отвкты на математику
.pdf
f (b) f (a) f (c)(b) (a) (c)
.
Доказательство. Отметим, что (b) (a) 0 , т. к. в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка c, такая, что (c) 0 , чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим
вспомогательную функцию
F (x) f (x) f (a) f (b) f (a) ( (x) (a))(b) (a)
.
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке a;b и
дифференцируема на интервале a;b , т. к. является линейной комбинацией функций f(x) и (x);
на концах отрезка она принимает одинаковые значения F(b) F(a) 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании теоремы Ролля найдѐтся точка x c a;b такая, что F (c) 0 . Но |
||||||||||
F (x) f (x) |
f (b) f (a) |
(x) , следовательно, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
(b) (a) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F (c) f (c) |
f (b) f (a) |
(c) 0. |
||||||
|
(b) (a) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (c) |
f (b) f (a) |
(c) |
f (c) |
|
|
f (b) f (a) |
. |
|||
|
|
(b) (a) |
и |
(c) |
(b) (a) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч.т.д. |