7.2 Выбор рациональной формы сечения при изгибе

Целесообразно использовать сечения с размерами, удовлетворяющими условиям smaxс = [s]с, smaxр = [s]р,

где smaxс и smaxр – напряжения в наиболее удаленных от нейтральной линии точках сечения соответственно для сжатой и растянутой его части.

Пластичный материал

Для пластичного материала [s]р=[s]с. В данном случае рационально ис-

пользовать симметричные профили (при этом smaxр = smaxс).

Mx < 0 Эп.σ σmax

+

_

σmin

Рисунок 7.4 - Профили с уменьшенной материалоемкостью Экономичными являются профили с уменьшенной металлоемкостью в

области нейтральной линии, такими как двутавр и швеллер, кольцевое и ко-

робчатое сечение (рис. 7.3, 7.4). Показателем экономичности является удель-

ный момент сопротивления

Сечение следует располагать таким образом, чтобы силовой фактор дей-

ствовал в плоскости максимальной жесткости (рисунок 7.5).

118

сечения не всегда эффективно. Так, если у круглого сечения вырезать сегменты высотой в пределах 0,11d, получится более экономичный профиль, чем сплош-

ной круг (рисунок 7.6).

Хрупкий материал

Для хрупкого материала [σ]с > [σ]р , поэтому в данном случае целесооб-

разно использовать несимметричные относительно нейтральной линии профи-

ли, например, тавровый (рис. 7.7):

Размеры поперечного сечения должны удовлетворять двум условиям:

119

ность следует вести по формуле (7.13).

7.3 Распространение выводов чистого изгиба на поперечный изгиб

При поперечном изгибе в поперечных сечениях бруса возникают не только изгибающие моменты М, но и поперечные силы Q, вызывающие каса-

тельные напряжения τ (рисунок 7.8,а). Возникновение касательных напряже-

ний сопровождается появлением угловых деформаций. Поэтому при попереч-

ном изгибе, в отличие от чистого, поперечные сечения не остаются плоскими, а

искривляются (депланируют) (рисунок 7.8,б).

а) б)

Рисунок 7.8 - Депланация сечений при поперечном изгибе

Формула нормальных напряжений, выведенная для случая чистого изги-

ба, дает совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба, т.к. при

Q-Const искривление всех сечений происходит одинаково. При поперечной си-

ле, изменяющейся вдоль оси балки, формулы, выведенные для случая чистого изгиба, дают для σ погрешность, зависящую от соотношения (h/l)2,, где l – дли-

на балки. Поскольку для балки l>>h, то и погрешность мала. Все это дает осно-

вание принять гипотезу плоских сечений и для случая поперечного изгиба.

Второй особенностью поперечного изгиба является наличие нормальных напряжений в продольных сечениях (напряжений надавливания между слоями).

120

Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силеQ и име-

ют весьма малую величину. Таким образом, в пределах указанных допущений формулы, выведенные для случая чистого изгиба, применимы и в случае попе-

речного изгиба.

7.4. Касательные напряжения при плоском изгибе

При определении касательных напряжений примем следующие гипотезы: - направление касательных напряжений τ совпадают с направлениевы-

зывающей их поперечной силой Q;

- касательные напряжения τ, действующие по площадкам, расположен-

ным на одном и том же расстоянии y от нейтральной оси, равны между собой.

Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные

напряжения, возникающие в продольных сечениях балки.

Рассмотрим балку длиной l (рисунок 7.9). Вырежем элементарный уча-

сток балки длиной dz. На торцевых площадках этого элемента действуют вы-

званные поперечными силами касательные напряжения(рисунок 7.9,б,в). Со-

гласно принятой гипотезе распределения касательных напряжений по ширине сечения считаем равномерным. Плоскостью, параллельной нейтральному слою и отстоящей от него на расстояние y, отсечем часть рассматриваемого элемента

с площадью торца A*. Рассмотрим элемент отсеченной части (рисунок 7.9,г).

где y1 – расстояние от нейтрального слоя до элементарной площадки dA*

отсеченной части.

S x* – статический момент отсеченной части.

121

г

Рисунок 7.9 - К выводу формулы касательных напряжений при поперечном изгибе

Составим условие равновесия выделенного элемента в виде суммы про-

екций всех сил на ось z, предполагая, что касательные напряжения τ по ширине сечения не меняются

122

где Sx* - статический момент части площади поперечного сечения, отсекаемый на том уровне относительно оси изгиба, где определяется величина τ;

J x - момент инерции всего сечения относительно оси изгиба;

b* - ширина поперечного сечения на том уровне относительно оси изгиба,

где определяется величина τ.

Формула Журавского справедлива для сечений с отношением высоты к

ширине h/b>2.

Определим закон изменения τ по высоте сечения для прямоугольного

профиля.

Рисунок 7.10 Распределение касательных напряжений при изгибе

Статический момент части сечения, отсекаемой на уровне y от нейтральной линии

Учитывая, что момент инерции для прямоугольника J x = bh3 , получим за-

12

Определим значения касательных напряжений в точках, наиболее удаленных от

нейтральной линии:

и в точках, лежащих на нейтральной линии:

123

τ( y = 0) = 3 Qy . 2 A

Таким образом, касательные напряжения меняются по высоте сечения по квадратичной зависимости, достигая максимума на нейтральной оси.

Рассмотрим двутавровое сечение.

Поскольку двутавровые сечения балок (рисунок 7.11) можно с известным приближением рассматривать как составленные из прямоугольников, то к ним можно применить изложенные выше подходы. Чтобы построить эпюру τ необ-

ходимо определить касательные напряжения в нескольких наиболее характер-

ных точках по высоте сечения.

Рисунок 7.11 - Распределение касательных и нормальных напряжений в балке двутаврового сечения при изгибе

Точка 1 (находится на наружной поверхности двутавра):

τ1=0, так как Sx*=0.

Точка 2 (находится в месте перехода стенки в полку и принадлежит полке двутавра):

Точка 2´, расположена несколько выше линии перехода стенки в полку и при-

надлежит стенке (рисунок 7.11,б):

124

Эпюра τ имеет вид, показанный на рисунке 7.11,а и изменяется по пара-

болическому закону, имеет скачок в месте перехода стенки в полку.

Полученные результаты позволяют сделать следующее заключение о распределении касательных напряжений в сечениях при поперечном изгибе:

-вид эпюры τ, в противоположность эпюры σ, зависит от формы сечения

балок;

-в крайних, наиболее удаленных от нейтральной оси точках, касательные напряжения τ всегда равны нолю;

-наибольшей величины касательные напряжения чаще всего достигают на нейтральной линии.

7.5 Потенциальная энергия деформации при изгибе

Потенциальная энергия деформации при поперечном изгибе определяется путем интегрирования общего уравнения для удельной потенциальной энергии:

I x = ò y2 dA , а во втором слагаемом деление на площадь A введено для удобства

A

записи расчетной формулы. Окончательно имеем:

125

где безразмерный коэффициент k

S 2 A

k = ò x dA , A I x2b2 ( y)

учитывает неравномерность распределенияτ по сечению. Этот коэффициент зависит только от формы сечения. Например, для прямоугольника

Расчеты показывают, что для обычных балок(l>>h) второе слагаемое уравнения (7.21) во много раз меньше первого. Поэтому энергией сдвига, как правило, пренебрегают и потенциальную энергию при изгибе балок вычисляют по формуле

где n - число участков балки.

7.6 Анализ напряженного состояния при изгибе

Полная проверка прочности

При поперечном изгибе наибольшие нормальные напряжения воз-

никают в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения, а на самой этой оси нормальные напряжения равны нулю, тогда как зона действия наи-

больших касательных напряжений расположена, наоборот, вблизи нейтральной оси. Кроме того, величина τmax мала по сравнению сσmax, если длина балки су-

щественно больше высоты сечения. Все это позволяет не принимать во внима-

ние касательные напряжения и проводить расчет на прочность только по нор-

мальным напряжениям (для тонкостенных балок это не всегда справедливо).

Условие прочности балки требует, чтобы максимальные нормальные напряжения не превышали допускаемых напряжений для материала балки:

126

где [σ]=σт/n или [σ]=σв/n.

Если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то опасной будет та точка сечения, где действует наибольшее по абсолютной величине на-

пряжение независимо от его знака. Для хрупких материалов, имеющих сущест-

венно различные пределы прочности при растяженииσвр и сжатии σвсж, требу-

ется проверка прочности по наибольшим растягивающим и сжимающимна пряжениям:

где [σ]р=σвр/n или [σ]сж=σвсж/n.

Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растя-

жение и сжатие, целесообразно выбирать сечения, симметричные относительно их нейтральных осей; при этом условии обеспечивается одинаковый запас прочности сечения по растянутым и сжатым волокнам.

Если кроме условия прочности исходить еще и из требованияминималь-

ной массы балки, то наиболее рациональным будет сечение, которое при за-

данном моменте сопротивления Wx имеет наименьшую площадь сеченияA, а

при заданной площади – наибольший момент сопротивления. Поэтому двутав-

ровое сечение имеет существенное преимущество перед прямоугольным сече-

нием. Для материалов хрупких, обладающих различной прочностью при растя-

жении и сжатии, рациональным будет сечение, несимметричное относительно нейтральной оси, например тавровое, несимметричное двутавровое и т.п.

Сформулированные условия прочности по нормальным и касательным напряжениям не позволяют выполнить полную проверку прочности при плос-

ком изгибе, когда в сечении возникают одновременно σ и τ. Для осуществления полной проверки прочности необходимо выполнить анализ напряженного со-

стояния.

Рассмотрим балку, нагруженную как указано на схеме (рисунок 7.12).

127

После построения эпюр нормальных Q и М, а также нормальных σ и ка-

сательных τ напряжений выделим элементы 1-6 в различных точках по высоте сечения и покажем действующие по граням элементов напряжения. Величины и направление напряжений зависят от схемы нагружения, размеров балки и расположения элементов. Направления напряжений определяется непосредст-

венно на основании эпюр Q и М.

Рисунок 7.12 - Напряженное состояние при изгибе

В элементах 1 и 2, находящихся в крайних точках сечения балки=0,τ

σ=σmax, т.е. элементы испытывают линейное растяжение или сжатие и находят-

ся в линейном напряженном состоянии(рисунок 7.12,г). Поскольку эпюра мо-

ментов строится на сжатых волокнах, то элемент 1 –сжат, 2 – растянут.

Элементы 3 и 4 (рисунок 7.12,д) выделены в точках нейтрального слоя,

где σ=0, τ= τmax,, поэтому в их гранях действуют только касательные напряже-

ния, а сами элементы испытывают чистый сдвиг. Знак касательных напряже-

ний определяются знаком поперечной силыQ в соответствующих сечениях.

128

Например, в сечении а-а поперечная сила положительна. Стремясь повернуть обе части рассеченной балки по ходу часовой стрелки, Q в левом сечении на-

правлена вверх. Касательные напряжения τ совпадают по направлению с попе-

речной силой Q. На остальных гранях направления τ определяются законом парности касательных напряжений.

В элементах 5 и 6 (рисунок 7.12,е), выделенных в произвольных точках,

действуют и нормальные σ и касательные напряжения τ, поэтому точки эти на-

ходятся в плоском напряженном состоянии.

Проведенный анализ показал, что напряженное состояние при плоском изгибе по высоте сечения меняется. Оценку прочности нужно производить в так называемой опасной точке опасного сечения. Опасной точкой может быть одна из трех точек:

-точка, где нормальное напряжение σ достигает максимального значения;

-точка, где касательное напряжениеτ достигает максимального значе-

ния;

- точка, где σ и τ хотя и не принимают наибольших значений, но в своей комбинации создают наиболее опасное сочетание, т.е. создают наибольшие эк-

вивалентное напряжение по принятому критерию прочности. При этом, такая точка может быть не одна.

Первая опасная точка расположена в крайних волокнах опасного сечения

(там, где изгибающий момент наибольший), например, точки 1 и 2. Напряжен-

ное состояние в этих точках линейное и условие прочности имеет вид:

(7.23)

Вторая опасная точка находится на нейтральной линии того сечения, где поперечная сила максимальна (это точка на уровне нейтрального слоя, где Q= Qmax). В такой точке напряженное состояние– чистый сдвиг и условие прочно-

сти имеет вид

(7.24)

129

Положение третьей точки не столь определенное. Но где бы она не была выбрана (рис. 7.12,е), в ней будет плоское напряженное состояние, при котором главные напряжения рассчитывают

(7.25)

Эквивалентные напряжения в таких точках могут быть рассчитаны по различным критериям прочности:

(7.26)

Для расчета на прочность балок из пластичных материалов рекомендует-

ся пользоваться условиями прочности поIII и IV критериям прочности, кото-

рые для случая поперечного изгиба приобретают вид:

(7.27)

Практика расчета балок показала, что в большинстве случаев опасной точкой является крайняя точка того опасного сечения, где M=Mmax. Поэтому практически проверочный расчет балок на прочность сводится к расчету по нормальным напряжениям.

Однако, в балках с тонкостенным сечением(швеллер, двутавр) опасной может оказаться точка, расположенная в месте соединения стенки с полкой.

Это происходит в тех случаях, когда к балке приложена значительная попереч-

130

ная нагрузка, причем есть сечения, в которых M и Q одновременно велики.

Одно из таких сечений и будет наиболее опасным.

Таким образом, если балка имеет тонкостенное сечение и к ней приложе-

на значительная поперечная нагрузка, то необходимо производить полный рас-

чет на прочность: по нормальным, касательным напряжениям и по критериям прочности. Если расчет проектировочный, то сначала подбирают сечение по основному условию прочности (по нормальным напряжениям), а затем произ-

водят проверку по всем условиям прочности.

7.7 Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение

упругой линии балки и его интегрирование

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси(рисунок 7.13). Деформированная

(изогнутая) продольная ось балки называетсяупругой линией, а поступатель-

ные перемещения сечений, равные перемещениям y=y(z) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Между прогибами y(x) и углами поворота сечений θ(z) существует опре-

деленная зависимость. Из рисунка 7.13 видно, что угол поворота сечения θ ра-

вен углу φ наклона касательной к упругой линии(θ и φ - углы с взаимно пер-

пендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y/=tgθ. Следовательно, tgθ=tgφ=y/.

Рисунок 7.13 – Изогнутая ось балки

131

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h, а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В

этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ=y/.

Определим теперь форму упругой линии. Влияние поперечных сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего моментаMx и жесткости EIx (см. вывод фор-

мулы нормальных напряжений )

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

Приравнивая правые части (7.28) и (7.29) и учитывая, что правила знаков для Mz и y// были приняты независимо друг от друга, получаем

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой ли-

нии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравне-

нию с единицей (при θ=0.1 рад (y/)2=0.01) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

132

натной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производнойy//.

Если ось направлена вверх, то, как видно из рисунка 7.14, знаки y// и Mx совпа-

дают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз,

то знаки y// и Mx противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Рисунок 7.14 - К выбору знака в уравнении (7.31)

Заметим, что уравнение (7.31) справедливо только в пределах примени-

мости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающе-

го момента M(z) содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (7.31), находим сначала углы поворота сечений

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих момен-

133

тов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегриро-

вание этих уравнений при n участках дает 2n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Пример 1.

Для консольной балки с сосредоточенной силойF на свободном конце найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота (рисунок7.15).

Рисунок 7.15

Реактивная сила и момент в заделке равныR=F, MR=Fl. В произвольном

сечении на расстоянии z от заделки имеем

y¢¢ = F × x - F ×l ,

В заделке прогиб y(0) и угол поворота сечения θ(0) равны нулю. Эти гра-

ничные условия будут удовлетворены, если C1=0 и C2=0. Окончательно, име-

ем:

134

Максимальные прогиб и угол поворота будут на правом свободном конце балки:

Знак минус в формулах для прогиба и угла поворота означает, что прогиб конца консольной балки направлен вниз, а поворот концевого сечения – по ча-

совой стрелке.

Пример 2.

Для балки нагруженной распределенной нагрузкой найти аналитические выражения для прогибов и углов поворота (рисунок 7.16).

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении

Рисунок 7.16 – Эпюры прогибов и углов поворота сечения

В произвольном сечении на расстоянии z от опоры A имеем

135

На рисунке 7.16 построены эпюры прогибов и углов поворота, из которых видно, что максимальный прогиб будет в середине балки

ymax = y(z=l 2) = - 5 ql 4 . 384 EI x

Максимальные углы поворота будут в опорных сечениях:

7.8 Определение перемещений методом начальных параметров

136

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования

дифференциального уравнения изогнутой оси показало, то при наличии одного участка число произвольных постоянных интегрирования равно2, а при нали-

чии n участков число произвольных постоянных интегрирования равно 2n, где

n – число участков. Поэтому определение этим методом в случае балок с большим количеством участков сопряжено со значительными трудностями.

Эти затруднения заключаются не в интегрировании дифференциальных урав-

нений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования – составлении и решении систем линейных уравнений.

Для сокращения большой вычислительной работы разработан метод, ко-

торый получил название метода начальных параметров. Этот метод позволяет при любом числе участков свести решение к отысканию всего двух постоянных

- прогиба и угла поворота в начале координат. Это возможно только тогда, ко-

гда в уравнении моментов, углов поворота и прогибов при переходе от участка к участку повторяются все члены предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемы обращаются в нуль на границах участков. Для соблюдения этих ус-

ловий при составлении дифференциальных уравнений упругой линии и их ин-

тегрирования должны соблюдаться следующие правила:

-начало координат всех участков необходимо выбирать в крайней левой

точке;

-выражение для изгибающего момента M(z) нужно составлять, вычисляя моменты сил, расположенных слева от рассматриваемого сечения;

-при включении в уравнение внешнего сосредоточенного моментаМ его нужно умножать на множитель (z-a)0, равный единице, где а – абсцисса точки приложения момента М.

-в случае обрыва распределенной нагрузки, ее необходимо продлить до конца рассматриваемого сечения и приложить компенсирующую нагрузку,

чтобы равновесие не изменилось;

- интегрирование дифференциального уравнения производить без -рас

крытия скобок.

137

Рассмотрим конкретный пример определения перемещений для балки,

нагруженной всеми видами нагрузок, изображенной на рисунке 7.17

Выбрав начало отсчета в крайней левой точке, составим выражение изги-

бающего момента для каждого участка с соблюдением указанных правил. При этом распределенную нагрузку, которая прервалась на третьем участке, про-

длим до конца балки и приложим компенсирующую нагрузку, равную по вели-

чине, но противоположного знака.

Составим выражение изгибающего момента на каждом участке (7.34)

M (z1)= Fz1 ;

+ qk (z5 -c)2 + RC (z5 -k). 2

138

Рисунок 7.17Пример определения перемещений при изгибе

Составим дифференциальное уравнение упругой линии на каждом участке:

Интегрируем обе части равенства, не раскрывая скобок. Тогда получим

139