Федеральное агентство по образованию Кубанский государственный технологический университет

Кафедра динамики и прочности машин

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Методическое пособие по изучению дисциплины «Сопротивление материалов» для студентов всех форм обучения специальностей высшего профессионального образования:

130602 (170200) - Машины и оборудование нефтяных и газовых промыслов 151001 (120100) - Технология машиностроения 151002 (120200) - Металлорежущие станки и комплексы

260601 (170600) - Машины и аппараты пищевых производств

190601 (150200) - Автомобили и автомобильное хозяйство 190603 (230100.00) - Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (в пищевой и перерабатывающей промышленности)

190603А (230100.02) -Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (автомобильный транспорт)

Краснодар, 2007

Составитель: доктор технических наук, профессор Ж.М. Бледнова

УДК 539.3.8.

Конспект лекций по дисциплине «Сопротивление материалов» для специальностей:

130602 (170200) - Машины и оборудование нефтяных и газовых промыслов; 151001 (120100) - Технология машиностроения; 151002 (120200) - Металлорежущие станки и комплексы;

260601 (170600) - Машины и аппараты пищевых производств;

190601 (150200) - Автомобили и автомобильное хозяйство; 190603 (230100.00) - Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (в пищевой и перерабатывающей промышленности);

190603А (230100.02) -Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (автомобильный транспорт)/ Сост.Ж.М. Бледнова, Кубан. гос. технол. Ун-т. Каф. Динамики и прочности машин. – Краснодар, КубГТУ, 2007 257 с.

Изложено содержание дисциплины «Сопротивление материалов», в объеме, предусмотренным Государственным стандартом ВПО.

Ил. Библиогр: 8 назв.

2

СОДЕРЖАНИЕ

1.3.4.Моделирование разрушения…………………………………16

2.4Коэффициент запаса прочности. Выбор допускаемых напряжений . 47

3.2Линейное напряженное состояние. Напряжения в наклонных

3.3Плоское напряженное состояние. Определение напряжений в

3

3.5Деформации при объемном напряженном состоянии. Обобщенный

5.1Статические моменты площади. центр тяжести площадифигуры.. 88

4

7.3Распространение выводов чистого изгиба на поперечный изгиб... 120

7.6Анализ напряженного состояния при изгибе. Полная проверка

7.7Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой

8.2Внецентренное растяжение(сжатие)………………………….......... 148 8.2.1 Определение нормальных напряжения при

8.2.2Определение положения нейтральной линии при

9.4Определение перемещений с помощью интеграла Мора……. …. 168

10.Расчет статически неопределимых стержневыхсистем методом сил………………………………………………………………………… 176

10.1Стержневые системы. Степень статической неопределимостию 176

10.2Раскрытие статической неопределимости. Канонические

уравнения метода сил………………………………………………178

10.3Вычисление коэффициентов канонических уравнений……… ….181

10.4Алгоритм расчета статически неопределимых систем……. ……..182

10.5Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости. 184

10.6Общий порядок расчета статически неопределимых систем…….188

10.7Пример расчета статически неопределимой системы…………… 189 11 Устойчивость прямых стержней…………………………………………194

5

11.1Понятие об устойчивости………………………………………… ..194

11.2Определение критической силы. Задача Эйлера…………………. 196

11.3Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы………………………………………………….. ..198

11.4Границы применимости формулы Эйлера. Построение графика

12.5Влияние коэффициента асимметрии цикла наопротивление

14.2.1Сферический сосуд под действием равномерного..................

6

14.3.1Пример расчета тонкостенного резервуара сложной

7

Введение

Учебное пособие предназначено для студентов Кубанского государствен-

ного технологического университета (КубГТУ) дистанционного образования и заочной формы обучения инженерных специальностей, изучающих курс «Со-

противление материалов». Содержание учебного пособия соответствует Госу-

дарственному образовательному стандарту высшего профессионального обра-

зования РФ по инженерным специальностям и рабочей программе этой учебной дисциплины. Учебное пособие составлено автором на основе многолетнего опыта чтения курса «Сопротивление материалов»

Учебное пособие является первой частью общего курса"Сопротивление материалов" и содержит необходимый теоретический материал; некоторые раз-

делы пособия сопровождаются решением практических примеров.

