отвкты на математику

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя,

5.Определитель, имеющий нулевую строку или столбец равен нулю.

6.Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число. Это утверждение верно и для столбцов

9.Метод Гаусса

Метод Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Он применим как для решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей, так и для систем с вырожденной матрицей и для систем, число уравнений которых не совпадает с числом переменных. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему m линейных алгебраических уравнений относительно n

приводят с помощью эквивалентных преобразований, не меняющих решения системы, к ступенчатому виду( в частности, к верхнетреугольному)

10. Векторы, декартова система координат, выражение вектора через начало и конец , длина вектора.

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными.

Вектор-это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А- начало вектора, а В- его конец, то вектор

обозначается символом АВ , или а . Вектор ВА ( у него начало в точке В , а конец в точке А)

называется противоположным вектору АВ . Вектор, противоположный вектору а , обозначаетсяа .

Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка AB и обозначается АВ .

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет. Вектор единичной длины, направление которого совпадает с

направлением вектора а , называется ортом вектора а и обозначается а0 .

Векторы а и в называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на

параллельных прямых. Обозначаются коллинеарные векторы а ║ в

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково, т.е. быть сонаправленными ( а

в ), или быть противоположно направленными ( а в ). Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора а и в называются равными ( а в ), если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора перемешать в любую точку пространства.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или хотя бы два коллинеарные, то такие векторы будут компланарны.

Представление вектора в декартовой системе координат

Рассмотрим в трехмерном пространстве декартову систему координат. Через начало координат - точку О проведены координатные оси: ОХ, ОУ, OZ. На осях координат выберем

единичные векторы(орты),обозначаемые соответственно: i, j, k . Возьмем произвольный вектор пространства а и совместим его начало с началом координат а ОМ . Найдем проекции вектора

а на координатные оси. Для этого через конец вектора ОМ , точку М проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим

a (ax ; ay ; az ) .

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.а в в а

2.(а в) с а (в с)

3.(а в) а в

4.( 1 2 ) а 1 а 2 а

Эти свойства позволяют производить преобразования в линейных операциях с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

12. Скалярное произведение: определение , выражение через координаты множителей, приложение.

Опр: Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

где - угол между векторами а и b . Для скалярного произведения применяются обозначения:

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого в направлении первого.

Свойства скалярного произведения

1.а b b a

2.( a b) c a c b c

3.( ka) b k (a b)

4.a a a 2 скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора.

Приложения векторного произведения

Площадь параллелограмма и треугольника Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения двух его смежных

сторон: Sпар a b sin a b ,

Площадь треугольника, построенного на двух сторонах равна половине модуля векторного

14. Смешанное произведение.

Рассмотрим произведение векторов a, b и c , составленное следующим образом: (a b) c .

Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Обозначается

смешанное произведение: abc

Смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей,

т. е. (a b) c (b c) a (c a) b .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его

ребер.

2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-

сомножителей, т. е. abc acb , abc bac .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном

c (cx , cy , cz ) cx i cy j cz k . Найдем их смешанное произведение, используя формулы для выражения векторного и скалярного произведений:

Полученную формулу можно записать короче:

ax a y az abc bx by bz cx cy cz

так как правая часть равенства представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

1.Определение взаимной ориентации векторов в пространстве. Если a b c 0 ,то тройка a, b, c — правая; если a b c 0 , то a, b, c - левая тройка.

2.Установление компланарности векторов. Векторы a, b, c компланарны тогда и только

тогда, когда их смешанное произведение равно нулю a b c 0 .

3.Объем параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , как на сторонах, т.е. V abc - объем параллелепипеда;

V 16 abc - объем пирамиды, построенной на векторах a, b, c

Пример: