2. Рассмотрим действие силы Р на каждую угловую точку сечения и рас-

ставим знаки отдельных слагаемых выражения s (рисунок 8.9).

3. Определим напряжения в точкахА, В, С и D, учитывая знаки соответ-

ствующих напряжений от N, Mx, My.

Определяем положение нейтральной линии:

Покажем положение нейтральной линии на рисунке 8.9.

8.3 Совместное действие изгиба и кручения

При рассмотрении кручения предполагалось, что в поперечных сечениях круглого стержня возникает только крутящий момент. Однако такие детали как валы, редко работают на чистое кручение. Даже прямой вал при работе изгиба-

ется собственным весом, весом зубчатых колес, шкивов, натяжением ремней и

154

т.д. Такому нагружению подвержены элементы авиационных конструкций(аэ-

родинамические нагрузки, действующие на крыло и оперение самолета) и мно-

гие другие конструкции и сооружения.

При действии изгиба и кручения в поперечных сечениях возникает пять

внутренних силовых факторов: крутящий момент Т=Мкр, изгибающие моменты

Мx и My, поперечные силы Qx и Qy.

Таким образом, в любом поперечном сечении одновременно возникает

нормальные напряжения от изгиба в двух плоскостях и касательные напряже-

ния от изгиба и кручения. Для расчета стержня в первую очередь необходимо установить опасные сечения. С этой целью должны быть построены графики функций изгибающих моментов и крутящего момента. Для этого нагрузки,

действующие на вал, раскладывают на составляющие вдоль координатных осей, а затем строят эпюры.

8.3.1 Определения напряжений при совместном действии изгиба и кручения

Рассмотрим расчет вала на примере (рисунок 8.10).

Разложим нагрузки на горизонтальные и вертикальные составляющие и строим эпюры изгибающих моментов Мx и My (рис. 8.10, г,е)в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Имея эти эпюры, можем для каждого сечения вала найти полный изгибающий момент (рис. 8.10,ж) как геометрическую сумму

(8.19)

Для каждого сечения будет своя плоскость изгибающего момента, но так как вал имеет круглое поперечное сечение, у которого моменты инерции отно-

сительно всех центральных осей одинаковы, то без влияния на результаты рас-

чета можно совместить плоскости изгибающих моментов для всех осей сечения и построить суммарную эпюру Мизг, располагая ее в плоскости чертежа. Так как суммарный момент в разных сечениях может иметь разные направления, то

155

даже при отсутствии распределенных нагрузок эпюраМизг может быть криво-

линейной. Далее строят эпюру Мкр.

а) а)

б)

б)

в)

гв)

д)

г)

е)

д)

ж)

)

з)

ж

Рисунок 8.10 Вал, работающий на совместное действие изгиба и кручения

По построенным эпюрам находят опасные сечения, сочетающие относи-

тельный экстремум Мизг и Мкр. Для оценки прочности необходимо найти опас-

ные точки в опасном сечении. Очевидно, опасными могут быть точки А В(ри-

сунок 8. 11). Применяя векторное изображение изгибающих моментов My и Mx,

найдем вектор результирующего момента. Положение силовой линии опреде-

ляется перпендикуляром к указанному направлению вектораMR. Опасными яв-

ляются точки пересечения контура сечения вала с силовой линией, в которых

156

одновременно и нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения от кручения имеют наибольшие значения:

(8.20)

Рисунок 8.11Определение положения опасных точек при совместном действии изгиба и кручения

(8.21)

С учетом положения силовой линии на рисунке8.11 построена эпюра нормальных и касательных напряжений.

8.3.2Анализ напряженного состояния при совместном действии изгиба и кручения

Выделим в окрестности опасной точкиA бесконечно малый элемент ку-

бической формы (рисунок 8.12). По четырем граням выделенного элемента действуют касательные напряжения, а к двум из этих четырех граней приложе-

ны еще и нормальные напряжения (рисунок 8.12). Остальные две грани свобод-

ны от напряжений.

157

Рисунок 8.12 - Анализ напряженного состояния при вовместном действии изги-

ба и кручения

Таким образом, при изгибе с кручением элемент в опасной точке нахо-

дится в плоском напряженном состоянии. Аналогичные напряжения на гранях элемента мы имели при изучении главных напряжений в изгибаемом брусе. По-

этому главные напряжения определяются по тем же формулам:

(8.22)

Для проверки прочности элемента, выделенного в окрестности опасной точки, необходимо выбрать соответствующий критерий прочности. Например,

по критерию наибольших касательных напряжений:

(8.23)

Учитывая, что для вала круглого и кольцевого сечения Wp=2Woc:

(8.24)

По IV теории прочности:

(8.25)

.