Материал учебного пособия может использоваться студентами для само-

стоятельной работы по изучению курса и решения практических задач, для вы-

полнения учебных заданий (контрольных и расчетно-графических), при подго-

товке к экзаменам и зачетам.

8

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1 Цели и задачи сопротивления материалов

Сопротивление материалов имеет целью создать простые, практически приемлемые методы расчета на механическую надежность типичных, наиболее часто встречающихся деталей машин и элементов конструкций, используя при этом различные приближенные методы.

Под надежностью понимается свойство изделия выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в определенных преде-

лах, в течение определенного промежутка времени или наработки.

Основные положения сопротивления материалов базируются на законах и теоремах общей механики, и в первую очередь статики. Сопротивление мате-

риалов тесным образом связано с высшей математикой, физикой твердого тела и широко использует данные экспериментов.

Для обеспечения надежной работы конструкция должна удовлетворять требованиям прочности, жесткости и устойчивости.

Прочность - способность конструкции, ее частей и деталей выдержать заданную нагрузку, не разрушаясь.

Жесткость - способность конструкции сопротивляться деформации

(изменению формы и размеров).

Устойчивость - способность конструкции или ее элементов сохранять определенную начальную форму упругого равновесия.

На первый взгляд может показаться, что для обеспечения прочности дос-

таточно увеличить размеры конструкции. Однако увеличение размеров движу-

щихся деталей машин приводит к возрастанию сил инерции, повышает нагруз-

ку, что может привести к разрушению. Минимизация веса конструкции осо-

бенно актуальна для ряда областей техники(авиация, транспортное машино-

строение), но снижение материалоемкости конструкции может быть достигнуто снижением запаса прочности. Таким образом, сопротивление материалов –

9

наука о прочности, жесткости и устойчивости деталей машин и элементов кон-

струкций при экономичном использовании материала.

1.2 Краткий исторический очерк науки о сопротивлении материалов

Возникновение науки о сопротивлении материалов связывают с именем знаменитого итальянского ученого Галилео Галилея (1564-1642), проводившего опыты по изучению прочности, хотя истоки этой науки видны уже в творениях великого Леонардо да Винчи. В 1678 г. английский ученый Роберт Гук(16351703 г.) установил закон деформирования упругих тел, согласно которому де-

формация упругого тела пропорциональна действующему на него усилию. Этот закон является основным в теории сопротивления материалов.

Быстрое развитие науки о сопротивлении материалов началось в конце ХУШ века в связи с бурным прогрессом промышленности и транспорта. Про-

блемами прочности занимались: академик Петербургской академии наук Лео-

нард Эйлер, выдающиеся русские ученые И.Г. Бубнов, А.В. Воропаев, А.В. Га-

долин, Х.С. Головин, Д.И. Журавский, С.П. Тимошенко, Ф.С. Ясинский. Боль-

шой вклад в развитие сопротивления материалов внесли советские ученые:

Н.Н. Афанасьев, Н.М. Беляев, В.В. Болотин, В.З. Власов, Ю.Н. Работнов, С.В.

Серенсен, Г.С. Писаренко, В.И. Феодосьев и другие ученые. Развитию сопро-

тивления содействовали работы иностранных ученых: Д.Бернулли, Т. Кармана,

А. Кастилиано Г. Ляме, К. Мора, Л. Навье, Л. Прандтля, С. Пуассона и других.

1.3 Реальный объект и расчетная схема

Приступая к расчету любой конструкции, необходимо, прежде всего, уста-

новить, что является в данном случае существенным и что несущественным,

необходимо произвести ее схематизацию и отбросить все те факторы, которые не могут заметным образом повлиять на сущность рассматриваемого явления.

Такого рода упрощения совершенно необходимы, так как анализ с учетом всех факторов, влияющих на работоспособность конструкции, является принципи-

ально невозможным вследствие их очевидной неисчерпаемости. Упрощения

10

касаются свойств материала, геометрической формы объекта, условий закреп-

ления, нагружения и эксплуатации, а также условий разрушения.

Реальная конструкция, освобожденная от несущественных особенно-

стей, носит название расчетной схемы.

