Структурные преобразования сау

При анализе САУ любой сложности приходится изменять ее структуру не изменяя свойств в целях удобства исследования или наглядности, необходимости моделирования или выбора корректирующих звеньев. При этом следует пользоваться следующими очевидными правилами:

при последовательном включении звеньев их результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций от­дельных звеньев;

при параллельном включении звеньев результирующая переда­точная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев;

при встречно-параллельном включении звеньев результирующая передаточная функция равна частному от деления передаточной функции прямой связи на единицу плюс или минус передаточная функ­ция разомкнутого контура, в котором звенья включены встречно-параллельно (рисунок 2). При этом знак «плюс» соответствует отрица­тельной, а «минус» - положительной обратной связи. Для схемы (рисунок 2) справедливы соотношения:

.

Рисунок 2 – Встречно-параллельное включение звеньев

Исключив из этой системы уравнений промежуточные переменные и, получим

. (1)

Критерий устойчивости Найквиста - Михайлова

С помощью критерия устойчивости Найквиста-Михайлова по стационарным свойствам разомкнутой САУ можно судить о нестационарных свойствах замкнутой.

Известно, что характеристическое уравнение замкнутой САУ, определяющее ее устойчивость, получается приравниванием нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы, т.е. .

Обозначим тогда(2)

Если в выражении (2) заменить на, то в числителе получим годограф Михайлова для замкнутой системы, а в знаменателе - для разомкнутой. При этом степень числителя и знаменателя будут одинаковы и, если замкнутая и разомкнутая системы устойчивы, то

.

На комплексной плоскости это обозначает, что вектор при измененииот 0 доне поворачивается вокруг точки , или вектор не охватывает на комплексной плоскости точку при изменении от 0 до(рисунок 3).

Рисунок 3 – К обоснованию критерия Найквиста-Михайлова

Таким образом, если разомкнутая САУ устойчива и ее АФХ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами , то замкнутая САУ будет устойчива.

Если разомкнутая САУ неустойчива и имеет неустойчивых корней, а замкнутая САУ устойчива, то

Таким образом, если разомкнутая САУ неустойчива и имеет неустойчивых корней, то для устойчивости САУ в замкнутом состоянии необходимо, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала в положительном направлении точку на комплексной плоскости с координатами раз.

Если разомкнутая САУ неустойчива, то число неустойчивых корней можно определить по критерию Михайлова.

В том случае, если разомкнутая САУ находится на границе устойчивости благодаря наличию нулевых корней, передаточную функцию ее можно записать так:

(3)

где - кратность нулевого корня.

При малых значениях АФХ нейтральной системы можно представить так:

(4)

где

Из выражения (4) следует, что при малых  значение . АФХ разомкнутой системы стремится к началу координат при увеличении по одной из осей координат комплексной плоскости:

при т.е. АФХ перемещается по отрицательной мнимой оси;

при т.е. АФХ перемещается по отрицательной вещественной оси;

при т.е. АФХ перемещается по положительной мнимой оси.

Для анализа устойчивости таких систем справедлив критерий устойчивости Найквиста-Михайлова, если их АФХ дополнить частью окружности бесконечного радиуса, которая начинается на положительной вещественной полуоси.

Запас устойчивости замкнутой системы по модулю определяется величиной обратной расстоянию от начала координат до точки первого пересечения АФХ разомкнутой СУ с отрицательной вещественной осью.

Запас устойчивости замкнутой системы по фазе определяется углом между отрицательной вещественной осью и направлением луча, выходящего из начала координат в точку пересечения АФХ с единичной окружностью с центром в начале координат.