или

(8.26)

158

Формулы (8.24) и (8.26) по своей структуре совпадают. Поэтому проверка прочности круглого вала на совместное действиеизгиба и кручения может быть записана в виде:

(8.27)

где приведенные моменты Мпр, эквивалентные действию трех моментов,

равны

(8.28)

По условию прочности можно выполнить проектировочный расчет или подбор сечения, учитывая, что Wос= πd3/32=0,1d3

(8.29)

8.3.3 Расчет на жесткость при совместном действии

изгиба и кручения

При совместном действии изгиба и кручения для достаточно длинных конструкций необходимо производить проверку жесткости. По условию жест-

кости максимальный относительный угол закручивания не должен превышать допустимого, т.е.

(8.30)

Поскольку для сплошных круглых сечений Ip=0,1d4, то

(8.31)

159

Заметим, что все приведенные формулы применимы и для расчета валов кольцевого сечения.

Изгиб с кручением бруса прямоугольного поперечного сечения рассмотрим в следующем разделе на примере общего случая сложного сопротивления.

9 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определения де-

формаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона со-

хранения энергии.

При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенци-

альной энергии действующего на стержень груза полностью переходит в -по тенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем на-

гружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dF, то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится и ее потенциальная энергия уменьшится, а по-

тенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится. Это яв-

ление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке. При этом мы пренебрегаем магнитными, электриче-

скими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические де-

формации тела лишь в очень слабой мере.

Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы,

произведенной силами, действующими на конструкцию. Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации черезU, а уменьшение по-

тенциальной энергии внешних нагрузок UF. Тогда согласно закона сохранения энергии:

160

UF=U.

Заменяя в этой формуле величиныUF и U численно равными им значе-

ниями работ AF и А, получаем иную формулировку этого закона:

AF+A=0.

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так зазывае-

мым «началом» возможных перемещений в применении к упругим системам.

Последнее равенство выражает, что при перемещениях без нарушения равнове-

сия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю.

Таким образом, потенциальная энергия деформацииU численно равна работе внешних сил AF, проделанной ими на этом перемещении:

U=AF.

9.1 Потенциальная энергия деформации

При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что дефор-

мации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, про-

порциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растутпостепенно

вместе с ними.

Известно, что при статическом растяжении или сжатии стержня силами F

величина работы AF, а следовательно, и величина энергии U равняется:

Так же как и при кручении, может быть вычислена потенциальная энер-

гия при чистом изгибе:

161

При поперечном изгибе элементарная работа от действия изгибающего момента (как и в случае чистого изгиба) равна:

Вся потенциальная энергия изгиба с учетом поперечной силы получится суммированием по длине балки

где k коэффициент, зависящий от формы сечения(для прямоугольного сечения k=1,2; для круглого сечения k=32/27; для прокатных профилей k=А/Ас,

где Ас – площадь стенки).

Знак предела интегрирования показывает, что интегрирование должно охватить весь стержень; в тех случаях, когда мы имеем несколько участков, то интеграл приходится разбивать на сумму интегралов.

В общем случае действия сил на брус в сечениях возникает шесть внут-

ренних силовых факторов. Учитывая, что работа каждого из этих усилий на пе-

ремещениях, вызванными остальными усилиями, равна нулю, получаем на ос-

новании принципа независимости действия сил следующую формулу для по-

тенциальной энергии деформации

Из полученных выражений следует, что потенциальная энергия деформа-

ции равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее на-

правлению того сечения, где эта сила приложена. Условимся называть терми-

162

ном «обобщенная сила» всякую нагрузку, вызывающую соответствующее на-

грузке перемещение, т. е. и сосредоточенную силу, и пару сил, и т.п.; переме-

щение же, соответствующее этой силе, будем называть «обобщенной координа-

той». Таким образом, потенциальная энергия деформации численно равна по-

ловине произведения обобщенной силы на соответствующую ей координату.

U = Fd

2

где F—обобщенная сила, δ— обобщенная координата.

9.2 Теорема Кастилиано

Рассмотрим упругую систему, нагруженную произвольной нагрузкой F и

некоторой обобщенной силой P (рисунок 9.1). Вычислим потенциальную энер-

гию, накопленную при деформации системы, приняв следующий порядок на-

UFF – энергия, накопленная в результате деформирования системы только силами Р, численно равная работе сил Р на вызванных ими перемещениях.

FF

FP

,

163

Рисунок 9.1 – Перемещения вызванные силой F и обобщенной силой Р

Второе слагаемое не содержит множитель ½, так как на перемещении FP сила

Перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной производной от потенциальной энергии деформа-

ции по этой силе (теорема Кастиллиано).

Для плоской стержневой системы, исходя из общей формулы, потенци-

альная энергия деформации определяется:

Пример

Определим прогиб свободного конца В балки, защемленной другим кон-

цом в точке А (рисунок 9.2). Балка нагружена сосредоточенной силой, прило-

женной в точке В. В данном случае возможно непосредственное применение теоремы Кастиллиано, так как отыскивается прогиб сечения, где приложена со-

средоточенная сила F

164

Рисунок 9.3 -Перемещения, вызванные системой сил

Полная работа внешних сил составится из трех частей: работы силы F1 на

Таким образом, накопленная в стержне при действии обеих сил энергия

будет равна:

Это количество энергии деформации зависит лишь от конечных значений сил и прогибов и не зависит от порядка нагружения.

Если к балке, загруженной силой F2, приложить затем силу F1 то, повто-

рив цепь вычислений, получим:

т. е. работа силы F1 (или первой группы сил) на перемещениях, вызванных си-

лой F2 (второй группой сил), равна работе силы F2 на перемещениях, вызван-

ных силой F1.

Это и есть теорема о взаимности работ. Ее можно сформулировать и ина-

че: работа первой силы (F1) при действии второй (F2) равна работе второй

силы при действии первой (теорема Бетти).

166

Выразим работу А12 через изгибающие моменты, продольные и попереч-

ные силы, возникающие в первом и втором состояниях.

А12=А-А11-А22,

где А – полная работа, совершаемая силами F1 и F2 на перемещениях, вызван-

ных этими же силами.

Каждое подынтегральное выражение в правой части равенства(9.9) мож-

но рассматривать как произведение внутреннего силового фактора, возникаю-

щего в сечении от сил первого состояния, на деформацию элемента dz, вызван-

ную силами второго состояния.

Применим теорему о взаимности работ к частному случаю, когда в обоих состояниях системы приложено по одной единичной силе(рисунок 9.4). Для

двух состояний, когда F1=F2, из теоремы о взаимности работ имеем:

Рисунок 9.4 - К теореме о взаимности работ и перемещений

Полученное равенство носит название теоремы о взаимности перемеще-

ний (теоремы Максвелла): перемещение точки приложения первой силы по

ее направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно пере-

167

мещению точки приложения второй силы по ее направлению, вызванному

действием первой единичной силы.

Теоремы о взаимности работ и перемещений позволяют существенно уп-

рощать решение многих задач сопротивления материалов, а также производст-

во опытов по определению перемещений.

9.4 Определение перемещений с помощью интеграла Мора

Рассмотренная теорема Кастилиано позволяет определять перемещение

только точки приложения силы и только по направлению силы. Универсальным методом определения перемещений при упругих деформациях(линейных и уг-

ловых), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки,

является метод с использованием интеграла Мора. Чтобы определить линейное

и угловое перемещение в точке, где по условию задачи сила отсутствует, в этой точке следует приложить соответствующую фиктивную обобщенную силу. За-

тем, написав выражение для потенциальной энергии от системы сил, включая указанную фиктивную силу, следует взять производную от потенциальной энергии по фиктивной силе и в полученном выражении для перемещения -по ложить фиктивную нагрузку равной нулю. Этот интеграл может быть получен различными путями, и, в частности, исходя из условия равенства работы внеш-

них сил А и потенциальной энергии U, накопленной в деформированной балке.

Рассмотрим два состояния системы. В первом состоянии на нее действует

любое число каких угодно сил и моментов(рисунок 9.5,а). Во втором состоя-

168

Единичное состояние

Рисунок 9.5 - Грузовое и единичное состояние в методе Мора

Выразим А21 в случае плоской задачи, обозначив М0, Q0, N0 внутренние усилия, вызванные действием единичной силы (второе состояние системы):

Равенство (9.11) носит название формулы перемещений (интеграл Мора).