Расчетная схема представляет собой некоторую идеализированную - мо дель, которая должна быть составлена таким образом, чтобы обеспечить проч-

ностную надежность конструкции. Конечной целью расчета является определе-

ние коэффициента запаса прочности или вероятности разрушения.

При составлении модели приходится идти на компромисс между доста-

точно полным и адекватным описанием материала, формы, условий работы и нагружения элемента и сложностью модели. Модель прочностной надежности любого элемента состоит из совокупности следующих моделей:

модель прочностной надежности

1.3.1 Моделирование свойств материала

Первым этапом составления расчетной схемы является идеализаци свойств материала. Все тела, рассматриваемые в сопротивлении материалов,

считаются идеально сплошными и однородными. Гипотеза о сплошности по-

зволяет рассматривать тело как непрерывную среду и применять при этом ме-

тоды математического анализа. Естественно, она противоречит молекулярному строению вещества и применима лишь до тех пор, пока рассматриваемые объ-

екты имеют размеры, существенно превышающие межатомные расстояния.

Под однородностью понимается неизменность свойств среды в пределах рассматриваемой области. В действительности материал уже в силу молеку-

лярного строения не может быть однородным. Однако эти особенности не яв-

11

ляются существенными, т.к. исследуются конструкции, размеры которых не-

измеримо превышают межатомные расстояния и размеры зерен.

Сплошная среда наделяется свойствами реального материала. Под дейст-

вием внешних сил реальное тело деформируется, т.е. изменяет свои разме-

ры и форму. После снятия внешних сил размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тел восстанавливать свои размеры и форму после снятия нагрузки называетсяупругостью. При решении задач сопротивления материалов среда считается совершенно упругой. В отличие от упругости, пла-

стичностью называется свойства тела сохранять полностью или частично по-

лученную при нагружении деформацию после прекращения действия нагрузки.

Сплошная среда, как правило, принимается изотропной, т.е. предполага-

ется, что свойства любого тела, выделенного из сплошной среды, не зависит от его угловой ориентации. Отдельно взятый кристалл анизотропен. Но, если в выделенном объеме содержится большое количество произвольно ориентиро-

ванных кристаллов, то материал можно в целом рассматривать как изотропный.

Таким образом, в сопротивлении материалов рассматриваютсятела сплош-

ные, однородные, изотропные, упругие и деформируемые.

1.3.2 Моделирование геометрических форм

Геометрическая форма элементов конструкций часто бывает весьм сложной. Учет всех особенностей геометрической формы часто невозможен.

По геометрическим признакам элементов конструкций различают: три основ-

ных класса: брусья, пластинки и оболочки. Эту классификацию можно допол-

нить еще одной – массивное тело.

Стержень или брус – тело, длина которого значительно превышает раз-

меры поперечного сечения. Геометрическое место точек, являющихся центрами тяжести поперечных сечений, называется осью бруса. В зависимости от формы оси брусья различают прямолинейные, криволинейные и ломаные (рис.1.1).

12

Рисунок 1.1- Геометрическая форма стержней

Пластина - это элемент конструкции, у которого толщина значительно меньше размеров в плане а, в, (рисунок 1.2). Обширный класс конструктивных элементов представляют тонкостенныеоболочки. Толщина стенок оболочки мала по сравнению с другими ее размерами. Чаще всего оболочки бывают ци-

линдрическая, коническая или сферическая поверхность.

Рисунок 1.2 - Оболочка Рисунок 1.3 - Массивное тело

Массивное тело или массив характерно тем, что все его размеры имеют один порядок (рисунок 1.3).

1.3.3 Моделирование нагружения

Внешние силовые воздействия классифицируют в зависимости от их по-

ведения во времени, а также по степени локализации:

Внешние силы, действующие на элемент конструкции, по степени лока-

лизации делятся на две группы: сосредоточенные и распределенные; распре-

деленные, в свою очередь, подразделяются на распределенные по объему и по-

верхности.

13

Сосредоточенные силы - силы, действующие на небольших участках по-

верхности детали (например, давление шарика шарикоподшипника на вал, дав-

ление колеса самолета на взлетную полосу). Сосредоточенные силы и моменты считают условно приложенными к точке. Реально через точку, т.е. объект, не имеющий размеров, невозможно передать воздействия конечного значения.

