Задачи к экзамену фэуб, 2 курс 3 семестр

1. ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

А. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и произведения вероятностей.

1. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

2. В лифт на первом этаже девяти этажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже. Какова вероятность, что все пассажиры выйдут на одном этаже?

3. По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» Участник лотереи, угадавший 4, 5, 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность: а) того, что будут угаданы 4 цифры; б) того, что будет получен денежный приз.

4. В магазине было продано 21 из 25 холодильников трех марок, имеющихся в количествах 5, 7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались не распроданными холодильники одной марки.

5. Перед окопами вдоль прямой линии через каждые 10м установлены противотанковые мины. Перпендикулярно этой линии движется танк, ширина которого 3м. Какова вероятность того, что танк пересечёт линию установки мин невредимым, т.е. что мина не взорвётся?

6. Два лица А и В условились встретиться в определённом месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 11 и 12ч и ждёт в течении30 мин. Если партнёр к этому времени ещё не пришел или уже ушел, встреча не состоится. Какова вероятность того, что встреча состоится?

7. Среди одинаковых по внешнему виду 11 изделий находятся три бракованных. Произвольно вынимают три изделия. Какова вероятность, что среди них хотя бы одно бракованное?

8. Работа электронного устройства прекратилась в результате выхода из строя одного из 5 унифицированных блоков. Производится последовательная замена каждого блока новым до тех пор, пока устройство не начнёт работать. Какова вероятность того, что придётся заменить 2 блока.

9. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено 2 билета?

10. Устройство содержит два независимо работающих элемента, вероятности отказа которых за время Т соответственно равны 0,4 и 0,3. Найдите вероятность того, что за время Т откажет только один элемент.

11. Вероятность того, что сброшенная с самолета бомба попадет в цель, равна 0,03. вероятность того, что бомба разорвется, равна 0,99. Найти вероятность того, что цель будет уничтожена одной сброшенной бомбой.

12. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что наудачу взятое изделие стандартно, равна 0,7. Найдите вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно окажется стандартным.

13. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,6. Какова вероятность того, что баскетболист попадет в корзину только с третьего раза?

14. В технической библиотеке имеются 70 книг по технике и 30 книг по математике. Зашедший в библиотеку читатель заказывает 3 книги. Какова вероятность того, что все они по одной тематике?

15. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность того, что первый стрелок попал в цель, равна 0,7; для второго стрелка эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы один из двух стрелков попал в цель.

16. Из слов «мама» и «дама» наугад выбирают по одной букве. Какова вероятность совпадения этих букв?

17. На колышек набрасывают кольца до первого попадания. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Какова вероятность, что будет израсходовано 4 кольца?

18. Студент пришел на экзамен, выучив лишь 20 вопросов из 25, имеющихся в программе. Преподаватель задает ему 4 вопроса. Какова вероятность, что студент знает более двух вопросов?

19. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что из 5 выстрелов будет ровно 3 попадания.

20. Завод выпускает электролампочки. Среди изготовленных лампочек в среднем 4.5% неисправных. Найти вероятность того, что среди 25 наудачу выбранных лампочек окажется 20% неисправных. Найдите наивероятнейшее число неисправных электролампочек в указанной выборке и какова его вероятность?

21. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0.015. Найти вероятность того, что среди 20 случайно отобранных деталей окажется одна бракованная. Каково наивероятнейшее число бракованных деталей в выборке из 20 деталей и какова его вероятность?

22. Среди производимых заводом стиральных машин 99% не имеют никаких дефектов. Найдите вероятность того, что из 38 машин, завезенных в магазин, окажется менее 3 дефектных. Определите наивероятнейшее число машин (и его вероятность) среди завезенных в магазин, имеющих дефект.

23. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин купил по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций 2 окажутся акциями банкротов?

24. Из 15 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Какова вероятность того, что среди 6 билетов, взятых наудачу, будет 2 выигрышных?

25. Средний процент нарушений в работе телевизоров определенной марки в течение гарантийного срока равен 12. Вычислите вероятность того, что из 26 проданных телевизоров не менее 23 выдержат гарантийный срок. Найдите наивероятнейшее число (и его вероятность) проданных телевизоров, которые выдержат гарантийный срок.

26. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны 5 деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей 2 окажутся бракованными?

27. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 75 и не более 85 раз.

28. Студент знает 40 из 60 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.

29. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно р₁= 0,4; р₂= 0,5; р₃= 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет: 1) ровно одна пробоина; 2) хотя бы одна пробоина.

30. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

31. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет «орел».

32. В коробке содержатся 6 одинаковых, занумерованных кубиков. Наугад по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

33. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

34. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4 % нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными. Каково наивероятнейшее число нестандартных деталей в рассматриваемой выборке из 30 деталей и какова его вероятность?

35. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. найти вероятность того, что в серии из четырех выстрелов будет: а) хотя бы одно попадание; б) не менее трех попадании; в) не более одного попадания.

36) Вероятность того, что необходимый студенту учебник имеется в библиотеке, равна 0,3. Найти вероятность того, что студент не найдет необходимый ему учебник ни в одной из трех центральных библиотек города.

37) На склад поступили 3 партии телевизоров от разных производителей. Для проверки на качество отбирается по одному телевизору из каждой партии. Вероятность брака в партии телевизоров фирмы А равна 0,09, фирмы В – 0,02, фирмы С - 0,1. Найти вероятность того, что все отобранные для контроля телевизоры будут бракованными.

38) На экзамен по математике вынесено три темы. В билете содержится 3 вопроса: по одному из каждой темы. Вероятность того, что студент ответит на вопрос темы №1, равна 0,9, на вопрос темы №2 – 0,8, темы №3 – 0,95. Найти вероятность того, студент ответит на все вопросы в билете.

39) Три стрелка стреляют по цели и делают по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,9. Найти вероятность того, что все стрелки поразят цель.

40) Вероятность того, что пассажир опоздает на транзитный автобус, равна 0,01. Найти вероятность того, что на этот рейс опоздают три пассажира из пяти купивших бмлет.

41) Вероятность того, что на малом предприятии вакантно место инженера, равна 0,1. Найти вероятность того, что на трех предприятиях из четырех, заинтересовавших выпускников КубГТУ, вакантно место инженера.

42) Вероятность того, что в течение гарантийного срока холодильник данной фирмы выйдет из строя, равна 0,05. Найти вероятность того, что в течении гарантийного срока выйдут из строя три из четырех холодильников, приобретенных для школы-интерната.

43) Вероятность того, что в букинистическом магазине имеется интересующая читателя книга, равна 0,2. Найти вероятность того, что читатель не найдет данную книгу ни в одном из трех известных ему букинистических магазинов.

44) Вероятность того, что вакцина предотвратит у пациента заболевание гриппом, равна 0,9. Найти вероятность того, что три из пяти пациентов, прошедших вакцинацию, не заболеют гриппом.

45) Вероятность того, что лотерейный билет окажется выигрышным, равна 0,3. Найти вероятность того, что все три купленные гражданином билета, окажутся выигрышными.

В. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

36. Была проведена одна и та же контрольная работа в трёх параллельных группах. В первой группе, где 30 студентов, оказалось восемь работ, выполненных на «5», во второй, где 28 студентов, 6 работ; в третьей, где 27 студентов, 9работ. Найти вероятность того, что первая взятая на удачу работа из произвольной группы окажется выполненной на пять.

.

37. На олимпиаду по математике от экономического факультета решено отправить одного из трех студентов, успешно овладевших курсом математики. Для окончательного выбора решено бросить жребий, который с равной вероятностью может выпасть любому из этих студентов. Занять призовое место на олимпиаде студент Аможет с вероятностью 0,8, студентВ– 0,7, студент С – 0,9. На олимпиаде представитель экономического факультета занял призовое место. Найти вероятность того, что это был студент С.

38. Из пункта А в пункт В ведут две дороги: прямая и объездная. Вероятность проехать из А в В, не встретив заторов на перекрестках, по прямой дороге равна 0,3; по объездной – 0,9. Вероятность того, что водитель выберет прямую дорогу, равна 0,7; объездную – 0,3. Найти вероятность того, что на пути из А в В водитель не встретит «пробок» на дороге.

