|
|||
Ψ: = |
= |
i =1 |
i |
i |
|
→ max ; |
||
σпортф |
|
|
1 |
|
||||
|
|
n n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∑ ∑ c w w |
|
|
|||
|
|
|
i =1 j =1 |
ij |
i j |
|
|
|
n |
(9.9) |
∑wi =1, wi ≥ 0 . |
i=1
В следующем параграфе обсуждается возможный алгоритм численного решения задачи (9.9). Этот алгоритм, как и все остальные алгоритмы, описываемые в данной книге, основан на идеях использования случайных чисел.
9.2 Численное решение задачи оптимизации портфеля
Ранее метод Монте-Карло был определен как любой метод, использующий технику статистических испытаний. С этой точки зрения, метод, который будет применяться ниже для решения задачи (9.9),5 является скорее методом стохастических, а не статистических испытаний, в том смысле, что он не использует каких-либо статистических оценок и не опирается на технику статистических решений, равно как не требует привлечения еще какого-либо развитого в рамках математической статистики технического аппарата, но в то же время существенно базируется на привлечении принципа случайности. Но фактически ниже будет решаться детерминированная задача (то есть задача (9.9)), для которой используется генератор случайных чисел, а ведь именно генерация случайных чисел послужила мотивом для
4Фактически данное отношение представляет собой величину, обратную
так называемому коэффициенту вариации (см., например, [1, п. 5.6.3]) дохода портфеля..
5Ниже мы опишем две версии этого метода..
150