Таким образом, перемещение от любой нагрузки можно выразить через внутренние силы, возникающие в заданной системе от этой нагрузки и возни-

кающие в ней от единичной силы. Направление единичной силы совпадает с направлением определяемого перемещения. Если определяется линейное пере-

мещение, то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточен-

ную силу, приложенную в этой точке, если же определяется угол поворота по-

перечного сечения, в какой-либо точке стержня, то единичная сила представля-

ет собой сосредоточенный момент, приложенный в точке.

Состояние системы, вызванное действием единичной силы, называется единичным (или фиктивным); состояние, вызванное действием заданной на-

грузки, называется грузовым.

Определение перемещений с помощью формулы (9.11) производится в следующем порядке:

- находят выражение внутренних сил от заданной нагрузкиМ, Q, N как функцию координаты z произвольного сечения;

169

- по направлению искомого перемещения прикладывается соответствую-

щая единичная сила (при линейном перемещении – сосредоточенная сила, при угле поворота – сосредоточенный момент);

- определяют внутренние силы от единичнойМ0, Q0, N0 силы как функ-

цию координаты z произвольного сечения;

- найденные выражения внутренних сил от заданной нагрузки и от еди-

ничной силы подставляют в уравнение (9.11) и интегрированием по участкам в пределах всей системы определяют искомое перемещение . Если положи-

тельно, то перемещение совпадает с направлением единичной силы, а если от-

рицательно, то противоположно этому направлению.

В случае пространственной задачи формула перемещений (интеграл Мо-

ра) содержит не три члена, как в случае плоской задачи, а шесть – в соответст-

вии с числом внутренних силовых факторов, которые могут возникнуть в попе-

речных сечениях элементов системы. Эта формула имеет вид:

В дальнейшем при расчете балок и рам влиянием продольных и попереч-

ных сил на перемещения пренебрегают, за исключением особых случаев.

9.5Определение перемещений с помощью способа Верещагина

В1925 г. А.Н. Верещагин предложил простой графоаналитический прием вычисления интеграла Мора в случаях, когда одна из эпюр (M0 или M) ограни-

чена прямыми линиями. По существу это прием графоаналитического вычис-

ления определенного интеграла от произведения двух функцийf(z) и φ(z), из которых одна, например φ(z), линейная, т. е. имеет вид (рисунок 9.6)

j(z) = kz + b .

Рассмотрим участок балки, в пределах которого эпюра изгибающих мо-

ментов от единичной нагрузки ограничена одной прямой

170

M x (z) = kz + b , а изгибающий момент от заданной нагрузки изменяется по не-

которому произвольному закону Mx(z). Тогда в пределах этого участка

ò M x (z) × M x0 (z) = ò M x (z) × (kx + b)dz = k ò z × M x (z)dz + bò M x (z)dz .

l l l l

Второй интеграл представляет собой площадьω эпюры Mx на рассматри-

ваемом участке, а первый - статический момент этой площади относительно оси y и поэтому равен произведению площади ω на координату ее центра тяже-

сти zc. Таким образом,

ò M x (z) × M x0 (z)dz = w ×(kz + b) .

l

Здесь kzc+b - ордината yc эпюры Mz0 под центром тяжести площадиω.

Следовательно,

ò M x (z) × M x0 (z)dz = w × yc .

l

Произведение ωyc будет положительным, когда ω и yc расположены по одну сторону от оси эпюры, и отрицательным, если они находятся по разные стороны от этой оси.

Итак, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется пере-

множением площади ω одной эпюры на ординатуyc второй (обязательно ли-

нейной) эпюры, взятой под центром тяжести площади ω.

Важно всегда помнить, что такое «перемножение» эпюр возможно лишь на участке, ограниченном одной прямой той эпюры, с которой берется ордина-

та yc. Поэтому при вычислении перемещений сечений балок способом Вереща-

гина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда

171

Рисунок 9.6 - Графоаналитического вычисления интеграла от произведения двух функций

Для успешного применения способа Верещагина необходимо иметь фор-

мулы, по которым могут быть вычислены площадиω и координаты zc их цен-

тров тяжести. Приведенные в таблице9.1 данные отвечают только наиболее простым случаям нагружения балки. Однако более сложные эпюры изгибаю-

щих моментов допустимо разбивать на простейшие фигуры, площади ωi, и ко-

ординаты yci которых известны, а затем находить произведениеωyc для такой сложной эпюры суммированием произведений площадейωi ее частей на соот-

ветствующие им координаты yci. Объясняется это тем, что разложение множи-

мой эпюры на части равносильно представлению функцииMx(z) в виде суммы интегралов. В некоторых случаях упрощает расчеты построение расслоенных эпюр, т. е. от каждой из внешних сил и пар в отдельности.

