Бакаев Методы статистических испытаний 2007

5.4 Понятие стохастических дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение (5.5) является простейшим примером так называемого стохастического дифференциального уравнения. Рассмотрению аналогичных, а реально более сложных уравнений целиком посвящен данный параграф. Эти уравнения довольно часто появляются в финансовоэкономических приложениях. В частности, многие случайные процессы, моделирующие динамику поведения финансовых рынков, описываются системами (часто нелинейных)

стохастических дифференциальных уравнений.

Формально система стохастических дифференциальных уравнений вводится следующим образом:9

где X = X(t) = (X1(t) ; X2(t) ;…Xn(t)) – искомый n-мерный слу-

чайный процесс, W = W(t) = (W1(t) ; W2(t) ;…Wm(t)) – m-мерный вектор из независимых или зависимых управляющих

винеровских процессов (m ≤ n), f(t, X) – зависящее от t векторное поле (с n координатами), g(t, X) – зависящая от t и Х матрица размера n x m.

Система (5.11) понимается в том смысле, что искомый случайный процесс X(t) удовлетворяет интегральному векторному соотношению

где оба интеграла в правой части понимаются в смысле так называемого стохастического интеграла Ито, читаемого по координатам подынтегральной функции.

9.В теории стохастических дифференциальных уравнении обычно записывают сами уравнения в дифференциалах, а не в производных.

101

Чтобы не загромождать изложение излишними деталями, рассмотрим далее подробно лишь случай одного стохастического дифференциального уравнения

где X = X(t) – искомый случайный процесс, подлежащий определению, W(t) – винеровский процесс, a f(t,x) и g(t,x) – заданные непрерывные функции двух переменных. Все результаты, касающиеся уравнения (5.12), могут быть затем обобщены со ссылкой на аналогию и на случай системы (5.11). В соответствии с изложенным выше, решение уравнения (5.12) понимается в том смысле, что X(t) подчиняется соотношению

где оба интеграла понимаются в смысле стохастического интеграла Ито.

Обсудим теперь понятие интеграла Ито по винеровскому процессу

где X(t) – некоторый случайный процесс, W(t) – винеровский процесс. Вначале введем вспомогательное определение.

Теперь можно определить интеграл (5.13).

Определение 5.14. Пусть X(t) – некоторый случайный процесс, W(t) – винеровский процесс. Будем говорить, что

102

стохастический интеграл Ито (5.13) существует, если существует предел в среднем квадратичном:

Понятно, что для этого нужно в определении 5.14 заменить функцию g(t,x) на функцию f(t,x) и разность W (ti+1)−W (ti )

просто на ti +1 −ti = t −nt0 .

Если стохастический интеграл (5.13) существует, то, обозначая его через Y(t), говорят, что процесс Y(t) имеет

стохастический дифференциал Ито dY, который записывают в виде

dY = g(t, X) dW.

Аналогично, в случае существования стохастического интеграла (5.14) говорят, что существует стохастический дифференциал Ито

dZ = f(t, X) dt.

Предположим теперь, что процесс X(t) имеет стохастический дифференциал Ито dX = f(t, X) dt + g(t, X) dW. Предположим также, что функция F(t,x) непрерывна и имеет

непрерывные частные производные Ft ′, Fx′и Fxx″. Тогда

103

процесс F(t,X(t)) также имеет стохастический дифференциал, для которого

где N20 – интенсивность белого шума, порождающего винеровский процесс W(t). Формула (5.15) называется

формулой Ито.

Заметим, что для детерминированных гладких функций

W(t) выражение N40 Fxx″(t,X )g2 (t,X ) не входит в формулу (5.15).

Поэтому интегралы в смысле Ито, содержащие случайные процессы, нельзя при замене переменных преобразовывать по обычным правилам, разработанным в рамках математического анализа для детерминированных функций. В частности, неприменима обычная формула интегрирования по частям.

Пример 5.1. В качестве примера рассмотрим процедуру вычисления стохастического интеграла в смысле Ито

Будем исходить прямо из определения интеграла Ито, согласно которому имеем

104

откуда следует, что (5.19) очевидным образом выполняется, а вместе с ним выполняется и (5.18). Таким образом, формула (5.16) доказана.

Следует отметить, что тот же самый результат может

Поэтому, полагая далее F(x) := x2, имеем Fx′(W )=W, Fxx′′(W )=1 и, с учетом выражения для dF(W ), приходим к равенству

WdW = d 1 W 2 − N0 dt .