39. Студент решает задачу по математике. Вероятность того, что студент выберет графический способ решения, равна 0,6, а аналитический – 0,4. Вероятность того, что при графическом способе решения студент получит верный ответ, равна 0,8, при аналитическом – 0,6. Студент правильно решил задачу. Найти вероятность того, что он выбрал графический способ решения.

40. Для экзаменационного сочинения по литературе может быть предложена одна из 6 тем по русской классической литературе или одна из 4 тем по современной литературе. Вероятность того, что ученик изложит на «отлично» тему по русской классике, равна 0,7, а по современной литературе – 0,4. Ученик получил по сочинению «отлично». Найти вероятность того, что была предложена тема по русской классической литературе.

41. В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1, 2, 3 поставщиков не потребуют ремонта в течении гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92%случаев. Проданный телевизор потребовал ремонта в течении гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

42. Вся продукция цеха проверяется двумя контролёрами, причём первый контролёр проверяет 55% изделий, а второй - остальные. Вероятность того, что первый контролёр пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй – 0,02. Взятое на удачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролёром.

43. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит второму стрелку.

44. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.

45. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%.Найти вероятность того, что приобретённое изделие окажется нестандартным.

46. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0.6, а ко второму – 0.4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0.94, а вторым – 0.98. Деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

47. На оптовую базу поступает продукция 3 фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46%, третьей – 34%. Известно, что средний процент некачественных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось некачественным.

48. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% исправных ламп, второго – 80%, третьего – 81%. В магазины поступает продукция только трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется исправной?

49. Имеются три на вид одинаковые урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара. Выбирается наугад одна урна и вынимается из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

50. Прибор может собираться из высококачественных деталей и деталей обычного качества; вообще около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время Т равна 0,95; если из деталей обычного качества – то его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени Т и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

С. Законы распределения непрерывных случайных величин.

1. Найти F(X),M(X),D(X).

2. Найти F(X),M(X),D(X).

3. Найти F(X),M(X),D(X).

4. Найти F(X),M(X),D(X).

5. Найти F(X),M(X),D(X).

6. Найти F(X),M(X),D(X).

7. Найти F(X),M(X),D(X).

8. Найти F(X),M(X),D(X).

9. Найти F(X),M(X),D(X).

10. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти коэффициент а, плотность распределения f(x), вероятность попадания случайной величины Х в интервал от 0,25 до 0,5.

11. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения f(x)=2xв интервале (0;1); вне этого интервалаf(x)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х.

12. Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратическое отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить:

1) диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98;

2) вероятность того, что на каждый из 6 га пашни будет израсходовано более 85 кг удобрений.

13. Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые 2 часа. Считая, что время прибытия автомобилей к парому распределено равномерно, определить:

1) вероятность того, что время ожидания прихода парома будет менее 45 минут;

2) среднее время ожидания автомобилем прихода парома.

14. Минутная стрелка часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данный момент часы показывают время, отличающееся от истинного на 20 секунд. Найти среднюю ошибку в определении времени по этим часам.

15. Математическое ожидание количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить, считая расход сыра нормально распределенной сл/величиной:

1) дисперсию расхода сыра на 100 бутербродов;

2) вероятность того, что на каждую из 2 партий по 100 бутербродов уйдет менее 900 г сыра.

16. На перекрестке стоит светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0,5 минут – красный. Автомобиль подъезжает к перекрестку в случайный момент времени, не связанный с работой светофора (т.е. можно считать время, прошедшее от момента включения красного сигнала светофора до прибытия автомобиля, распределенным равномерно). Найти:

1) вероятность того, что автомобиль проедет перекресток без остановки ;

2) автомобиль будет ожидать возможности продолжить движение более 0,2 минут.

17. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков – 5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр – случайная величина, распределенная нормально. Среднее квадратическое отклонение равно 0,05 мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального более, чем на 0,1 мм. Определить:

1) какой процент шариков в среднем будет отбраковываться;

2) вероятность того, что у трех наудачу взятых шариков диаметр будет отличаться от номинального менее, чем на 0,07 мм.

18. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом в 3 минуты. Пассажир подходит к остановке в произвольный момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее, чем через минуту после ухода предыдущего поезда и не позднее, чем за 2 минуты до следующего. Найти среднее время ожидания прихода очередного трамвая.

19. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т. и средним квадратическим отклонением 0,9. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т. и не менее 60 т. Определить, в каких границах заключена масса вагона, если известно, что вероятность не выйти за эти границы равна 0, 95.

D. Законы распределения дискретных случайных величин.

1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдают патроны, пока он не промахнется, но не более пяти патронов. Найти закон распределения, М(Х), Д(Х) числа попаданий в мишень.

2. Испытуемый прибор состоит из 3 малонадежных элементов. Отказы элементов за время Т независимы, а их вероятности равны соответственно 0,1; 0,2; 0,25. Найти закон распределения, М(Х), Д(Х) числа отказавших за время Т элементов.

3. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Найти закон распределения, М(Х), Д(Х) числа неисправных аппаратов среди отобранных.

4. Производится ряд выстрелов по мишени с вероятностями попадания 0,8 при каждом выстреле. Стрельба ведется до первого попадания в мишень, но не более 4 выстрелов. Найти закон распределения, М(Х), Д(Х) числа произведенных выстрелов.

5. Студент купил 4 билета новогодней лотереи. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,6. Найти закон распределения, М(Х), Д(Х) числа выигрышей.

6. Обрыв связи произошел на одном из пяти звеньев телефонного кабеля. Монтер последовательно проверяет все звенья для обнаружения места обрыва. Составить закон распределения, М(Х), Д(Х) числа обследованных звеньев, если вероятность обрыва связи одинакова для всех звеньев.

7. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Составить закон распределения, найти М(Х), Д(Х) числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

8. Каждая партия, состоящая из 21 прибора, содержит 7 неточных. Из 5 партий случайным образом отобрано по одному прибору. Найти закон распределения, М(Х), Д(Х) числа точных приборов среди отобранных.

9. Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле равна 0,1, при втором -0,4, при третьем- 0,7. Предполагается произвести 3 выстрела. Найти закон распределения, М(Х), Д(Х) числа попаданий в цель.

10. Имеется 4 заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,7. Найти закон распределения, М(Х), Д(Х) числа заготовок, оставшихся после изготовления годной детали.

11. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания, но делает не более трех бросков. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бросков, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х), если вероятность попадания при каждом броске равна 0,6.

12. Вероятность появления герба при одном подбрасывании монетки равна 0,5. Монета подбрасывается 3 раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпавших гербов, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

13. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что 1-й станок потребует внимание рабочего в течение часа, равна 0,6. Для 2-го станка эта вероятность равна 0,7; для 3-го станка – 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х – числа станков, потребующих внимания рабочего в течение часа, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

14. Вероятность рождения мальчика равна 0,5. В семье 3 детей. Составить закон распределения случайной величины Х – числа мальчиков в этой семье, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

15. Имеется 3 заготовки для деталей. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки 0,7. Составить закон распределения случайной величины Х – числа заготовок, оставшихся после изготовления годной детали, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

16. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. В городе три библиотеки. Составить закон распределения случайной величины Х – числа библиотек, которые посетит студент, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

17. Производится стрельба по мишени с вероятностью попадания в цель при каждом выстреле 0,6. Всего произведено 3 выстрела. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

18. Прибор содержит три малонадежных элемента. Отказы элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности равны соответственно р₁=0,1, р₂=0,2, р₃=0,25. Составить закон распределения случайной величины Х – числа отказавших за время Т элементов, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсиюD(Х).

19. Куплено 3 лотерейных билета. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х – числа проигрышных билетов, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

20 Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения : х₁ и х₂ , причем х₁ < х₂ . Известны вероятность р₁ = 0,3 возможного значения х₁ , математическое ожидание М(х) = 3,7 и дисперсия Д(х) = 0,21. найти закон распределения этой случайной величины.

21. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной таблично

Х	-5	2	3	4
Р	0,4	0,3	0,1	0,2

22. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения : х₁ и х₂ , причем х₁ < х₂ . Известны вероятность р₁ = 0,3 возможного значения х₁ , математическое ожидание М(х) = 3,7 и дисперсия Д(х) = 0,21. найти закон распределения этой случайной величины.