Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

отвкты на математику

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

касательную (предельное положение секущей). Найдем угловой коэффициент секущей k=tg , где
- угол наклона касательной к оси ОХ. Угловой коэффициент секущей =				∆
				∆

При ∆ стремящемся к нулю,	lim tg lim		y y' tg .
	x 0	x 0	x
y' x0 tg - угловой коэффициент касательной.

Если функция y=f(x) имеет невертикальную касательную в точке x0 , то в этой точке существует производная y' x0 , равная тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке x0 к оси OX .

41. Правила вычисления производных.

Основные правила дифференцирования

Производная постоянной величины равна 0 .

Доказательство:

f x x c .

Дадим приращение x 0 ,

f x x f x

0 lim

f x x f (x)

lim

c c

0 .

x 0

2.Производная суммы двух функций равна сумме производных.

u v ' u' v' .

Доказательство:

y u v , если

u и

v -

дифференцируемые

функции, то их алгебраическая сумма

дифференцируема.

y y u u v v .

lim

lim u v

lim

. По определению производной:

x 0

y' u' v' .

3. Производная произведения двух функций:

u v '

u' v u v' .

Пример: Найти производную функции:

у = соsx ln2x.

y/ = (cosx)/ ln2x + cosx (ln2x)/ = - sinx ln2x + cosx 2lnx (lnx)/ =

-sinx ln2x +cosx 2lnx ( 1х ).

4.Производная частного:

Если u и v - дифференцируемые и v 0 , то

u	'	u' v u v'
			.
		v2
v

Пример: Найти производную функции:

y =		е2 х
y =		arcsin 3x
	2е2 x arcsin 3x e2 x		3


			9x2
/		1	9x2
y =
y =		arcsin 2 3x
		arcsin 2 3x

5. Производная сложной функции:

Если y f z и z x - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная

сложной функции y f x существует и равна

y' z' .

z x получит

Доказательство:

Дадим x0

отличное от нуля приращение

x , тогда

приращение z ,

y f z - приращение y .

По условию

yz' lim

y .

z 0

y y

z . Перейдем к пределу

lim

x 0

z 0

x 0

z x - дифференцируема, непрерывна в точке x0

lim z 0

x 0

yx'

lim

y zx' yz' zx' .

z 0

1.С/ = 0

2.(CU)/ = CU

3.(U V)/ = U/ V/

4.(UV)/ = U/V + UV/

U \|				U \|V V \|U

				V 2
5. V

Правила дифференцирования:

при V 0.

42. Вывод производных некоторых элементарных функций(на выбор студента)

Производная постоянной величины равна 0 .

Доказательство:

f x x c .

Дадим приращение x 0 ,

f x x f x

0 lim

f x x f (x)

lim

c c

0 .

x 0

2.Производная суммы двух функций равна сумме производных.

u v ' u' v' .

Доказательство:

y u v ,

если

u и

v -

дифференцируемые

функции, то их алгебраическая сумма

дифференцируема.

y y u u v v .

lim

y lim u v

lim

. По определению производной:

x 0

y' u' v' .

3. Производная произведения двух функций:

u v ' u' v u v' .

Пример: Найти производную функции:

у = соsx ln2x.

y/ = (cosx)/ ln2x + cosx (ln2x)/ = - sinx ln2x + cosx 2lnx (lnx)/ =

-sinx ln2x +cosx 2lnx ( 1х ).

4.Производная частного:

Если u и v - дифференцируемые и v 0 , то

u' v u v

Пример: Найти производную функции:

y =

е2 х

arcsin 3x

2е2 x arcsin 3x e2 x

1 9x2

y =

arcsin 2 3x

Производная сложной функции:

Если y f z

z x - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная

сложной функции

y f x существует и равна

y' z' .

z x получит

Доказательство: Дадим x0

отличное от нуля приращение

x , тогда

приращение z , y f z - приращение y .

По условию

yz' lim

y .

z 0

z . Перейдем к пределу

lim

x 0

z 0

x 0

z x - дифференцируема,

непрерывна в точке x0

lim z 0

x 0

yx'

lim

y zx' yz' zx' .

z 0

43. Логарифмическая производная. Примеры.

44. Производная нефвно заданной функции и функции заданной параметрически.

Производная неявно заданной функции

Если функция задана неявно F x, y x 0 , следует продифференцировать обе части тождества, применяя правило дифференцирования сложной функции (помня, что y y x - функция от x ).

		6.7. Производная показательностепенной функции
y uv	,	u u x ,v v x
Пусть	,
Пусть

Прологарифмируем обе части: ln y ln uv v ln u

y y'

v' ln u v	u'
	u

		u'
uv v' ln u v			uv ln u v' uv 1 v u'


		u

y' (uv )' uv ln u v' uv 1 v u' .

6.8. Производная функции, заданной параметрически

Часто применяется способ задания функции, при котором текущие координаты являются функцией третьей переменной величины, параметра t:

x x(t)

y(t) , такой способ задания называется параметрическим.

x :

;

lim

x 0

t 0

перейдем к пределу:

lim

t 0

Получаем:

уt

ух

Пример:

а sin 2

а cos3

t Найти у/.

t sint,

3а cos 2 t

sin t

= -1,5cost.

x t = 2а sint cost;

y t = -3а cos

тогда у =

2а sin t

cos t

45.

Уравнение касательной к графику функции.

Уравнение

касательной

графику

функции

точке с абсциссой

x0 ,

имеет вид:

y y

' x

x x

Нормаль-это прямая, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной.

y y0

x x0

Уравнение нормали:

' x

Пример:

(3 х2 )

Составить

уравнения касательной и нормали к графику кривой

у = 2

в точке с

абсциссой х0 =

2 .

