Аверянов Основы современной информатики 2007

которые можно также рассматривать как новые предикаты. В этих формулах могут использоваться и высказывания алгебры логики (нульместные предикаты).

Помимо операций алгебры высказываний, в исчислении предикатов используются так называемые кванторы – логические операторы, переводящие одну высказывательную форму в другую и позволяющие указывать объем тех значений предметных переменных х, для которых данная высказывательная форма истинна. Обычно в логике предикатов ограничиваются двумя кванторами – квантором общности x и квантором существования x. Пусть x – предмет-

ная переменная, принимающая значения из множества (поля) М. Тогда выражение

начинающееся квантором общности, представляет собой высказывание: «для всякого x M истинно P(x)». Поскольку задание любых индивидуальных предметов (значений) x M не нарушает истинность P(x), высказывание (1.9) уже не зависит от x. Говорят, что предметная переменная x связана квантором общности, и поэтому такие переменные называют связанными.

начинающееся квантором существования, понимается как высказывание: «существует такой элемент x M , для которого Q(x) истинно». Это высказывание также вполне определено и уже не зависит от x, т.е. переменная x связана квантором существования и является связанной переменной.

Кванторы общности x и существования x называются двойственными друг другу. В формулы (1.9), (1.10), кроме x, могут входить и другие предметные переменные (не показанные в формулах). Поскольку эти формулы не зависят от x, они полностью определяются заданием остальных переменных. Такие предметные переменные, не связанные никакими кванторами, называют свободными.

Существует закон, связывающий кванторы со знаком отрицания. Рассмотрим выражение

21

( xP(x)) . (1.11)

Очевидно, выраженное (1.11) высказывание « xP(x) ложно» равносильно высказыванию «существует такой элемент x M , для которого P(x) ложно», или «существует элемент x, для которого

P(x) истинно». Следовательно, выражение (1.11) равносильно выражению

x P(x) . (1.12)

Аналогично, выражение

означающее высказывание « xQ(x) ложно», равносильно высказыванию «для всех x ложно Q(x)», или «для всех x истинно Q(x) ». Следовательно, выражение (1.13) равносильно выражению

x Q(x) . (1.14)

Таким образом, стоящий перед квантором знак отрицания можно внести под знак квантора, заменив квантор на двойственный. Рассмотренные конструкции математической логики часто используются при записи алгоритмов.

1.3. Алгоритмы

Важнейшим понятием информатики является алгоритм. Алгоритмом называют понятное и точное предписание, которое задает порядок действий или процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с произвольных исходных данных x (из некоторой совокупности значений X, допустимых для данного алгоритма) и направленный на получение полностью определяемого этими исходными данными результата y из некоторого допустимого множества Y. В современной математике понятие алгоритма относят к фундаментальным, т.е. к таким, которые не могут быть определены через более простые (таковы, например, фундаментальные понятия «точка», «линия» и др.). Поэтому данная выше формулировка (кстати, далеко не единственная) не является математическим определением, а лишь пояснением смысла алгоритма. Заметим, что формулировку «понятное предписание» следует уточнить как «понятное исполнителю». Поэтому алгоритмы всегда

22

составляются с учетом того, какие предписания могут быть поняты исполнителем, и, следовательно, для одного и того же алгоритма можно составить множество описаний, различающихся степенью детализации.

Важнейшие свойства алгоритма – дискретность, детерминированность, массовость и результативность. Дискретность означает, что алгоритмический процесс представляется в виде последовательности шагов, и переход к следующему шагу осуществляется лишь по завершении текущего.

Детерминированность предполагает, что алгоритм не допускает никаких произвольных, интуитивных толкований и действий и должен предусматривать строго определенную последовательность действий для всех случаев, которые могут встретиться в ходе выполнения алгоритма при любых возможных исходных данных и промежуточных результатах. Детерминированность алгоритма обеспечивает получение идентичных результатов любыми исполнителями, а отсутствие в алгоритме каких-либо сознательных действий делает возможным его выполнение автоматическими устройствами, например компьютерами. В то же время детерминированность не препятствует использованию в алгоритмах (например, в алгоритмах случайного поиска) случайных величин, но должны быть строго определены вероятностные характеристики используемых случайных величин и последовательность действий, предпринимаемых в зависимости от значения каждого очередного случайного числа.

