Пример 2.3. Определить касательное напряжение в точке А, если max = 50 МПа. Решение. Касательные напряжения в поперечном сечении распреде-

Рис. 2.8

ляются по линейному закону, поэтому

_A/_max = _A/_max = d_в/d_н = 0,8,

откуда _A = 0,8_max =0,850 = 40 МПа.

Пример 2.4. Как изменятся наибольшее касательное напряжение _max и жесткость вала, если площадь поперечного сечения увеличить в 2 раза?

Решение. Соотношение наибольших касательных напряжений .

С другой стороны, А₂/A₁ = (d₂/d₁)²  2, откуда . Следовательно, ₁/₂ = 2^3/2 = 2,83 раза. Как видим, наибольшее касательное напряжение уменьшится в 2,83 раза.

Соотношение жесткостей

,

т.е. жесткость вала возрастет в 4 раза.

Пример 2.5. Определить отношение диаметров двух валов из одинакового материала, передающих одинаковую мощность, если один делает П₁ = 50 об/мин, а другой – П₂ = 400 об/мин.

Решение. Скручивающий момент М связан с мощностью Р известным соотношением М = Р/. Искомый диаметр из условия прочности равен . Учитывая, что в данном случае М_К = М, находим и . Отношение диаметров . Как видим, увеличение скорости вращения при неизменной мощности, передаваемой валом, приводит к уменьшению диаметра и, как следствие, его массы.

Пример 2.6. Два вала одинаковой длины и массы изготовлены из одного и того же материала. Один вал полый ( = 0,8), а другой – сплошной. Сравнить грузоподъемность валов при одинаковом допускаемом напряжении. Определить, насколько уменьшится масса полого вала, если его сделать равнопрочным сплошному при одинаковой грузоподъемности.

Решение. 1. Сравнение грузоподъемности сплошного и полого валов одинаковой массы. Вычисляем массы валов:

• полого ,

• сплошного .

Если массы равны, то А₁ = А₂ и (d_н/d)² = 1/(1-²). (а)

Из условия прочности находим грузоподъемности валов:

(б)

откуда их отношение (в)

Подставляя (а) в (в), окончательно получим

.

Следовательно, грузоподъемность полого вала при равной массе в 2,73 раза выше, чем сплошного.

2. Сравнение массы полого и сплошного валов одинаковой прочности и грузоподъемности. При одинаковой прочности и грузоподъемности из (б) имеем

, (г)

Отношение масс полого и сплошного валов

или с учетом (г) .

Как видим, экономия материала достигает 49 %.

Пример 2.7. Считая величину момента М1 известной, определить при заданном соотношении диаметров ступенчатого вала величину момента М2 из условия равнопрочности тонкой и толстой частей.

Рис. 2.9

Решение

Из эпюры М_К имеем , . (а)

При равнопрочности частей или

,

откуда .

Следовательно, с учетом (а): М₁ + М₂ = 8М₁ и М₂ = 7М₁.

Пример 2.8. Сплошной вал скручивается момен-

Рис. 2.10

тами М, приложенными к его концам. На поверхности вала под углом 45 к его оси установлен тензометр с базой s = 20 мм и увеличением,

равным k = 1000. Определить модуль сдвига материала, если при увеличении крутящего момента на величину М_К = 16 кНм приращение показаний тензометра составило П = 10 мм. Диаметр вала равен d = 10 см.

Решение. Относительная деформация в направлении базы тензометра исходя из показаний последнего равна

. (а)

При кручении главные напряжения равны: ₁ = , ₂ = 0, ₃ = -, поэтому на основании закона Гука

₁ = (₁ - ₃)/E = (1 + )/E (б)

или ₁ = /(2G). С другой стороны,  = М_К/w_p. (в)

Приравнивая (а) и (б), с учетом (в) получим

n/(KS) = M_K/(w_p2G).

Отсюда

G = M_KKS/(n2w_p) =

= 1610³10³2010^-3/(1010^-320,210³10^-6)= 80 ГПа.

Пример 2.9 Определить величину момента, вызывающего разрушение чугунного вала, если d = 75 мм, пчр = 150 МПа, пчс = 600 МПа. Решение

Рис. 2.11

Учитывая, что чугун является хрупким материалом, воспользуемся гипотезой прочности О.Мора, согласно которой , где m = _пчр /_пчс = 0,25. При кручении ₁ = М_пред/w_p, ₂ = 0, ₃ = -₁. Из условия прочности или М_пред(1 + m)/w_p = _пчр находим искомый разрушающий момент

М_пред = _пчр w_p/(1+m) = 15010⁶0,27,5³10^-6/(1+0,25) = 10 кНм.

Рис. 2.12

Пример 2.10. Определить из расчета на прочность допускаемое значение М, если  = 45 МПа, d = 10 см. Решение 1. Определение реакций опор. Задача является стати-

чески неопределимой, поэтому в дополнение к уравнению статики m_z = 0, M_B - M_A + 3M - 4M = 0, необходимо составить уравнение перемещений _ВА = 0,

,

откуда М_В = (7/4) М, а из уравнения статики М_А = (3/4) М. Далее строим эпюру М_К, из которой определяем М_{К max} = (9/4) М.

2. Определение допустимого значения момента М. Из условия прочности имеем _max = M_{K max}/W_p = (9/4)M/W_p  ,

откуда М = (4/9)W_p = (4/9)0,210³10^-64510⁶ = 4 кНм.

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ

В расчетах конструкций на механическую надежность очень часто приходится оперировать такими характеристиками плоских фигур, как статический момент, осевой и полярный моменты инерции. Хотя вычисление вышеназванных геометрических характеристик относится к числу простейших задач интегрального исчисления, тем не менее, в силу их узкого прикладного значения они практически не рассматриваются во втузовском курсе высшей математики. По установившейся традиции геометрические характеристики плоских фигур изучаются в курсе сопротивления материалов.

1. Статические моменты.

Определение положения центра тяжести

Рис. 3.1

Выражения , (3.1) называются статическими моментами площади относительно осей u и v (рис. 3.1). Статический момент имеет размерность L3. Через

статические моменты определяются координаты центра тяжести (точка С) сечения:

, . (3.2)

Из формул (3.2) вытекает, что статические моменты относительно осей , проходящих через центр тяжести (центральные оси), равны нулю: S_ = 0, S_ = 0.

В тех случаях, когда сечение может быть разбито на простейшие составные части, площади и координаты центров тяжести которых известны, положение центра тяжести всего сечения определяют по формулам

, , (3.3)

где А_i – площадь i-й части сечения (i = 1,2,3,…,П); u_i и v_i – координаты ее центра тяжести.

Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, площадь каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры принимаются по таблицам ГОСТов на прокатную сталь.

Пример 3.1. Определить положение центра тяжести сечения, приведенного на рисунке (размеры даны в см). Решение Разбиваем сечение на три прямоугольника и выбираем вспомогательные оси uv (рис. 3.2).

86