Решение:

2 1

2х

(3 х

у/ = 1

) / 2

х2

х2 .

((3-х2)/2)/ =

= -

2.у/(х0) = у/( 2 ) = - 2.

3.у(х0) = у( 2 ) = 2 .

4.Тогда уравнения касательной и нормали имеют вид:

у - 2 = - 2(х - 2 ) 2х + у - 3 2 = 0 – искомое уравнение касательной;

у - 2 = 2 (х - 2 )

х – 2у + 2 = 0 – искомое уравнение нормали.

46. Исследование функции на монотонность и экстремумы с помощью производной.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности . Установим необходимое и достаточное условие монотонности функции.

Теорема (необходимые условия монотонности):
Если дифференцируемая		на интервале (a,b) функция f(x) возрастает (убывает), то
		, x (a;b).
f (x) 0	( f (x) 0)
Теорема	достаточное условие экстремума функции

Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х и при переходе через нее ( слева на право) производная f´ x меняет знак с плюса на минус, то х есть точка максимума функции если же происходит изменение знака с минуса на плюс, то точка

х - точка минимума функции).

47. Правило Лопиталя.

Данное правило помогает раскрыть неопределенности вида	0	и	при вычислении
	0

пределов.

Правило Лопиталя раскрытия неопределѐнностей вида 0 0

Пусть функции f(x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: f(x0) = (x0) = 0. Пусть x 0 в окрестности точки x0. Если существует

предел lim

l , то

x x0 x

lim

f x

lim

x x0

x x0 x

Доказательство. Возьмем точку х, принадлежащую окрестности точки x0

Применим к функциям

f(x) и (x) теорему Коши на отрезке [x0;x]. Тогда

f x f x0

f c

где с лежит между x0 и

x x0

x (см. рис.).

Учитывая, что f(x0) = (x0) = 0, получаем

f x

f c

При x x0 ,

величина с также стремится к x0; перейдѐм к пределу:

lim

f x

lim

x x0

c x0

Так как lim

l . Поэтому lim

x x0

Ч.т.д.

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида

∞

Пусть f(x) и g(х) – функции, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0, за исключением быть может самой точки х0, и при х х0 обе эти функции стремятся к

бесконечности. Тогда если существует предел	f ' (x)	при х х0, то существует и предел
	g ' (x)

отношения самих функций, причем, они равны, т.е.

lim	f (x)	=	lim	f ' (x)	.
	g(x)			g ' (x)
x x0			x x0

Замечания:

1)теорема остается справедливой и в том случае, если х или х х00;

2)	если	lim	f ' (x)	опять дает неопределенность вида	0	или	, то правило
			g ' (x)

		x x0			0

Лопиталя следует применить еще раз.

48. Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке a;b , дифференцируема на интервале

a;b и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)= f(b), то найдѐтся,

хотя бы одна точка c a;b , в которой производная f (x) обращается в нуль, т.е. f (c) 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке a;b , то она

достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, M и m.

Если m=M, то функция f(x) постоянна на a;b и, следовательно, еѐ производная f (x) 0 в любой точке отрезка a;b .

Если M m , то функция достигает, хотя бы одно из значений M или m во внутренней точке с интервала a;b , т. к. f(a)= f(b).

Пусть, например, функция принимает значение M в точке x c a;b , т. е. f(c)=M.

Тогда для всех x a;b выполняется соотношение

f (c) f (x).

		x c :
Найдѐм производную f (x) в точке		x c :
	f (c x) f (c)
f (c) lim		.
f (c) lim	x	.
x 0	x

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

В силу условия			f (c) f (x). верно неравенство f (c x) f (c) 0 . Если x 0
(т. е. x 0 справа от точки x=c), то					f (c x) f (c)	0 и поэтому
(т. е. x 0 справа от точки x=c), то					x	0 и поэтому	f (c) 0.
					x
Если,	x 0	то	f (c x) f (c)	0 и


			x		f (c) 0.
			x
Таким образом,
Таким образом,			f (c) 0.

В случае, когда f(c)=m, доказательство аналогичное. Ч.т.д.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции y=f(x) найдѐтся точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ox (см. рис.1 и 2). На рис. 3 таких точек две.

49. Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке a;b , дифференцируема на интервале

a;b , то найдѐтся хотя бы одна точка c a;b , такая, что выполняется равенство:

f (b) f (a) f (c) b a .

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив (x)= x, находим

(b) (a) b a,
(b) (a) b a,	(x) 1,	(c) 1. Подставляя эти значения в формулу

f (b) f (a) f (c)

(b) (a) (c) , получаем

f (b) f (a) f (c) b a .

f (b) f (a)
b a	f (c) или
b a
Ч.т.д.

Замечание: Полученную формулу

f (b) f (a) f (c) b a .

Называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении:

Приращение дифференцируемой функции на отрезке [a,b]	равно

приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка Следствие 1 :Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Следствие 2: Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

50. Теорема Коши.

Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке a;b , дифференцируемы на интервале a;b ,

причѐм (x) 0 для x a;b , то найдѐтся хотя бы одна точка c a;b такая, что выполняется равенство

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
22.05.2015169.47 Кб12Математика первый семестр 2012-13.doc
#
20.03.2016994.82 Кб105Математика шпоры 7 шрифт.doc
#
22.05.2015629.25 Кб25Математика. Задачи к экзамену..doc
#
22.05.20151.18 Mб21Математика.doc
#
20.03.20161.18 Mб16МИППС Математика 2 ч.doc
#
22.05.20152.27 Mб23отвкты на математику.pdf
#
22.05.2015192.67 Кб383Практикум. Дискретная математика..pdf
#
04.11.20188.04 Mб51УЧЕБНИК ПО МАТЕМАТИКЕ.doc