Если обе эпюры Mx и Mx0 линейные, конечный результат их перемноже-

ния не зависит от того, умножается ли площадь первой эпюры на ординату вто-

рой или, наоборот, площадь второй на ординату первой.

Для практического вычисления перемещений по способу Верещагина не-

обходимо:

172

1) построить эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки(основ-

ная эпюра); 2) снять с балки заданную нагрузку(но сохранить опоры) и приложить в

сечение, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу, когда ищется прогиб, или единичную пару, если искомым яв-

ляется угол поворота; 3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузи(еди-

ничная эпюра);

4) разбить эпюры от заданных нагрузок на отдельные площадиωi и вы-

числить ординаты yCi единичной эпюры под центрами тяжести этих площадей; 5) составить произведение ωiyCi и просуммировать их.

Для «быстрого» вычисления интеграла Мора в случае, когда одна из пе-

ремножаемых эпюр описывается квадратичной параболой, а другая – прямоли-

нейным законом используется следующий метод (рисунок 9.7).

Подставляя аналитические выражения для моментов под интеграл Мора,

получим

где знак плюс в формуле берется, если эпюра Mx(z) - выпуклая в сторону от оси эпюры и знак минус, если – вогнута (для эпюры, изображенной на рисунке 9.7

нужно ставить знак плюс). Если эпюра Mx(z) прямолинейна, то второе слагае-

мое в формуле (9.13) равно нулю

173

Рисунок 9.7 Вычисление интеграла Мора в случае, когда одна из перемножаемых эпюр описывается квадратичной параболой,

а другая – прямолинейным законом

Площади и координаты центров тяжести наиболее часто встречающихся эпюр приведены в таблице 9.1

Таблица 9.1 – Площади и координаты центров тяжести эпюр наиболее часто встречающихся эпюр

174

10 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

10.1 Стержневые системы.

Степень статической неопределимости

Под стержневой системой понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. Если элементы конструкции работают толь-

ко на растяжение или сжатие система называется фермой(рисунок 10.1.,а).

Ферма состоит из шарнирно опертых между собой прямых стержней, образую-

щих треугольники и для нее характерно приложение внешних сил в узлахза данной системы. Если элементы стержней системы работают в основном на из-

гиб или кручение, то такая система называется рамой (рисунок 10.1,б).

Рисунок 10.1 Стержневые системы

Если все элементы стержневой системы расположены в одной плоскости,

в которой также действуют все внешние силы, включая реакции опор, то сис-

тема называется плоской.

Все стержневые системы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Стержневые системы, для которых опорные реак-

ции и внутренние силовые факторы не могут быть найдены из одних лиш уравнений равновесия, называются статически неопределимыми. Разность между числом искомых неизвестных усилий и независимых уравнений равно-

весия определяет степень статической неопределимости системы. Степень статической неопределимости всегда равна числу избыточных (лишних) связей,

удаление которых превращает статически неопределимую систему в статически определимую геометрически неизменяемую систему. Избыточными могут быть

176

как внешние (опорные) связи, так и внутренние, накладывающие определенные ограничения на перемещение сечений системы друг относительно друга.

Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов. Геомет-

рически изменяемой называется такая система, элементы которой могут пере-

мещаться под действием внешних сил без деформации (механизм).

Изображенная на рисунке10.1,б рама имеет шесть внешних(опорных)

связей. Для определения усилий в этих связях(опорных реакций) можно соста-

вить всего лишь три независимых уравнения равновесия. Следовательно, дан-

ная система имеет три избыточных связи, а это означает, что она трижды стати-

чески неопределима. Таким образом, степень статической неопределимости для плоских рам равна:

S=R-3, (10.1)

где R - число опорных реакций.

а) б) в) г)

Рисунок 10.2 - Прямоугольная рама (замкнутый контур)

Контур, состоящий из ряда элементов (прямых или криволинейных), же-

стко (без шарниров) связанных между собой и образующих замкнутую цепь,

называется замкнутым. Прямоугольная рама, изображенная на рисунке10.2,

представляет собой замкнутый контур. Она трижды статически неопределима,

так как для превращения ее в статически определимую необходимо перерезать один из ее элементов и устранить три лишние связи. Реакциями этих связей яв-

ляются: продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент, действую-

щие в месте разреза; их нельзя определить при помощи уравнений статики(ри-

сунок 10.2,б). В аналогичных условиях в смысле статической неопределимости

177

находится любой замкнутый контур, который всегда трижды статически не-

определим.

