1. 6 Понятие о деформациях и перемещения

Реальное тело под действием внешних сил можетдеформироваться, т.е.

изменять свою форму и размеры. При деформировании его точки, а так же мысленно проведенные линии перемещаются в плоскости и пространстве отно-

сительно своего первоначального положения. Деформации различают упругие,

т.е. исчезающие после прекращения действия силы и пластические илиоста-

точные - не исчезающие.

В сопротивлении материалов изучают следующие основныевиды де-

формации: растяжение или сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Рассматрива-

ются и более сложные деформации, получающиеся в результате сочетания не-

скольких основных.

Рассмотрим объект произвольной формы в декартовой системе координат

(рисунок 1. 12,а). Выберем внутри тела точку В до приложения внешних сил. В1

– положение точки В после приложения внешних сил.

Рис. 1.12 - Линейные деформации и перемещения

Вектор ВВ1 – вектор полного перемещения. u, v, w – проекции вектора полного перемещения на оси x, y, z соответственно. Зафиксируем до приложения сил точки В и С, расстояние между которыми s. После приложения внешних сил расстояние между точками s+Ds (рисунок 1.12,б).

Ds – абсолютное приращение длины (абсолютная деформация).

lim Ds = e - относительная линейная деформация.

Ds®0 s

25

Обычно, в качестве основных принимают направления, параллельные оси прямоугольной системы координат. Такие относительные линейные деформа-

ции обозначаются ex ,ey ,ez

Кроме линейных существуют также угловые деформации. Выделим до прило-

жения сил точки О, В, С. После приложения нагрузки положение выбранных точек соответствует О1, В1, С1 (рисунок 1.13).

Рисунок 1.13 - Угловая деформация

γ=lim (BOC-B1O1C1) - относительная угловая деформация.

O→B.

O→C

Это изменение угла, выраженное в радианах, называется относительной уг-

ловой деформацией в точке. В той же точке относительные угловые дефор-

мации в различных плоскостях различны. Обычно угловые деформации опре-

деляются в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Тогда их обознача-

ют g xy, g yz, g zx . Деформированное состояние в точке тела полностью оп-

ределяется шестью компонентами деформации - тремя относительными линей-

ными деформациями ex ,ey ,ez и тремя относительными угловыми деформация-

ми g xy, g yz, g zx .

1.7 Основные принципы сопротивления материалов

Как уже отмечалось, при выборе расчетной схемы реальная конструкция идеализируется. При анализе выбранной расчетной схемы необходимо бывает принять еще некоторые предпосылки, которые называются руководящими пра-

вилами или принципами, если они носят общий характер. Принцип - есть ос-

26

новополагающее, недоказуемое утверждение, отличающееся от аксиомы своей

общностью. В сопротивлении материалов есть три таких правила-принципа:

1.Принцип относительной жесткости системы или принцип неизменности начальных размеров;

2.Принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил;

3.Принцип Сен-Венана.

1.7.1Принцип относительной жесткости

Принцип относительной жесткости основан на том, что в подавляю-

щем большинстве случаев форма тела под действием внешних сил меняется не-

существенно. Это позволяет при составлении уравнения равновесия рассматри-

вать тело как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, ка-

кие оно имело до нагружения.

1.7.2 Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции)

При действии на относительно жесткое тело нескольких сил, результат действия одной части этих сил не зависит от результата действия остальных сил. Рассмотрим балку, нагруженную силами F1, F2 и F3 (рисунок 1.14).

Рис. 1.14 - Балка, нагруженная системой сил

Обозначим перемещение точкиC под действием каждой из этих сил, прило-

женной по отдельности, соответственно dC(F1), dC(F2) и dC(F3). Тогда в пределах области упругих деформаций перемещение точки C под действием всех сил

dC(F1, F2, F3) = dC(F1) + dC(F2) + dC(F3).

Результат действия совокупности факторов равен сумме результа-

тов от действия каждого фактора в отдельности.

27

1.7.3 Принцип Сен-Венана

Рассмотрим три стержня одинаковых размеров с одними и теми же усло-

виями закрепления и различным способом приложения нагрузки.

Рисунок 1.15 - Различные способы приложения нагрузки

Принцип Сен-Венана утверждает следующее: если в пределах некоторой области упругого тела приложена система сил, то на расстояниях, существенно превышающих характерные размеры взятой области, напряжения и деформа-

ции практически одинаковы для всех статически эквивалентных систем сил.

При решении задачи (рисунок 1.15) не ставится вопрос о том, как приложена сила F . Между тем, здесь возможен целый ряд конструктивных вариантов.

Принцип Сен-Венана в данном случае утверждает, что независимо от способа передачи усилия на стержень, в зонах достаточно удаленных от места прило-

жения сил, напряжения и деформации определяются только равнодействую-

щей.

2 РАСТЯЖЕНИЕ - СЖАТИЕ

2.1 Напряжения и деформации при растяжении и сжатии

28

Растяжение или сжатием стержня вызывается силами, действующими,

вдоль его оси. В этом случае в поперечных сечениях из шести внутренних си-

ловых факторов возникает только один - продольная сила N.

Рассмотрим случай осевого (центрального) растяжения или сжатия, когда внешние силы действуют по оси стержня(рисунок 2.1). Для определения внут-

ренних усилий (продольных сил) применим метод сечений. Проведем какое-

нибудь сечение, например а—а, и рассмотрим равновесие нижней отсеченной части. Воздействие верхней отброшенной части на нижнюю заменим продоль-

ной силой и предварительно направим ее от сечения, т. е. предположим, что си-

ла является растягивающей. Составим уравнение равновесия. Проецируя все силы, действующие на нижнюю часть, на направление параллельное оси стержня, и приравнивая сумму проекций нулю, получаем

N1+8F-5F=0, откуда N1 = - 3F.

Знак минус показывает, что направление силы N1 следует изменить на об-

ратное, т. е. продольная сила будет в данном случае не растягивающей, как мы предположили, а сжимающей. Аналогично найдем продольную силу в сечении b—b: N2=5P (растяжение). Условимся продольную силу, соответствующую рас-

тяжению считать положительной. Наглядное представление о законе изменения продольных сил по длине стержня дает график(эпюра продольных сил), ось абсцисс которого проводится параллельно оси стержня, а ось ординат ей пер-

пендикулярна. По оси ординат в выбранном масштабе откладывают значения продольных сил (с учетом знаков) в поперечных сечениях стержня(рисунок

2.1).

Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий, па-

раллельных и перпендикулярных оси стержня(рисунок 2.2, а), и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно перпендикулярными, за исключением неболь-

шого участка стержня вблизи точки приложения силы, который из рассмотре-

ния пока исключаем, но расстояния между ними изменятся (рисунок 2.2, б). Все горизонтальные линии, например cd, переместятся вниз, оставаясь горизон-

29

тальными и прямыми. Можно предположить также, что и внутри стержня будет

такая же картина, т. е. поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к

его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации. Эту важную гипотезу называютгипотзой плоских сечений или гипотезой Бернулли. Формулы, полученные на основе этой гипотезы, под-

тверждаются результатами опытов.

Такая картина деформаций дает основание считать, что в поперечных се-

чениях стержня действуют только нормальные напряжения, равномерно рас-

пределенные по сечению, а касательные напряжения равны нулю.

Продольная сила N есть равнодействующая нормальных напряжений в

В частном случае, когда на стержень действует одна внешняя силаF, из уравнения равновесия получим N=F (рисунок 2.2, в). Эти формулы справедли-

вы и для сжатия, с той только разницей, что сжимающие напряжения считаются

30

отрицательными. Кроме того, сжатые стержни помимо расчета на прочность рассчитываются также на устойчивость.

Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а

поперечные размеры уменьшаются, при сжатии наоборот (рисунок 2.2 б).

Для многих материалов при нагружении до определенных пределов опы-

ты показывают следующую зависимость между относительным удлинением стержня ε и напряжением σ:

стержня; l - длина образца до деформации; эта зависимость носит название за-

кона Гука и формулируется следующим образом: линейные напряжения прямо пропорциональны нормальным напряжениям.

В формуле (2.4) Е - коэффициент, зависящий от материала и называемый модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода, а также модулем Юнга. Он характеризует жесткость материала, т. е. его способность сопротивляться деформированию. Поскольку ε - безразмерная величина, то из

формулы (2.4) видно, что размерность Е та же, что и σ, т. е. Паскаль (Па). В

таблице 2.1 даны средние значения E для некоторых материалов.

Для других материалов значение Е можно найти в справочниках.

Имея в виду, что для стержня постоянного сеченияε=Δl/l, а σ=N/А, из

формулы (2.4) можно получить формулу для определения полного(абсолютно-

го) удлинения (укорочения) стержня. Это выражение также формулируется как закон Гука для абсолютных деформаций

Таблица 2.1. Значения Е и μ для разных материалов

31

Удлинению стержня при растяжении в продольном направлении сопутст-

вует сжатие в поперечном направлении (рисунок 2.3):

Рисунок - 2.3 Продольная и поперечная деформация Относительная линейная деформация

e = l1 - l = Dl . l l

Относительная поперечная деформация

e¢ = a - a1 = b - b1 . a b

Между продольной ε и поперечной ε' деформациями существует установ-

ленная экспериментально зависимость

Здесь μ - коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона),

представляющий собой модуль отношения поперечной деформации к про-

дольной и характеризующий способность материала к поперечным деформаци-

ям. При пользовании приведенной формулой удлинение считается положи-

тельным, укорочение - отрицательным. Значение μ для всех материалов колеб-

лется в пределах 0<μ <0.5 (коэффициент Пуассона имеет значение равное нулю для пробки и 0,5 для резины, для большинства материалов изменяется от 0.25

32

до 0.35) (таблица 2.1). Для стали при упругих деформациях можно принимать μ

= 0.3.

Если на рассматриваемом участке продольная сила и поперечное се-

чение

переменны, то для элемента бесконечно малой длины dz на основании формулы (2.6):

дольной деформации участка стержня, заключенного между рассматривае-

мыми сечениями.

2.2 Испытание материалов на растяжение-сжатие

При проведении расчётов на прочность, жёсткость и устойчивость эле-

ментов конструкций необходимо знать механические свойства материалов,

также знать напряжения, вызывающие разрушение. Эти характеристики опре-

деляются экспериментальным путём в результате механических испытаний.

Наиболее информативным методом испытания является испытание на растяже-

ние, предусмотренное ГОСТ 1497-84. Испытанию подвергаются стандартные образцы круглого поперечного сечения или плоские образцы, изготовленные из листового металла. В цилиндрических образцах должно быть выдержано соотношение l0=5d0 (укороченные образцы), где А0 – площадь поперечного сечения образца. Чтобы соблюсти подобие при испытаниях эти же соотноше-

ния выдерживаются и для плоских образцов.

33

Эти линии являются следами плоскостей скольжения (сдвига) частиц материала друг относительно друга. Они наклонены к оси бруса под углом, близким к 45°,

и практически совпадают с плоскостями действия максимальных касательных напряжений.

Многие материалы, например легированные стали, дюралюминий, обна-

руживают пластические свойства, но площадки текучести не имеют. Характер диаграмм растяжения для дюралюминия и легированной стали представлен на рисунке 2.5.

На участке ВС, называемом зоной упрочнения, материал вновь приобре-

тает свойство оказывать сопротивление нагрузке, но с ростом удлинения образ-

ца нагрузка возрастает значительно медленнее, чем на упругом участке. В зоне упрочнения равномерное до этого уменьшение поперечных размеров рабочей части образца нарушается появлением местного суженияшейки (рисунок

2.4,в). Деформация образца приобретает местный характер течения материала в области шейки, и в связи с быстрым уменьшением сечения образца в этом мес-

те для развитии деформаций требуется меньшая нагрузка. Этим, главным обра-

зом, и объясняется падение нагрузки за точкойC на диаграмме растяжения.

Точка D диаграммы соответствует разрушению образца.

2.2.1 Диаграмма условных и истинных напряжений

Диаграмма растяжения в осях l и F является по существу характеристи-

кой образца из данного материала, так как при одном и том же значении силы P

величина удлинения зависит от поперечных и продольных размеров образца.

Чтобы исключить влияние размеров образца и получить характеристику мате-

риала, диаграмму растяжения строят в координатах σ - ε.

При переходе от нагрузок F к напряжениям σ и от абсолютных удлинений l к относительным ε обычно пренебрегают изменением площади сечения об-

разца в процессе растяжения, а также неравномерностью распределения -де формаций по длине его рабочей части после образования шейки. Подсчитыва-

ют σ делением нагрузки F на первоначальную площадь Аo сечения образца, а ε -

35

делением удлинения всей его рабочей части на ее первоначальную длинуl .

o

Полученная таким путем диаграмма называется диаграммой условных напря-

жений, по характеру она не отличается от диаграммы в осях F - l.

Диаграмма условных напряжений для малоуглеродистой стали показана на рисунке 2.6. Уравнение линейного участка этой диаграммы на начальной стадии нагружения σ=E ε представляет собой уже известную математическую запись закона Гука при одноосном растяжении. Следовательно, численно мо-

дуль упругости равен тангенсу углаα наклона к оси абсцисс прямолинейного участка диаграммы растяжения.

Рисунок 2.6 - Диаграмма условных и истинных напряжений

Диаграмма растяжения, по оси ординат которой откладывается напряже-

ние, полученное делением силы на наименьшую площадь сечения образца, а по оси абсцисс - наибольшее удлинение в данный момент нагружения, называется диаграммой истинных напряжений. Эта диаграмма показана на рисунке2.6

пунктиром. Здесь падения напряжений за точкойC не наблюдается, так как площадь сечения в шейке уменьшается быстрее, чем падает нагрузка, поэтому средние напряжения в этом месте возрастают. Вследствие образования шейки распределение напряжений по сечению становится неравномерным, а частицы материала в этом месте испытывают растяжение не только в продольном,

также в радиальном и окружном направлениях. Это приводит к образованию внутри шейки поперечной трещины. Различие диаграмм условных и истинных напряжений становится значительным только после образования шейки.

2.2.2 Механические характеристики материалов

36

По диаграмме напряжений определяют основные механические характе-

ристики материалов:

Пределом пропорциональности σпц называется наибольшее напряжение,

до которого деформации прямо пропорциональны напряжениям.

Пределом упругости σу называется напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.

Пределом текучести σт называется напряжение, при котором деформа-

ции растут без заметного увеличения нагрузки.

Пределом прочности, или временным сопротивлением σв называется максимальное напряжение (подсчитанное по первоначальной площади сечения образца), выдерживаемое материалом при растяжении. Его величина определя-

ется ординатой точки C условной диаграммы (рисунок 2.6).

Пределом упругости считается напряжение, при котором остаточные де-

формации достигают заранее установленной величины в пределах0.001- 0.005%. Условный предел упругости при остаточной деформации0.005% обо-

значается σ0,005.

Для материалов, не имеющих площадки текучести, в качестве предела те-

кучести условно принимается напряжение, при котором остаточные деформа-

ции составляют 0,2 % первоначальной длины образца. Условный или, иначе,

технический предел текучести в соответствии с допуском на остаточнуюде формацию обозначается σ0,2. Предел текучести является одной из основных ха-

рактеристик материала.

Пластические свойства материала, то есть способность к образованию ос-

таточных деформаций, характеризуются величиной остаточного удлинения об-

разца при разрыве

l0

а также относительным уменьшением площади сечения образца в шейке

37

где lк, Fш - длина рабочей части образца и площадь наименьшего сечения шейки разорванного образца, соответственно; lo, Аo - их величины до нагружения.

Основные механические характеристики применяемых в технике мате-

риалов приводятся в справочной литературе.

Если нагрузить образец до точки G (рисунок 2.7), а затем произвести раз-

грузку, то при повторном нагружении диаграмма растяжения пойдет по пути

O1GK:

Рис. 2.7 - Закон разгрузки и повторного нагружения

Явление повышения прочностных свойств материала(sпц, sу и sт) и снижения пластических (eост) в результате предварительного нагружения выше предела текучести называется наклепом. Если после такого нагружения выдержать об-

разец в течение 100 и более часов, то при этом повышается и предел прочности.

Это явление называетсяестественным старением. Линии разгрузки GO1 и

нагрузки O1G образуют петлю – петлю гистерезиса. Явление гистерезиса мож-

но определить как необратимую потерю энергии деформации в результате не-

совпадения кривой нагружения с кривой разгрузки. При свободных колебаниях гистерезис является причиной постепенного затухания колебательного процес-

са. Отрезок, соединяющий точки G и O1, параллелен участку упругости перво-

начальной диаграммы.

2.2.3 Работа деформации

Кроме указанных уже характеристик механических свойств материала,

растяжение даёт возможность определить ещё и энергетические характеристи-

38

ки. Элементарная работа, совершаемая растягивающей силой F на бесконечно малом пути, равна площади элементарного прямоугольника

dA = Fd (Dl) .

Работа, затраченная на разрыв образца, определяется площадью диаграм-

мы растяжения. Суммируя работу, затраченную на растяжение образца до раз-

рушения, получим

Dl

A = òFd (Dl) .

0

Работа, совершаемая при упругом деформировании, равна площади тре-

угольника, ограниченного линейным участком диаграммы.

Эта работа переходит в потенциальную энергию растянутого стержня.

Полная работа, идущая на разрушение образца, характеризует его энергоём-

кость. Эта величина оказывается весьма важной при оценке способности конст-

рукции сопротивляться действию ударных нагрузок, то есть её способности по-

глощать кинетическую энергию. Разделив полную работу деформации А на объём рабочей части образца, получим удельную работу деформации.

Удельная работа деформации в пределах упругости выражается площа-

дью треугольника, ограниченного линейным участком диаграммыs-e. Удель-

ная работа деформации характеризует способность материала сопротивляться ударному действию нагрузки. Чем больше удельная работа деформации до раз-

рыва, тем лучше материал сопротивляетсяударным нагрузкам. Не рекоменду-

39

ется использовать для ответственных силовых деталей материалы с малойве-

личиной а. Размерность а Нм/м2.

2.2.4 Пластичные и хрупкие материалы

По результатам испытаний на одноосное растяжение материалы принято делить на пластичные и хрупкие. К пластичным относятся материалы, разру-

шению которых предшествуют большие остаточные деформации, достигающие иногда 20-25%. Хрупкими называют материалы, разрушающиеся при малых остаточных деформациях, не превышающих 2-5%. Характерными представите-

лями пластичных материалов являются малоуглеродистая сталь и алюминий, а

хрупких - чугун, инструментальная сталь и стекло. Пластичные и хрупкие ма-

териалы отличаются еще и характером разрушения при растяжении. Пластич-

ные материалы проявляют большее сопротивление отрыву частиц, чем сдвигу их друг относительно друга, и разрушаются главным образом, от сдвига частиц в плоскостях действия наибольших касательных напряжений. Именно вследст-

вие сдвига частиц увеличивается длина образца из пластичного материала при его растяжении, а место разрушения в шейке имеет вид кратера, стенки которо-

го наклонены к оси образца под углом45° (Рисунок 2.8,а). Дном этого кратера является поверхность первоначальной внутренней трещины, возникающей по-

сле образования шейки.

Хрупкие материалы, наоборот, обладают большим сопротивлением сдви-

гу, чем отрыву, и разрушаются при растяжении внезапно от отрыва частиц ма-

териала по плоскости поперечного сечения(рисунок 2.8,б). Явления текучести,

упрочнения и образования шейки на образцах из таких материалов перед раз-

рывом не наблюдаются. Единственной прочностной характеристикой хрупких материалов является предел прочностиσв. Диаграмма растяжения хрупких ма-

териалов представлена на рисунок 2.8,в.

40

Рис. 2.8 - Характер разрушения пластичных и хрупких материалов

Деление материалов на хрупкие и пластичные является условным, так как свойства материалов зависят от температуры, скорости и вида нагружения.

Один и тот же материал в одних условиях ведет себя как хрупкий, в других -

как пластичный. Например, мрамор при одноосном растяжении разрушается как хрупкий материал, а при всестороннем сжатии проявляет пластические свойства. Поэтому правильнее говорить о пластичном и хрупком характере разрушения.

2.2.5 Механические свойства при сжатии

При сжатии образца из пластичного материала, как и при растяжении,

сначала имеет место линейная зависимостьε от σ, затем площадка текучести и зона упрочнения. Но в отличие от растяжения площадка текучести едва наме-

чается, и в дальнейшем нагрузка все время возрастает. Возрастание происходит потому, что при сжатии образец из пластичного материала не разрушается,

постепенно сплющивается в тонкий диск при одновременном увеличении пло-

щади сечения (рисунок 2.9,а). Определить предел прочности пластичного мате-

риала при сжатии очевидно невозможно, так как он просто не существует.

41

s

1

2

e

Рисунок 2.9 - Диаграмма сжатия и характер разрушения при сжатии

Для испытаний на сжатие применяются короткие цилиндрические образ-

цы. Бочкообразная форма, которую они принимают в процессе испытания, объ-

ясняется наличием сил трения между плитами пресса и торцами образца. Срав-

нительная диаграмма растяжения и сжатия для пластичного материала приве-

дена на рисунок 2.9,б.

Для пластичных материалов характерно малое отличие пределов текуче-

сти при растяжении σтр и сжатии σтсж. Различие в работе материала на растяже-

ние и сжатие характеризуется коэффициентомυт=σтр/σтсж. Материалы, у кото-

рых υт=1, называются одинаково работающими на растяжение и сжатие.

Иные свойства при сжатии проявляют хрупкие материалы. Образцы из таких материалов при сжатии разрушаются внезапно, раскалываясь по наклон-

ным (под углом 450) плоскостям, как показано на рисунок 2.9,в.

Сравнительная диаграмма растяжения и сжатия хрупкого материала при-

ведена на рисунке 2.9,г. Качественные особенности у обоих кривых одинаковы,

но сравнение пределов прочности при растяжении и сжатии показывает, что хрупкие материалы, как правило, значительно лучше работают на сжатие, чем на растяжение. Например, у чугуна предел прочности при сжатии в среднем в три раза больше, чем при растяжении. Для волокнистых материалов характерна анизотропия механических свойств. Например, при испытаниях на сжатие де-

рева (рисунок 2.9,д) 1 – дерево вдоль волокон; 2 – дерево поперек волокон.

2.3 Влияние различных факторов на механические свойства материалов

42

Механические характеристики материалов зависят от многих факторов.

На свойства металлов и сплавов влияние оказывают химический состав техно-

логия получения, термическая и механическая обработка, условия эксплуата-

ции - температура, среда, характер нагрузки.

2.3.1 Влияние содержания углерода.

Введение различных легирующих добавок в металлы позволяет значи-

тельно повысить прочностные характеристики сплавов. На рисунке 2.10 пока-

зано влияние процентного содержания углерода на механические свойства кон-

струкционной стали. Как видно, с увеличением содержания углевода, времен-

ное сопротивление повышается в несколько раз; однако при этом значительно ухудшаются пластические свойства; относительное удлинение δ и относитель-

ное сужение ψ при разрыве уменьшаются.

Рис. 2.10 - Влияние процентного содержания углерода

2.3.2 Влияние температуры.

Изменение температуры материалов вызывает значительные изменения их механических свойств, сильно зависящих от состава и структуры материала.

За исключением редких аномальных случаев, повышение температуры увели-

чивает пластичность материала и понижает его прочность, а понижение темпе-

ратуры увеличивает хрупкость. Эксперименты показывают, что модуль упруго-

43

сти Е, предел текучести s0,2 и предел прочности sв всех материалов при повы-

шении температуры уменьшаются (рисунок 2.11)

При повышенной температуре и длительном действии нагрузки постоян-

ной величины деформации детали с течением времени возрастают. Например,

наблюдается постепенное уменьшение напряжений в нагруженной детали при неизменной величине деформации. Например, с течением времени уменьшает-

ся сила давления пружины на плиты пресса при неизменном расстоянии между ними, уменьшается предварительная затяжка болтовых соединений и .тд. От-

меченные изменения, как правило, носят необратимый характер. Это явление принято определять термином - ползучесть материала (рисунок 2.12). Ползуче-

стью называется явление изменения во времени напряжений и деформаций в нагруженной детали. Различают два случая ползучестипоследействие и ре-

лаксацию. Последействием, или собственно ползучестью, называется явление роста деформаций при постоянных напряжениях, а релаксацией - уменьшение напряжений при постоянной деформации.

Мерой оценки ползучести материала являетсяпредел ползучести — на-

пряжение, при котором пластическая деформация за определенный промежуток времени достигает заданной величины. В некоторых случаях сопротивление ползучести оценивается величиной скорости деформации по прошествииза

44

данного времени. При обозначении предела ползучести указывается величина деформации, время и температура испытаний. Например, для жаропрочного сплава ХН77ТЮР при температуре700oС за время100 часов и деформации

ползучести 0,2% предел ползучести составляет 400 МПа: s0700,2 / 100 = 400 МПа.

Ползучесть сопровождается релаксацией напряжений — самопроиз-

вольным уменьшением напряжений с течением времени при неизменнойде формации. Скорость релаксации напряжений возрастает при повышении тем-

пературы. Мерой скорости релаксации служит время релаксаци—

промежуток времени, в течение которого напряжение уменьшается по сравне-

нию с начальным значением в е = 2,718 раза.

Прочность материала при повышенных температурах оценивается преде-

лом длительной прочности — напряжением, при котором материал разрушается не ранее заданного времени. Пределом длительной прочности называется на-

пряжение, подсчитанное по первоначальной площади сечения образца, при ко-

тором происходит разрушение образца при данной температуре через заранее заданный промежуток времени. Этот промежуток времени называется базой испытания. При обозначении предела длительной прочности указывается про-

должительность нагружения и температура испытания. Так, для сплава ХН77ТЮР при температуре700oС и времени1000 часов предел длительной прочности составляет s 700ÄÏ 1000 = 330ÌÏà

2.3.3 Концентрация напряжений

Вблизи различного рода отверстий, надрезов, выточек и, вообще мест резкого изменения поперечных размеров распределение напряжений становит-

ся существенно неравномерным, и возникают зоны повышенных напряжений.

Например, при одноосном равномерномрастяжении напряжениями σ тонкой пластинки шириной Н с небольшим (d<Н/5) круглым отверстием распределе-

ние напряжений по поперечному сечению, проходящему через центр отверстия,

оказывается существенно неравномерным с пиками напряжений в точкахА и В контура отверстия (рисунок 2.13,а). Точное решение показывает, что нормаль-

45

ные напряжения в радиальных сеченияхна контуре отверстия достигают вели-

чины σmax=3σ,

Рисунок 2.13 - Распределение напряжений у концентраторов

Неравномерность распределения напряжений по поперечному сечению имеет место и при центральном растяжении ступенчатого бруса(рисунок

2.13,б), причем максимальные напряжения быстро увеличиваются по мере уменьшения радиуса закругления переходной части(галтели). Большие мест-

ные напряжения возникают также в зоне контакта деталей(контактные напря-

жения).

Явление возникновения значительных местных напряжений называется

концентрацией напряжений, а причина, вызвавшая концентрацию - концен-

тратором напряжений. Концентрация напряжений характеризуется коэффи-

циентом концентрации α. Величину α также называют теоретическим коэффи-

циентом концентрации. Коэффициентом концентрации α называется отноше-

ние действительного напряжения σmax в наиболее напряженной точке к номи-

нальному напряжению σn в той же точке, т. е.

Номинальными называются напряжения, вычисленные по формулам сопротивления материалов, не учитывающим явление концентрации напряже-

ний. В тех случаях, когда возникают трудности в вычислении номинальных на-

пряжений в сечении с концентратором напряжений, за номинальные принима-

ют напряжения в неослабленном сечении детали.

46

В настоящее время методами теории упругости и экспериментальными методами определены величины коэффициентов концентрации для многих практически важных случаев. Расчетные формулы, таблицы и графики для оп-

ределения коэффициентов концентрации приводятся в справочной литературе.

На рисунке 2.13 представлен характер зависимости коэффициента концентра-

ции от отношения радиуса галтели ρ к диаметру d в случае осевого растяжения ступенчатого бруса.

2.4 Коэффициент запаса прочности.

Выбор допускаемых напряжений

Фактические нагрузки, действующие на деталь, и свойства материалов, из которых она изготовлена, могут значительно отличаться от тех, которые при-

нимаются для расчета. При этом факторы, снижающие прочность детали (пере-

грузки, неоднородность материалов и т. д.), носят чаще всего случайный харак-

тер и предварительно не могут быть учтены. Так как детали и сооружения в це-

лом должны безопасно работать, то необходимо принять определенные меры предосторожности. С этой целью напряжения, обеспечивающие безотказную работу (эксплуатации) машины или любого другого сооружения, должны быть ниже предельных напряжений, при которых может произойти разрушение или возникнуть пластические деформации.

Таким образом, принимают

нормами проектирования конструкций) коэффициент запаса прочности, на-

зываемый также коэффициентом безопасности, σn - предельное напряжение материала.

При статических нагрузках за предельное напряжение для хрупких мате-

риалов принимают предел прочности, для пластичных - предел текучести, так

47

как при напряжениях, равных пределу текучести, возникают значительные пла-

стические деформации, которые недопустимы.

Таким образом, коэффициент запаса прочности вводится для того, чтобы обеспечить безопасную, надежную работу сооружения и отдельных его частей,

несмотря на возможные неблагоприятные отклонения действительных условий их работы от расчетных.

Вопрос о нормативном коэффициенте запаса прочности[n] решается с учетом имеющегося опыта эксплуатации сооружений и машин.

В последнее время для определения[n] пользуются дифференциальным методом, т.е. общий коэффициент запаса расчленяют на ряд составляющих, ча-

стных коэффициентов запаса, каждый из которых отражает влияние на проч-

ность элемента конструкции какого-либо определенного фактора или группы факторов. Например, один из коэффициентов отражает возможные отклонения механических характеристик материала от принимаемых в качестве расчетных,

другой - отклонения действующих нагрузок от их расчетных значений и. тд.

Такое разделение общего коэффициента запаса позволяет лучше учесть много-

образные конкретные условия работы деталей машин и сооружений и проекти-

ровать их с большей надежностью и экономичностью.

Коэффициент запаса прочности представляют в виде произведения n=n1·n2·n3 (2.15)

В вопросе о частных коэффициентах и их значениях до сих пор нет еди-

нообразия. Значения коэффициентов запаса прочности обычно принимают на основании опыта конструирования и эксплуатации машин определенного типа.

В настоящее время в машиностроении имеются рекомендации пользоваться од-

ним, тремя, пятью и даже десятью частными коэффициентами запаса прочно-

сти. В «Справочнике машиностроителя» рекомендуется пользоваться тремя ча-

стными коэффициентами:

n1 - коэффициент, учитывающий неточность в определении нагрузок и напряжений. Значение этого коэффициента при повышенной точности опреде-

48

ления действующих напряжений может приниматься равным1,2-1,5, при меньшей точности расчета – 2-3;

n2 - коэффициент, учитывающий неоднородность материала, повышен-

ную его чувствительность к недостаткам механической обработки. Коэффици-

ент n2 в расчетах по пределу текучести при действии статических нагрузок можно принимать в зависимости от отношения предела текучести к пределу прочности 1,2-2,3(без учета влияния абсолютных размеров).

При расчете по пределу прочности для малопластичных и хрупких мате-

риалов величину n2 принимают:

а) для малопластичных материалов n2=2-3;

б) для хрупких материалов n2=3-4;

в) для весьма хрупких материаловn2=4-6. При расчете на усталость ко-

эффициент n2 принимают равным 1,5-2,0, увеличивая его для материала с по-

ниженной однородностью (особенно для литья) и для деталей больших разме-

ров до 3,0 и более;

Таблица 2.2 - Допускаемые напряжения для разных материалов

n3 - коэффициент условий работы, учитывающий степень ответственно-

сти детали, равный 1-1,5.

В таблице 2.2 приведены ориентировочные значения допускаемых напряжений при статическом нагружении для некоторых материалов

2.5 Типы задач при расчете на прочность

49

Определив напряжение в опасном сечении растянутого (сжатого) стержня по формуле 2.3 и установив допускаемое напряжение в соответствии с сообра-

жениями, изложенными выше, можно произвести оценку прочности стержня.

Для этого необходимо фактические напряжения в опасном сечен стержня сопоставить с допускаемыми:

Здесь имеется в виду допускаемое напряжение или на растяжение, или на

сжатие в зависимости от того, с каким случаем мы имеем дело - с растяжением или сжатием. Неравенство (2.17) называется условием прочности при растяже-

нии (сжатии). Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:

1. Проверять прочность стержня, т. е. определять по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня фактические напряжения и сравни-

вать их с допускаемыми. Фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемых более чем на±5%. Перенапряжение больше этого значения недопустимо с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетельствует о перерасходе материала.

2. Определять размеры поперечного сечения стержня(по известным на-

грузке и допускаемому напряжению), требуемые по условию его прочности:

3. Определять допускаемую продольную силу по заданным размерам попе-

речного сечения стержня и известному допускаемому напряжению:

[N ] £ A×[s ] . (2.19)

Определив допускаемую продольную силу и установив связь между про-

дольной силой и нагрузкой(методом сечений), можно определить и допускае-

мую нагрузку.

2.6 Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Задачи, в которых все реакции связей определяются из условий равнове-

сия, называются статически определимыми. Если число неизвестных реакций

50

связей превышает число уравнений равновесия, задача становится статически неопределимой. Степенью статической неопределимости называется разность между числом искомых неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия, которые для данной системы можно составить. Для решения стати-

чески неопределимых задач к уравнениям равновесия добавляютусловия со-

вместности деформаций, являющиеся уравнениями, связывающими между собой деформации или перемещения отдельных частей тела.

Рассмотрим порядок расчета статически неопределимых систем на кон-

кретном примере.

Пример. Абсолютно жесткий брус шарнирно закреплен на неподвижной опоре и поддерживается двумя стержнями (рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 - Статически неопределимая система

Требуется найти:

1.усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу F;

2.допускаемую нагрузку [F], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению σ= 160 МПа;

3.предельную грузоподъемность системы Fпр и допускаемую нагрузку

[Fпр ], если предел текучести σт = 240 МПа и запас прочности n = 1,5; 4. сравнить величины допускаемых нагрузок [F] и [Fпр ].

Исходные данные: а = 2,1 м, b = 2,4 м, с = 1,5 м, F = 12см 2 .

Решение.

1. Рассечем стержни СС1 и ВВ1 , усилия N1 и N2 в стержнях СС1 , и ВВ1 ,

направим вдоль осей стержней, как показано на рисунке 2.15. Реакция опоры К

51

имеет горизонтальную составляющую НК, и вертикальную составляющую R К,

так как эта опора препятствует горизонтальному и вертикальному перемеще-

нию точки К бруса

2.15), а независимых уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неоп-

ределима. Статически неопределимые системы рассчитывают путем совмест-

ного решения уравнений, полученных в результате рассмотрения статической,

геометрической и физической сторон задачи.

Статическая сторона задачи. По условию задачи необходимо опреде-

лить усилия N1 и N2 , a в определении реакций НК и RК нет необходимости. По-

этому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно,

в которое не входили бы реакцияНК и RК. Таким является уравнение суммы моментов всех сил относительно шарнира К:

Подставляя в уравнение значения h , b и с, получим

-1,485N1=2,4·N2=1,5·F.

Геометрическая сторона задачи . Под действием внешней силы F абсолютно жесткий брус повернется вокруг точки К . Шарниры C и В после деформации переходят в положение C2 и B2 соответственно, т.е. перемещаются по вертикали на величины δ1 и δ2 (рисунок 2.16).

52

Выразим укорочение ∆l1 стержня CC1 и удлинение ∆l2 стержня В B1 , через

перемещения δ1 и δ2.

Физическая сторона задачи. Используя закон Гука, записанный для абсолют-

ных деформаций, выразим деформации стержней через усилия

Подставим в выражение (2.23) условия (2.25)

- N1a2 = N2b × a ×Sin45o . 2EA EA b

После сокращения получим

N1= -N2. (2.26)

Решаем совместно уравнения статики (2.20) и уравнение (2.26): -1,485N1=2,4·N2=1,5·F;

N1= -N2;

53

Определяем напряжения в стержнях 1 и 2:

стержнях сначала увеличивается прямо пропорционально нагрузке. При увели-

чении нагрузки до некоторой величины F> [ F ] напряжение σ2 во втором

стержне достигают предела текучести σТ, а усилие N2 - предельного значения

N пр = σ · F . При этом напряжение σ сжатия в первом стержне остается

2 Т 1

меньше σ . При дальнейшем увеличении нагрузки, напряжения во втором

Т

стержне остаются постоянными, равными пределу текучести, а в первом - воз-

растают, пока также не достигают σТ, усилие N1 при этом равн N1пр = –σТ ·2 F. .

Это состояние системы называется предельным, соответствующим исчерпанию ее грузоподъемности. Дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки связано с весьма большими деформациями системы. Величину силы F, вызы-

вающую предельное состояние, обозначают Fпр и называют предельной силой.

Для вычисления Fпр подставим в уравнение (2.20) значения предельных

продольных усилий, возникающих в стержнях N1 = N1 пр , N2 = N2 пр :

4. Сравним величины допускаемых нагрузок [F ] и [Fпр ]

54

Метод расчета по допускаемым нагрузкам позволяет спроектировать ста-

тически неопределимую системуэкономичнее, чем при расчете по допускае-

мым, напряжениям, т.к. при способе расчета по допускаемым напряжениям считают за предельную нагрузку конструкции величину[F]. При методе расче-

та по допускаемым нагрузкам предельная грузоподъемность определяется -ве личиной [Fпр].

Таким образом, метод расчета по предельным нагрузкам позволяет реализо-

вать скрытые запасы прочности в статически неопределимых системах, добить-

ся повышения их расчетной грузоподъемности и действительной равнопрочно-

сти всех частей конструкции. Изложенные выше теоретические соображения проверялись неоднократно на опыте, причем всегда наблюдалась достаточно близкая сходимость величин предельной нагрузки - вычисленной и определен-

ной при эксперименте.

3 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО

СОСТОЯНИЯ

3.1 Напряжения в точке. Главные площадки и главные напряжения

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Напряжения, как и силы, являются векторными величинами. Как было показано ранее в каждой точке сечения тела полное напряжениеp можно разложить на составляющие: нормальную к плоскости сечения, которая назы-

вается нормальным напряжением и обозначаетсяσ; составляющую, лежащую в плоскости сечения, которая обозначается τ и называется касательным напря-

жением. Касательное напряжение в зависимости от действующих сил может иметь любое направление в плоскости сечения. Для удобства τ представляют в

55

виде двух составляющих по направлению координатных осей. Принятые обо-

значения напряжений показаны ни рисунке 3.1

Рисунок 3.1- Напряженное состояние в точке

У нормального напряжения ставится индекс, указывающий какой коор-

динатной оси параллельно данное напряжение. Растягивающее нормальное на-

пряжение считается положительным, сжимающее – отрицательным. Обозначе-

ния касательных напряжений имеют два индекса: первый из них указывает, ка-

кой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения, а вто-

рой – какой оси параллельно само напряжение.

Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рисунке 3.1. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку те-

ла называется напряженным состоянием в данной точке.

Вычислим сумму моментов всех элементарных сил, действующих на эле-

мент (рисунок 3.1), относительно координатных осей, так, например, для оси x

с учетом равновесия элемента, имеем:

56

который формулируется следующим образом: составляющие касательных на-

пряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру, равны по величине и противоположны по знаку, то есть либо обе направлены к ребру либо обе направлены от ребра.

Рисунок 3.2 - Главные напряжения

Если по граням выделенного элементарного параллелепипеда действуют одни только нормальные напряжения, то они называются главными напряже-

ниями, а площадки, на которых они действуют, называются главными пло-

щадками. Можно доказать, что в каждой точке напряженного тела существуют три главные взаимно перпендикулярные площадки (рисунок 3.2.). Главные на-

пряжения обозначают σ, σ , σ . При этом большее (с учетом знака) главное

1 2 3

напряжение обозначается σ 1, а меньшее (с учетом знака) обозначается σ3. Раз-

личные виды напряженного состояния классифицируются в зависимости от числа возникающих главных напряжений. Если отличны от нуля все три глав-

ных напряжения, то напряженное состояние называетсятрехосным или объ-

емным (рисунок 3.3).

57

Рисунок 3.3 - Напряженное состояние объемное, плоское и линейное

Если равно нулю одно из главных напряжений, то напряженное состоя-

ние называется двухосным или плоским. Если равны нулю два главных на-

пряжения, то напряженное состояние называется одноосным или линейным.

3.2 Линейное напряженное состояние.

Напряжения в наклонных сечениях

Рассмотрим стержень, испытывающий простое растяжение В поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения.

Касательные напряжения в этом сечении равны нулю. Следовательно, эти сечения являются главными площадками. Определим напряжения на площадке

Aa , наклоненной под углом α к поперечному сечениюA0 растягиваемого стержня(рисунок 3.4,а). Для вычисления этих напряжений воспользуемся мето-

дом сечений (рисунок 3.4, б).

Рисунок 3.4 - Напряжения в наклонной площадке при линейном напряженном состоянии

По наклонной площадке Aα равномерно распределены полные напряжения Рα,

параллельные продольной силе.

58

Таким образом, максимальное нормальное напряжение возникает в сече-

ниях, перпендикулярных продольной оси, касательные напряжения достигают своей наибольшей величины по площадкам под углом ±45о к оси и равны по-

ловине главного напряжения. Проведенный анализ показал, что во всех сечени-

ях, параллельных оси стержня, нормальные и касательные напряжения равны нулю. Это позволяет сформулировать важное положение о том, что продоль-

ные волокна не давят друг на друга в направлении осей поперечного сечения.

59

3. 3 Плоское напряженное состояние.

Определение напряжений в наклонных площадках

При исследовании напряженного состояния элементов конструкций наи-

более часто приходится иметь дело с плоским напряженным состоянием. Оно

встречается при кручении, изгибе, сложном сопротивлении. Для проверки

прочности при плоском напряженном состоянии необходимо найти наибольшее значение нормальных и касательных напряжений. Рассмотрим лемент (рисунок

3.5), грани которого являются главными площадками, и по ним действуют по-

ложительные напряжения σ1 и σ2. Третье главное напряжение σ3 = 0. Проведем

сечении, нормаль к которому nα составляет положительный угол с направлени-

ем первого главного напряжения(угол α всегда отсчитывается от направления большего напряжения до нормали, причем берется острый угол). Напряжения

σα и τα по этой площадке будут вызываться действием как s 1 , так и s 3 . С на-

правление s2 составляет угол a2 . Рассматривая данное напряженное состоя-

ние как наложение двух ортогональных напряженных состояний, на основании принципа суперпозиции с учетом (3.7) получим

60

Рисунок 3.5 - Напряжения в наклонных площадках при плоском напряженном состоянии

В формулы (3.8) и (3.9) сжимающие напряжения подставляются со зна-

ком «минус». Воспользуемся формулами (3.8) и (3.9) для нахождения напряже-

Проведем анализ полученных формул. Сложив левые и правые части равенств

т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикуляр-

ным площадкам инвариантна по отношению к наклону этих площадок и равна сумме главных напряжений.

61

Сравнивая (3.9) и (3.11) видим, что касательные напряжения на двух

взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противополож-

мальных значений при a = ±45о , т.е. по площадкам, наклоненным к главным

площадкам под углом 45о и раны полуразности главных напряжений.

Анализ полученных уравнений показывает, что нормальные напряжения,

также как и касательные зависят от угла наклона площадок. Исследование уравнения (3.8) на экстремум показывает, что

max sa = s1 (при a = 0о), min sa = s2 (при a = 90о).

3.4 Графический способ определения напряжений (круг Мора)

Решение задачи определения напряжений в наклонных площадках может быть получено наглядным графическим способом путем построения круговой диаграммы напряженного состояния (круги Мора) для случая плоского напря-

женного состояния. Пусть дан σ элемент (рисунок 3.б), по боковым граням ко-

торого действуют известные главные напряжения σ1 и σ2. Требуется графически определить напряжения σα, σβ, τα, τβ, действующие по наклонным площадкам α и β.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

-выбрать прямоугольную систему координат (σ, τ) так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из главных напряжений;

-на оси абсцисс от начала координат отложить отрезки, численно равные главным напряжениям σ1 и σ2, и на их разности, как на диаметре построить ок-

ружность;

62

- из крайней левой точки A окружности провести луч, параллельный нор-

мали к площадке α (рисунок 3.6, а).

Рисунок 3.6 - Графическое определение напряжений в наклонных площадках

Нетрудно показать, что координаты точкиDα пересечения этого луча с окружностью численно равныσα, τα, а координаты диаметрально противопо-

ложной точки Dβ численно равны σβ, τβ. Из чертежа находим радиус круга на-

пряжений

Из прямоугольного треугольника CKα Dα имеем:

(3.14)

Далее:

(3.15)

Если менять угол α в пределах от -90о до +90о, то наклонные площадки α и β займут последовательно всевозможные положения, а точки Dα и Dβ опи-

шут полный круг. Таким образом, построенный круг напряжений полностью

63

(круг Мора) описывает напряженное состояние элемента, изображенного на рисунок 3.6 и позволяет решить прямую задачу.

При помощи круга Мора можно решить и обратную задачу, т.е. по на-

пряжениям σα, σβ , τα , τβ находить главные напряжения σ1 и σ2.

Найдем положение точки Dα с координатами (σα , τα)и Dβ с координата-

ми (σβ , τβ).

Рисунок 3.7 - Графическое определение главных напряжений

Для графического определения главных напряжений в элементе(рисунок

3.7) необходимо выполнить следующие действия:

-выбрать прямоугольную систему координат(σ, τ) так, чтобы ось была параллельна большему из напряжений, например;

-на оси абсцисс отложить отрезки, численно равные σα и σβ;

-в концах этих отрезков, учитывая знаки, восстановить перпендикуляры,

соответственно равные τα и τβ;

-соединить концы этих перпендикуляров и на полученном отрезке, как на диаметре, построить окружность (рисунок 3.7,а);

-отрезки OA и OB, отсекаемые этой окружностью на оси абсцисс будут численно равны искомым главным напряжениям;

-для определения направления главных напряжений находят положение полюса, для чего из точки Dα проводят линию параллельно линии действияσα ,

т.е. горизонталь. Точка пересечения этой линии с окружностью(точка «М») яв-

64

ляется полюсом. Соединяя полюс «М» с точками «А» и «В» получают направ-

ление главных напряжений.

По найденным направлениям главных напряжений, строятся главные площадки и главные напряжения. Из построения (рисунок 3.7,) очевидно сле-

дующее:

(3.16)

Радиус круга напряжений:

(3.17)

Подставляя (3.17) и (3.180) в уравнение (3.16), получим:

(3.19)

или

(3.20)

Учитывая принятое правило знаков, определим направление главных напряже-

ний (тангенс угла наклона напряжения σ1 к оси σ ):

3.5 Деформации при объемном напряженном состоянии.

Обобщенный закон Гука

65

При изучении осевого растяжения - сжатия было показано, что относи-

тельная продольная деформация

а относительная поперечная деформация с учетом эффекта Пуассона равна

Установим зависимости между напряжениями и деформациями в случае

объемного напряженного состояния. Рассмотрим деформацию элемента в виде

тельны). Вследствие деформации ребра элемента становятся равнымиa+ a, b+ b, c+Δc.

Относительные удлинения в главных направлениях

Применяя принцип суперпозиции можно записать:

e1' + e1'' + e1''' , где

e1' ,e1'' ,e1''' - относительное удлинение в направлении σ1 от σ1, σ2, σ3.

Рисунок 3.8 - Деформация элемента

66

Поскольку направление σ1 для самого напряжения σ1 является продоль-

ным, для напряжений σ2 и σ3 является поперечным, то

Сложив эти величины, имеем

Аналогично получаем выражения для двух других главных удлинений. В ре-

зультате:

(3.21)

Формулы (3.21) выражают связь между линейными деформациями и главными напряжениями для случая объемного напряженного состояния, .е.

обобщенный закон Гука. Для случая плоского напряженного состояния при

σ2=0 уравнения (3.21) приобретают вид:

(3.22)

В качестве зависимости между напряжениями и деформациями можно установить связь между относительным изменением объема εv и главными на-

пряжениями.

До деформации элемент имел объем Vo= a·b·cۤ . В деформированном со-

стоянии его объем изменился

67

(3.23)

Учитывая незначительную величину относительных деформаций, произ-

ведениями относительных деформаций можно пренебречь. Тогда относитель-

ное изменение объема

(3.24)

Выразив главные удлинения через главные напряжения на основании обобщенного закона Гука, получаем

(3.25)

При равномерном всестороннем сжатии, когда σ1 = σ2= σ3 = - р

где

(3.26)

В

ели чина К называется модулем объемной деформации. Из (3.26) видно, что при деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассонаµ = 0,5 (на-

пример, резина) объем тела не меняется.

3.6 Потенциальная энергия деформации

Потенциальной энергией деформации называется энергия, которая накап-

ливается в теле при его упругой деформации. В случае линейного растяжения или сжатия удельная потенциальная энергия упругой деформации

Учитывая, что ε = σ/2Е, получим для удельной потенциальной энергии выражение

68

2E

Вычислим удельную потенциальную энергию для элементарного объема в общем случае объемного напряженного состояния на основании принципа суперпозиции. На основании формулы (3.27) имеем

При деформации элемента изменяется , как его объем, так и форма. В со-

ответствии с этим можно считать, что полная удельная потенциальная энергия деформации

где uv - удельная потенциальная энергия изменения объема элемента; uф – удельная потенциальная энергия изменения формы элемента.

Под действием внешних сил объем элемента на основании (3.25) изме-

няется на величину:

69

Сохранение формы параллелепипеда возможно только при действии по всем граням элемента одинаковых напряжений (обозначим их σо). При этом изме-

нение объема параллелепипеда равно на основании (3.32)

Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергии изменения объема, подставим в формулу (3.30) напряжения σ1=σ2=σ3=σ0

Для того чтобы получить удельную потенциальную энергию изменения формы нужно из общей удельной потенциальной энергии(3.30) вычесть удельную потенциальную энергию изменения объема(3.36). После преобразо-

вания получим:

3.7Критерии прочности

3.7.1Назначение критериев прочности

70

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности по известному напряженному состоянию. Установлено, что в каждой точке нагру-

женного тела, в общем случае действует три главных напряжения.

Опыт показывает, что поведение материалов, т. е. начало стадии пласти-

ческих деформаций и характер разрушения(хрупкий, вязкий), зависят от вели-

чины, знака и соотношения главных напряжений.

Поэтому, чтобы судить о прочности материала при сложном напряжен-

ном состоянии, нужно предварительно знать - в какой момент при той или иной комбинации главных напряжений наступает опасное состояние материала.

Наиболее просто эта задача решается для простых видов деформации, т.к. в

этом случае значения предельных напряжений можно установить эксперимен-

тально (по диаграмме растяжения или сжатия). Предельными напряжениями считаются такие, при которых хрупкий материал разрушается, а пластичный материал получает недопустимо большие пластические деформации.

При сложном напряженном состоянии решение этой задачи значительно сложнее, т. к. число различных сочетаний из главных напряжений неограни-

ченно велико, а опыт технически очень сложен. Вследствие этого при составле-

нии условий прочности материала при сложном напряженном состоянии мы можем располагать только допускаемыми напряжениями, установленными по результатам испытаний на простое растяжение или сжатие. В связи с этим воз-

никает задача: зная максимально допустимые безопасные напряжения при про-

стом растяжении, найти эквивалентную, т. е. равно безопасную комбинацию из главных напряжений при сложном напряженном состоянии.

Единственным практическим путем решения этой задачи является уста-

новление общих критериев разрушения, которые позволили бы оценить опас-

ность перехода материала в предельное состояние при сложном напряженном состоянии, используя лишь данные опытов на растяжение. Критерии разруше-

ния или гипотезы прочности представляют собой предположения о преимуще-

ственном влиянии на прочность материалов того или иного фактора, сопутст-

вующего процессу деформации и разрушения материалов. Наиболее важными

71

факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала, яв-

ляются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и по-

тенциальная энергия деформации.

Введение критерия прочности позволяет составить данное сложное -на пряженное состояние с простым, например с одноосным растяжением и уста-

новить при этом такое эквивалентное(расчетное) напряжение, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент запаса (рисунок 3.9)

Коэффициентом запаса прочности при сложном напряженном состоя-

нии называется число, на которое следует умножить все компоненты напря-

женного состояния (или σ1, σ2, σ3), чтобы данное напряженное состояние стало

предельным.

Равноопасными называются такие напряженные состояния, для которых коэффициенты запаса прочности равны. Это дает возможность сравнивать все напряженные состояния между собой, заменяя их равноопасным одноосным напряженным состоянием (растяжением).

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние сталоравно-

опасным заданному напряженному состоянию (рисунок 3.9).

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением,

получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии ус-

ловие прочности при простом растяжении:

Рисунок 3. 9 – Замена сложного напряженного состояния эквивалентным

72