Свойство массовости понимается как применимость алгоритма к решению бесконечного класса однотипных задач, различающихся исходными данными (из множества допустимых исходных данных). Например, массовость алгоритма численного интегрирования означает его пригодность для вычисления определенных интегралов от любых интегрируемых функций, а алгоритма синтаксического контроля программ – возможность проверки любых программ данного языка программирования. В математике проблему создания алгоритмов, обладающих массовостью, называют массо-

вой алгоритмической проблемой.

Свойство результативности алгоритма означает, что он для каждого набора исходных данных x X обеспечивает получение за конечное (хотя заранее, возможно, и неизвестное) число шагов

23

некоторого результата y Y . (При этом неявно подразумевается,

что результат должен быть получен за приемлемое время.) Если же для каких-либо x X не удается получить результат за конечное число шагов или получаемый результат y Y , то для достижения

результативности алгоритма можно формально считать результатом сообщения о возникающей ситуации, соответственно пополнив область результатов Y этими сообщениями. Так, например, результативность алгоритмов трансляции (перевода) программ с алгоритмических языков достигается пополнением области результатов сообщениями об ошибках.

Помимо указанных выше четырех свойств, которыми должны обладать все алгоритмы, часто рассматриваются такие их желательные свойства, как эффективность (хорошая точность при малой загрузке компьютера) и оптимальность (наилучшие результаты при той же загрузке компьютера или, наоборот, наименьшая загрузка компьютера при том же качестве результатов).

На отдельных шагах основного, главного алгоритма возможны обращения к другим, вспомогательным алгоритмам с собственными описаниями. Некоторые вспомогательные алгоритмы, решающие типовые массовые задачи, можно стандартизовать. Поскольку вспомогательные алгоритмы могут, в свою очередь, обращаться к вспомогательным алгоритмам следующего нижнего уровня, алгоритм в целом иногда имеет сложную иерархическую структуру со многими уровнями вложенности.

Основными средствами описания алгоритмов служат словесная запись, блок-схемы, псевдокоды и алгоритмические языки.

Словесная запись обычно ориентирована на исполнителя – человека, составляется на естественном языке с использованием при необходимости формул, почти не формализована и, как правило, служит предварительным описанием для дальнейшего представления в виде блок-схемы или на алгоритмическом языке. Основное требование к словесной записи алгоритма – понятность исполнителю. Типичные школьные примеры – словесные описания алгоритмов арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) «в столбик».

Блок-схема алгоритма представляется в виде конечного множества узлов (блоков, вершин) и соединяющих их направленных от-

24

резков линий (ребер). В математике такая фигура называется ориентированным графом. Вершины графа описывают различные действия с информацией (данными), а ребра – передачи управления и потоки данных. В простейших блок-схемах достаточно использовать всего три типа узлов – функциональный, предикатный и слияния, которые считаются основными (рис. 1.1).

ИЛ

Рис. 1.1. Основные типы узлов в блок-схемах: а – функциональный, б – предикатный, в – слияния

Функциональный узел изображается прямоугольником, имеет один вход и один выход и осуществляет указанную в нем обработку информации. Предикатный узел изображается ромбом, имеет один вход и два выхода и определяет истинность или ложность указанного в нем предиката. Если предикат приобретает значение «истина», осуществляется выход по стрелке, помеченной буквой «И». Если предикат приобретает значение «ложь», происходит выход по стрелке, помеченной буквой «Л». Вместо «И» и «Л» часто используются соответственно «Да» и «Нет». Узел слияния изображается кружком, не действует на данные и указывает, что два пути обработки данных сливаются в один. Помимо основных типов узлов в блок-схемах алгоритмов используют еще ряд дополнительных, которые здесь рассматривать не будем. В силу хорошей наглядности блок-схемы алгоритмов обычно используются в качестве пояснительных и промежуточных рабочих материалов. В качестве примера на рис. 1.2 изображена блок-схема поиска максимального числа xmax из множества n > 1 действительных чисел { xi ;

i = 1, 2, …, n} и его номера imax .