Поэтому сосредоточенная сила или момент - это типичная схематизация реаль-

ности.

Распределенные силы приложены к значительным участкам поверхности

(например: давление воздуха на крыло самолета, давление жидкости или газа на стенки сосуда).

Объемные или массовые силы приложены к каждой частице тела. К объ-

емным нагрузкам относятся собственный вес тела (воздействие гравитационно-

го поля), силы инерции, возникающие при ускоренном движении.

В сопротивлении материалов изучают действие только уравновешенных систем внешних и внутренних сил. Поэтому при рассмотрении вопросов равно-

весия деформируемого тела применимы все законы статики и динамики твер-

дого тела. Можно перемещать силы вдоль линии их действия, заменять систе-

мы сил статически эквивалентными системами и т.д. При определении дефор-

маций, энергий деформаций и других величин, связанных с перемещениями,

указанные действия производить нельзя.

Рассмотрим методику схематизации системы внешних сил, действующих на тело на примере бруса с прямолинейной осью(рисунок 1.4). Вместо бруса изображается его ось и все действующие на брус нагрузки приводятся к оси.

При этом нагрузки, приложенные к участкам небольших размеров по сравне-

нию с размерами бруса, заменяются сосредоточенными силами. В противном случае нагрузка остается распределенной по линии. При переносе сил в на-

правлении перпендикулярном их линиям действия возникаютсосредоточен-

ные моменты. Сосредоточенные силы F измеряются в ньютонах [Н], сосредо-

точенные моменты M имеют размерность [Нм], интенсивность распределенной по линии нагрузки q измеряется в [Н/м].

14

Рисунок 1.4 - Схематизация внешних сил

В зависимости от поведения во времени нагрузки разделяют настацио-

нарные (постоянные, статические) и нестационарные (переменные).

Статические нагрузки возрастают от нуля до своей номинальной вели-

чины и остаются постоянными во всем процессе нагружения. Примеры стати-

ческого нагружения - нагружение каркаса жилого дома весом здания, нагруже-

ние корпуса ракеты одноразового действия внутренним давлением. Модель статического нагружения приводит к простым методам анализа, широко ис-

пользуемым в моделях прочностной надежности.

Переменное нагружение - нагружение, изменяющееся во времени. Наи-

более важный класс нестационарных нагружений-циклическое нагружение. Ес-

ли циклы образуются за счет запуска и остановки машины, то нагружение обычно не превышает10 4 -10 5 циклов и такое нагружение называется мало-

цикловым. При нагружении, связанном с упругими колебаниями элементов конструкций, число циклов нагружений превышает10 5 -10 6 циклов (много-

цикловое нагружение).

Ударное нагружение характеризуется очень высокой скоростью возрас-

тания нагрузки, что влияет на характеристики деформирования металла.

Итак, модели нагружения содержат схематизацию внешних нагрузок по величине, по распределению, по времени, а также по воздействию внешних по-

лей и сред.

1.3.4 Моделирование разрушения

15

Виды разрушения разделяют:

статические

малоцикловые

модели

разрушения

усталостные

длительной прочности

Конечной целью инженерного расчета является создание работоспособ-

ной и надежной конструкции. Для оценки надежности конструкции разрабаты-

ваются модели прочностной надежности, которые завершаются определением запасов прочности или вероятности разрушения. Применение моделей прочно-

стной надежности позволяет перейти от реального объекта к расчетной схеме.

Анализом расчетных схем занимается сопротивление материалов, их по-

строением – специальные дисциплины.

1.4 Внутренние силы. Метод сечений

Между частицами тела (кристаллами, молекулами, атомами) всегда име-

ются силы взаимодействия, т.е. внутренние силы. Эти силы стремятся сохра-

нить тело как единое целое, противодействуя всякой попытке изменить взаим-

ное расположение частиц, т.е. деформировать тело. Внешние силы, наоборот,

всегда стремятся вызвать деформацию тела, изменить взаимное расположение частиц.