Включение шарнира в узел рамы, в которой сходятся два стержня, или же постановка его в любое место на оси стержня снимает одну связь и снижает общую степень статической неопределимости на единицу(рисунок 10.2,в). Та-

кой шарнир называется одиночным или простым.

В общем случае каждый шарнир, включенный в узел, соединяющий c

стержней, снижает степень статической неопределимости наc-1, так как такой шарнир заменяет c-1 одиночных шарниров(рисунок 10.2,г)). Таким образом,

степень статической неопределимости системы при наличии замкнутых конту-

ров определяется по формуле:

где k - число замкнутых контуров в конструкции в предположении отсутствия шарнирных соединений; m - число одиночных шарниров; шарнир, соединяю-

щий два стержня, считается за один, соединяющий три стержня – за два оди-

ночных шарнира (двойной шарнир) и т.д.

Суммарная степень статической неопределимости системы равна:

10.2Раскрытие статической неопределимости.

Канонические уравнения метода сил

Наиболее распространенным методом раскрытия статической неопреде-

лимости является метод сил. Последовательность составления уравнений со-

вместности перемещений методом сил удобно проследить на примере какой-

либо плоской системы, например рамы (рисунок 10.3).

Удалим избыточные опорные связи, например, одну в катке; и три в пра-

вой заделке и разрежем замкнутый контур, в котором возникает три реакции

178

связи. Заменим действие этих связей силами и моментами X1, X2, X3 X4 X5 X6, X7

(рисунок 10.3,б). Полученную таким способом статически определимую систе-

му называют эквивалентной, поскольку напряжения и перемещения сечений в этой системе такие же, как и в заданной статически неопределимой. Система,

полученная из заданной путем удаления всех избыточных связей и внешней на-

грузки, называется основной системой.

а) б) в) Рисунок 10.3 - Выбор основной системы

Величины неизвестных силовых факторов X1, X2, X3, X4, X5 X6, X7 найдем

из условия равенства нулю перемещений освобожденных опорных сечений по направлению снятых связей. Эти перемещения вызываются в эквивалентной системе совместным действием заданной нагрузки и самих усилий X1, X2, X3, X4.

Для n раз статически неопределимой системы условие эквивалентности выгля-

дит следующим образом:

Индексы 1, 2, 3 и 4… n показывают, что рассматриваются перемещения опорных сечений соответственно по направлению X1, X2, X3, X4…Х n

Очевидно, что только при выполнении условий(10.4) напряжения и де-

формации в эквивалентной системе будут равны напряжениям и деформациям

179

в заданной статически неопределимой системе. Таким образом, в методе сил задача расчета статически неопределимой системы сводится к расчету статиче-

ски определимой эквивалентной системы, нагруженной заданной внешней на-

грузкой и неизвестными пока усилиями X1, X2, X3, X4. …Х n.

Согласно принципу независимости действия сил перемещение сечения от одновременного воздействия группы нагрузок равно сумме перемещений от каждой из нагрузок в отдельности. Поэтому любое из уравнений(10.4) можно представить в виде

опе-

ремещение δiXk от усилия Xk пропорционально величине этого усилия. Поэтому

δik1=δikXk,

где δik - перемещение от единичного усилия(1 Н, 1 Нм и т. д.), приложенного вместо Xk.

Итак, в развернутом виде уравнения совместности перемещений(10.5)

запишутся следующим образом:

180

При выводе уравнений (10.6) рассматривалась плоская рама, но с равным успехом такой системой могла быть пространственная рама, ферма или любая смешанная стержневая система с любой степенью статической неопределимо-

сти. Структура уравнений системы(10.6) от такой замены не изменится, но число их всегда будет равно степени статической неопределимости задачи. Ра-

венства (10.6) представляют собой систему линейных алгебраических уравне-

ний относительно искомых неизвестных усилий X1, X2, X3, X4…

Х n и называются каноническими уравнениями метода сил.