Алгоритмические языки предназначены, как следует из названия, для записи алгоритмов. Запись алгоритма на алгоритмическом языке настолько формализована, что его выполнение может осуще-

25

ствляться автоматизированными вычислительными устройствами – компьютерами.

аmaxim = а1 i = 2

Л

аmaxim < аi

И

imax = i, amaxim = ai

Чем выше «интеллектуальный» уровень алгоритмического языка, тем менее детальным может быть «понятное компьютеру» описание алгоритма, тогда как на алгоритмических языках относительно невысокого уровня алгоритмы должны быть описаны вплоть до мельчайших подробностей. В частности, так называемые проблемно-ориентированные языки программирования высокого уровня, используемые, например, в некоторых пакетах прикладных программ, зачастую вообще позволяют ограничиться лишь формулировкой задачи и указанием метода ее решения, а всю остальную работу, включая построение алгоритма, составление программы и ее выполнение, осуществляет компьютер.

26

1.4. Проблемы алгоритмизации

Алгоритмизацией называют процесс перехода от постановки задачи к алгоритму ее решения. При этом обычно предполагается, что методы решения уже выбраны или заданы и требуется лишь представить в виде алгоритма процесс решения задачи этими методами. Однако для многих задач, главным образом невычислительного характера, таких, как управление объектами, распознавание образов, составление расписаний и маршрутов, навигация, диагностика ситуаций, принятие решений и др., выбор подходящего метода решения также включается в алгоритмизацию. Наиболее распространенная схема алгоритмизации включает следующие этапы.

1.Предварительный анализ задачи алгоритмизации и объ-

екта исследования. На этом этапе систематизируются основные сведения об объекте исследования, а также максимально допустимые расходы ресурсов компьютера (времени и памяти), используемых для решения.

2.Составление описания исходных данных. Для всех исход-

ных данных алгоритмизируемой задачи должны быть конкретизированы форма представления (числовая, символьная, графическая), допустимое множество значений, структура (скаляры, массивы, таблицы, списки, изображения), каналы и последовательность ввода (до начала решения или порциями в ходе решения), место хранения (оперативная или внешняя память) и другие характеристики, которые могут понадобиться при алгоритмизации.

3.Составление описания результатов. Для результатов реше-

ния должны быть конкретизированы примерно те же характеристики, что и для исходных данных, с учетом их последующего использования. Особо отметим все шире применяемое в настоящее время аудио-визуальное представление результатов в виде движущихся, а иногда и озвученных многоцветных изображений (мультфильмов), требующее специальных алгоритмических и технических средств компьютера.

4.Составление общего структурного описания исследуемого объекта (процесса, фирмы, магазина, банка, вуза, прибора, сети связи, склада и т.п.) и иерархии подчинения. Структурное описание составляется, по возможности, так, чтобы в дальнейшем отдельным структурным блокам отвечали соответствующие блоки алгоритма.

27

5.Разработка общего алгоритма решения. На этом, чрезвы-

чайно важном, этапе обычно требуется длительная предварительная работа по изучению, систематизации, оценке точности, обобщению уже имеющихся алгоритмов решения аналогичных задач. Некоторые подходящие алгоритмы могли быть теоретически или эмпирически ранее найдены квалифицированными специалистами

всоответствующих областях. При разработке алгоритмов решения невычислительных задач требуется еще личное (возможно, практическое) изучение объекта алгоритмизации и всех возможных в нем ситуаций, включая аварийные.