Для выявления, а затем и вычисления внутренних сил в сопротивлении материалов применяют метод сечений. Рассмотрим произвольное тело, нагру-

женное уравновешенной системой сил. Мысленно рассечем его некоторой плоскостью на две части - А и В (рисунок 1.5,а). В каждой точке с обеих сторон будут действовать силы взаимодействия (рисунок 1.5,б) произвольно распреде-

ленные по сечению. На основании третьего закона Ньютона на рассеченные части будут действовать равные по величине и противоположные по направле-

нию силы. Как всякую систему сил, действующие в сечении внутренние силы

16

можно привести к равнодействующей и моменту, в результате чего на каждой стороне сечения получим главный векторR и главный моментM внутренних сил в сечении.

а) б)

в)

Рисунок 1.5 - Метод сечений

Если главный вектор и главный момент спроектировать на ось стержняx и

главные центральные оси y z то на каждой стороне сечения получим6 внут-

ренних силовых факторов: три силы (N, Qx , Qy) и три момента (Mx, My, Mz)

это и есть внутренние силовые факторы в сечении (рисунок 1.5,в). Для усилий и моментов приняты следующие названия: N - продольная сила; Qy и Qx - попе-

речные силы; Mz =Мкр=Т- крутящий момент; и - My и Mx - моменты изги-

бающие.

Для практического вычисления усилий и моментов в сечении следует иметь в виду следующее:

N - численно равна алгебраической сумме проекций на ось стержня(на нор-

маль к сечению) всех внешних сил, действующих на одну из частей рассечен-

ного стержня;

Qy - то же на ось y; Qx - то же на ось x;

17

Mz =Мкр=Т - численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на одну из частей рассеченного стержня, относительно оси стержня;

My - то же относительно оси y; Mx - то же относительно оси x;

Усилия и моменты в разных сечениях одного и того же стержня различ-

ны. В расчетах на прочность всегда необходимо знать сечение, где возникают максимальные внутренние силовые факторы (опасное сечение).

Каждой компоненте внутренних сил соответствует свой вид деформации:

N соответствует растяжение или сжатие, Qy и Qx - сдвиг в направлении осей y и x, Mz - кручение, My и Mx - изгиб относительно осей y и x. Каждая компонента характеризует сопротивление тела какому-нибудь одному виду деформации.

При наличии только одной какой-нибудь компоненты внутренних сил будет иметь место простое сопротивление тела. При наличии двух и более компонен-

тов будет сложное сопротивление тела.

Растяжение-сжатие – вид нагружения, при котором в поперечных се-

чениях элемента конструкции действует только продольная сила N, а остальные пять внутренних силовых факторов равны нулю.

Изгиб (чистый изгиб) – вид нагружения, при котором в поперечных се-

чениях элемента конструкции действует только изгибающий момент. Если,

кроме изгибающего момента, возникает поперечная сила, изгиб называется по-

перечным (рисунок 1.6);

18

Рис. 1.6. - Поперечный изгиб

Сдвиг (срез) – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях эле-

мента конструкции действует только поперечная сила;

Кручение – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях элемен-

та конструкции действует только крутящий момент Mz.

1.4.1 Построение графиков функций внутренних сил при изгибе

Для выявления опасного сечения строят графики изменения внутреннего силового фактора (ВСФ) по длине стержня, которые называются эпюрами. При построении эпюр внутренних силовых факторов следует иметь в виду следую-

щее:

-ось, на которой строится эпюра, всегда выбирают так, чтобы она была параллельна или совпадала с осью стержня;

-ордината эпюры откладывается на оси эпюры по перпендикуляру;

-штрихуют эпюру линиями, перпендикулярными оси.

-ординаты эпюры откладывают в масштабе; на эпюрах проставляют ве-

личины ординат, а в поле эпюры в кружочке ставят знак.

Для построения эпюр необходимо выполнить следующие действия:

-определить опорные реакции;

-разбить балку на участки; границами участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начало и конец распределенной нагрузки;

19

- найти аналитические выражения Q и M на каждом участке балки и оп-

ределить их величины в наиболее характерных точках(начало и конец участка,

экстремальные точки); - параллельно оси балки провести оси отсчетов и в соответствующих мес-

тах восстановить к ним перпендикуляры, численно равные найденным харак-

терным значениям Q и M; построить эпюры Q и M, соединяя концы этих пер-

пендикуляров в соответствии с законом изменения Q и M на данном участке.