2 4

Следовательно, можно записать

после чего элементарное вычисление интегралов ведет опять к формуле (5.16).

Подчеркнем на данном конкретном примере, что для детерминированной функции W(t) второе слагаемое в круглых скобках формулы (5.16) отсутствует.

Пример 5.2. Другим интересным примером может послужить вычисление стохастического интеграла

Ι(t)= ∫0t f (τ)dW (τ),

где W(t) – винеровский процесс с интенсивностью N20 , а f(t) –

детерминированная функция. Помимо самостоятельного интереса полученный здесь результат будет использоваться

107

ниже в примерах аналитического решения некоторых конкретных стохастических дифференциальных уравнений. В процессе рассмотрения данного примера будет установлено, что I(t) – это нормальный процесс с независимыми приращениями, причем

(5.20), (5.21) эквивалентны формуле (5.9) в полном соответствии в соотношениями (5.8) и (5.10).

Прежде всего заметим, что в случае непересекающихся промежутков [t0 ; t0 + T0] и [t1 ; t1 + T1] случайные величины

∆Ι(t0 ;T0 )= ∫tt00 +T0 f (τ)dW (τ)

и

∆Ι(t1;T1 )= ∫tt11 +T1 f (τ)dW (τ),

являющиеся приращениями процесса I(t), соответственно, на

отрезках [t0 ; t0 + T0] и [t1 ; t1 + T1] независимы, что показывается так же, как и для соответствующих приращений

винеровского процесса W(t). Кроме того, I(t) как стохастический интеграл представляется в виде определённого предела в среднем квадратичном интегральных сумм, линейно зависящих от приращений винеровского процесса, которые к тому же являются независимыми. Таким образом, поскольку каждая интегральная сумма является нормальной случайной величиной как сумма независимых нормальных случайных величин, приходим к выводу, что получаемый в процессе предельного перехода интеграл также является нормальной

108

случайной величиной. Приведенное обоснование последнего утверждения не является строгим, но может быть дано совершенно строго в теории случайных процессов.

Займемся теперь выводом формул (5.20) и (5.21). Пользуясь формулой (5.10), найдем

M[Ι(t)]= M ∫0t f (τ)dW (τ) = ∫0t f (τ)M[N(τ)]dτ = 0 ,

что доказывает (5.20). Кроме того, с учетом (5.20) и (5.10) имеем

D[Ι(t)]= M[(Ι(t))2 ]= M ∫0t f (τ)N(τ)dτ ∫0t f (τ′)N(τ′)dτ′ =

=∫0t f (τ) ∫0t f (τ′)M[N (τ)N(τ′)]dτ′ dτ =

=N20 ∫0t f (τ) ∫0t f (τ′)δ(τ − τ′)dτ′ dτ = N20 ∫0t f 2 (τ)dτ ,

М.А. Миронова [19]). Эти другие стохастические интегралы могут быть выражены определенным образом через стохастический интеграл Ито. При чтении литературы всегда нужно внимательно отслеживать, в каком смысле понимается в контексте стохастический интеграл. В данной книге всюду в дальнейшем стохастический интеграл (и, соответственно, стохастический дифференциал) понимается только в смысле Ито.

Таким образом, возвращаясь к стохастическому дифференциальному уравнению (5.12), напоминаем, что существование его решения понимается в смысле существования соответствующего стохастического интеграла –

109

концепцию последнего только что обсудили и привели примеры вычисления стохастических интегралов.

Что касается решения стохастического дифференциального уравнения (5.12), для этой цели разработаны специальные численные методы, с простейшими из которых ознакомимся в следующем параграфе книги. А в заключение данного параграфа будут рассмотрены примеры стохастических дифференциальных уравнений, допускающих аналитические решения, и построим эти решения. В последующих трех примерах этого параграфа мы будем работать со стандартным винеровским процессом W(t), то есть порождаемым

стандартным белым шумом (интенсивность которого N20 =1).

Во-первых, это связано с тем, что будем ссылаться на конкретные модели финансовой динамики, оперирующие со стандартными винеровскими процессами, а во-вторых, это приводит (без потери общности) к небольшим упрощениям формул при разборе примера 5.5.

Л. Башелье для описания эволюции стоимости акций (см. [26]). По сути дела ту же форму имеет уравнение эволюции процентной ставки в модели Р. Мертона (см. [35]).

С учетом условия W(t) = 0, получаем, непосредственно интегрируя,

X (t)= X (0)+ µ t + σ W (t) .

110