6.Составление укрупненной схемы алгоритма, выделение основного и вспомогательного алгоритмов. Схема должна да-

вать наглядное представление о структуре алгоритма в целом, последовательности основных блоков и важнейших предикатных переходах без излишней на этом этапе детализации. В схемах алгоритмов, предназначенных для компьютеров, допускающих организацию параллельных вычислений, следует, по возможности, алгоритмически облегчить распараллеливание обработки информации в компьютере.

7.Пошаговая детализация алгоритма. Она осуществляется путем последовательной замены крупных алгоритмических блоков несколькими более мелкими, вплоть до операторов некоторого языка программирования.

Дальнейшие этапы включают контроль, отладку, тестирование, оценку эффективности, усовершенствование, оптимизацию алгоритма, причем обычно эти этапы объединяются с разработкой программы для компьютера.

Задача алгоритмизации в общем случае включает в себя также этап выбора языка программирования. Если же программа составляется для пополнения некоторого программного комплекса на определенном языке, то этап выбора языка исключается.

В связи с задачей алгоритмизации возникает естественный вопрос о том, все ли проблемы допускают представление решения в виде алгоритма. В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Проблемы, для которых невозможно построить алгоритм ре-

шения, называются алгоритмически неразрешимыми. Однако тео-

ретически удалось доказать алгоритмическую неразрешимость лишь для некоторых проблем, относящихся главным образом к ос-

28

нованиям математики. В практических задачах обычно удается обеспечить алгоритмическую разрешимость, подходящим образом сужая допустимую область исходных данных X.

1.5. Математическое моделирование – вычислительный эксперимент

С проблемами алгоритмизации тесно связано математическое моделирование различных реальных объектов как средств их изучения математическими методами. Исходным этапом здесь является разработка (или выбор) адекватной объекту математической модели. Математическая модель – приближенное описание какоголибо класса объектов или явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики (уравнений, неравенств, логических отношений), таблиц, графиков, диаграмм и т.п. Математическое моделирование – процесс изучения этих объектов (явлений) на компьютере. Поскольку математическое моделирование во многом напоминает натурный эксперимент, его часто называют математическим экспериментом, численным экспериментом, вычислительным экспериментом. Во многих случаях математический эксперимент выполняется быстрее и дешевле натурного. Иногда на определенных стадиях исследования математический эксперимент – единственно возможный метод изучения многих объектов и явлений природы и общества.

Можно выделить четыре основных этапа математического моделирования:

1)формулирование законов, связывающих основные объекты математической модели (вывод уравнений);

2)исследование математической модели (решение уравнений на компьютере);

3)анализ адекватности модели сопоставлением результатов моделирования с практическими данными и аналитическими оценками;

4)усовершенствование модели по результатам этого анализа и в связи с накоплением новых практических и теоретических данных.

Различают статические модели, описывающие состояние объекта в текущий момент или период времени, и динамические, описывающие эволюцию объекта. Из статических моделей особо вы-

29

деляют равновесные модели, с помощью которых изучаются состояния равновесия различных сложных систем или процессов. Различают также детерминированные и стохастические модели. В детерминированных моделях все параметры, характеристики, взаимосвязи являются строго определенными, а в стохастических учитывается влияние случайных, заранее неизвестных факторов, например метеоусловий или аварий.

Несмотря на указанные выше достоинства, математический эксперимент не исключает необходимость проведения практических исследований и теоретического анализа. Практические исследования необходимы, так как сама математическая модель является приближенной, а теоретические оценки – так как исследование математической модели на компьютере сопряжено с вычислительными погрешностями, иногда весьма значительными. Поэтому для успешного решения большинства сложных задач требуется разумное сочетание всех трех типов исследования – теоретического, вычислительного и практического.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Постройте логические константы 0 (ложь) и 1 (истина) с помощью логических функций «и», «или», «не».

2.Какой логической функции отвечает выражение «ни пуха, ни пера»?

3.Какой логической функции отвечает поговорка «назвался груздем – полезай в кузов»?

4.Каковы важнейшие свойства алгоритмов?

5.Каковы основные средства описания алгоритмов?

6.Раскройте скобки в выражении ¬(х у).

30