Правила знаков для Q и M в поперечных сечениях балки определяются рисунок 1.7. При этом положительные значения изгибающих моментов оказы-

ваются с той стороны отоси отсчетов, в которую обращается вогнутая сторона балки (то есть эпюра изгибающих моментов строится на сжатых волокнах).

Рисунок 1.7. Знаки поперечных сил и изгибающих моментов

1.4.2 Дифференциальные зависимости между поперечной силой,

изгибающим моментом и интенсивностью распределенной нагрузки.

Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой(рисунок

1.8,а).

Рисунок 1.8 - К выводу зависимости между Q, q и М

Двумя поперечными сечениями выделим элементарную часть балки, за-

менив действие отброшенных частей внутренними силами(рисунок 1.8, б).

20

Кроме этих внутренних сил на выделенный элемент действует часть распреде-

ленной нагрузки интенсивности q, которую можно принять постоянной на бес-

конечно малой длине dz. Составим условия равновесия элемента при q = const:

Запишем условия статического равновесия:

альными зависимостями Д.И. Журавского и используются для контроля пра-

вильности построения эпюр ВСФ. Зависимость 1.4 используется для анализа

квадратичная парабола, где C, D, B – постоянные интегрирования.

1.4.3 Основные закономерности при построении эпюр

1.От действия сосредоточенной силы на эпюре Qy – скачок на величину си-

лы в сторону знака ее воздействия; на эпюре Mx – перелом, острие которого на-

правлено в сторону противоположную действия силы.

2. От сосредоточенной пары сил на эпюре Mx – скачок на величину сосредо-

точенного момента, а на эпюре Qy момент сосредоточенный не отражается .

3. Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то, на эпюре Qy –

прямая, параллельная оси; на эпюре Mx – прямолинейная зависимость.

21

4. Если участок загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсив-

ностью q, то на эпюре Qy – наклонная прямая с угловым коэффициентом, рав-

ным q; на эпюре Mx – квадратичная парабола, выпуклость которой направлена в сторону, противоположную действия распределенной нагрузки.

5. Если на участке действия распределенной нагрузки на эпюреQy наклон-

ная прямая пересекает ось, то в точке пересечения эпюры Qy с осью на эпюре

Mx – экстремум.

На рисунке 1.9 показан пример построения эпюр поперечных сил и изги-

бающих моментов.

Рисунок 1.9 - Пример построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

1.5 Понятие о напряжении. Интегральные уравнения равновесия

Рассмотрим тело, нагруженное самоуравновешенной системой сил. Вы-

делим произвольное сечение данного тела. Выделим элементарную площадку dA с координатами x, y (рисунок 1.10). В связи с тем, что площадка dA беско-

нечно мала, примем закон изменения внутренних сил, действующих на ней,

равномерным, что позволяет заменить эти силы только главным вектором силы dR.

22

Рисунок 1.10 - Напряжения, действующие по граням элемента Пусть величина площади сечения равнаА. Введем следующие обозначе-

ния:

dN =s - нормальное напряжение; dA

dQy =t zy , dQx =t zx - касательные напряжения. dA dA

В обозначениях касательного напряжения первый индекс указывает ось,

перпендикулярную площадке, второй – ось, в направлении которой действует касательное напряжение. Размерность напряжений – Па [Н/м2]. У нормального напряжения ставится индекс, указывающий какой координатной оси парал-

лельно данное напряжение. Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, сжимающее – отрицательным.

Полный вектор напряжений P = s 2 +t zy2 +t zx2 .

Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рисунке1.11. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точ-

ку тела называется напряженным состоянием в данной точке.

23

Рисунок 1.11 - Напряженное состояние в точке

Вычислим сумму моментов всех элементарных сил, действующих на эле-

мент (рисунок 1.11), относительно координатных осей, так, например, для оси x

с учетом равновесия элемента, имеем:

Повторяя указанные действия для других осей, получим закон парности

который формулируется следующим образом: составляющие касательных

напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикуляр-

ные общему ребру, равны по величине и противоположны по знаку, то есть либо обе направлены к ребру либо обе направлены от ребра.

Суммируя элементарные силы, распределенные по сечению и их момен-

ты относительно координатных осей, получим

Выражения 1.8 и 1.9 называются интегральными уравнениями равновесия.

24