Коэффициенты канонических уравнений суть перемещения определен-

ных сечений эквивалентной системы в известных направлениях и от известной нагрузки. Так, δ1F есть перемещение точки приложения силыX1 в направлении этой силы от одной только внешней нагрузки, δ11 - перемещение той же точки и в том же направлении, но лишь от одной единичной силы, приложенной вместо

X1, а δ12 - перемещение от единичной силы, приложенной вместо X2 и т.д.

10.3 Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Коэффициенты канонических уравнений обычно вычисляются с помо-

щью интеграла Мора и, где это возможно, применяется правило Верещагина.

Вычисления начинаются с определения внутренних силовых факторов и- по строения эпюр этих факторов отдельно от заданной нагрузки и единичных уси-

лий, приложенных вместо искомых усилий X1, X2, X3...Xn. Силовым факторам и их эпюрам от единичного усилия приписывается номерi соответствующего усилия Xi, а у силовых факторов от заданной нагрузки проставляется индексF

или 0. Эпюры от заданных нагрузок называются основными, а от единичных усилий - единичными.

Согласно методу Мора далее надо снять с эквивалентной системы все внешние для нее нагрузки, включая усилия X1, X2, X3,….Xn, а затем в сечениях,

перемещение которых ищется, приложить единичные нагрузки (силы или пары)

и вычислить внутренние силовые факторы от каждой из этих нагрузок. Необхо-

181

димость в таких вычислениях отпадает, если единичные нагрузки совместить по направлению с искомыми усилиямиX1, X2, X3,….Xn, так как в этом случае внутренние силовые факторы от единичных нагрузок будут по величине и зна-

ку равны найденным ранее одноименным силовым факторам от единичных усилий, приложенных вместо Xi. Обычно так всегда и направляют единичные нагрузки. Но в таком случае для определения коэффициентов канонических уравнений надо вычислить интегралы Мора от произведения ранее найденных внутренних силовых факторов с номерами, соответствующими индексам у этих коэффициентов, или перемножить по правилу Верещагина эпюры этих факто-

ров с теми же номерами.

При определении коэффициентов δiF перемножаются внутренние силовые факторы (или их эпюры) от заданной нагрузки и от соответствующего единич-

ного усилия с индексом i. Для побочных коэффициентов δik и δki интегралы Мо-

ра отличаются только последовательностью сомножителей с индексамиi и k.

Но от перестановки сомножителей величины интегралов не изменяются, по-

этому всегда

Отметим, что главные коэффициенты δii всегда отличны от нуля и поло-

жительны, а побочные коэффициенты δik и свободные члены δiF могут быть по-

ложительными, отрицательными и равными нулю.

10.4 Алгоритм расчета статически неопределимых систем

Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в та-

кой последовательности.

1. Устанавливается степень статической неопределимости системы как разность между числом искомых неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия. При этом учитывается, что простой шарнир, соединяю-

щий два стержня системы, уменьшает степень статической неопределимости на единицу, так как снимает одну связь, препятствующую повороту одной части

182

системы относительно другой. Тем самым простой шарнир позволяет добавить к уравнениям равновесия всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы.

2. Из заданной статически неопределимой системы выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.

В качестве лишних могут быть выбраны различные связи. Поэтому для одной и той же статически неопределимой системы можно получить сколько угодно основных систем. Но любая основная система должна быть обязательно геометрически неизменяемой и статически определимой.

Нельзя выбирать в качестве основной и мгновенно геометрически изме-

няемую систему, потому что в такой системе при любой сколь угодно малой нагрузке усилия получаются бесконечно большими или неопределенными.

3. Изображается соответствующая выбранной основной эквивалентная система, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении приложе-

ны силы Xi, если связи препятствовали линейному перемещению, и пары Xk, ес-

ли они исключали повороты сечений.

4.Составляются канонические уравнения метода сил.

5.Вычисляются коэффициенты канонических уравнений аналитически по формуле (8.43) или перемножением эпюр поспособу Верещагина. Для этого строятся в основной системе эпюры внутренних силовых факторов отдельно от

заданной нагрузки и всех единичных усилий, приложенных вместо X1, X2,

X3,.Xn. Индексы у коэффициента δik указывают на номера эпюр, которые надо перемножить при его вычислении, или номера внутренних силовых факторов,

которые надо подставить в интеграл Мора.

6.Решается система канонических уравнений и определяются величины искомых силовых факторов X1, X2, X3,.Xn.

7.Определяются окончательные значения внутренних силовых факторов

всечениях эквивалентной системы суммированием их значений от каждой из нагрузок в отдельности:

183