Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Konspekt_Lektsy_Blednova_Zh_M.pdf

Скачиваний:

155

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

3.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

проверяют прочность и жесткость элементов конструкции или соответ-

ственно подбирают их сечения).

Окончательная эпюра изгибающих моментов может быть построена и на основании принципа независимости действия сил и уже имеющихся эпюр от заданной нагрузки и единичных силовых факторов.

Поясним изложенное примером.

10.7 Пример расчета статически неопределимой системы

Стойки и ригель стальной рамы (рисунок 10.4) выполнены из одинаковых стержней двутаврового профиля. Размер l = 5м , интенсивность распределенной нагрузки q =10кН / м , допускаемое напряжение [s ]=160мПа. Подобрать номер двутавра из условия прочности.

Рисунок 10.4 - Заданная система

Рисунок 10.5 - Основная система

Решение

Степень статической неопределимости

m = 5 - 3 = 2

Основную систему (рисунок 10.2) получим, отбросив «лишнюю» шарнирно – неподвижную опору А.

Каноническое уравнение для заданной рамы имеет вид:

ìd11X1+d12 X 2 +D1q=0

îd21X1+d22 X 2 +D2q=0

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений определяем по способу Верещагина (перемножение эпюр). Для этого построим две единичные

189

(от Х1=1 и Х2=1) и грузовую (от распределенной нагрузки q) эпюры моментов

(рисунок 10.6)

1* l

М1

x 1 =1

Рисунок 10.6 - Единичные и грузовая эпюры моментов

Коэффициенты при неизвестных (d11,d12,d 21, d 22) и грузовые коэффи-

циенты (D1qD2q) определяются способом

Верещагина(рис.10.6): перемножая

единичную эпюру М1 саму на себя

æ 1

4l3

;

11 =

l ´ l

l + l ´ l ´ l÷

3EI

è 2

перемножая единичные эпюры

1 на

æ 1

l öö

12 =

´ç

l´ l´ (- l )+ l´l´ç-

÷÷ = -

;

2 øø

перемножая эпюры

Мq на

1 ql2

D1q =

´ç-

´l´ l÷

= -

;

EI x

6EI x

перемножая единичные эпюры

2 на

æ 1

l öö

21 =

´ ç

´ l(- l

)+ l´ l´ ç-

÷÷ = -

EI x

è 2

2 øø

перемножая единичную эпюру

2 саму на себя

22 =

æ 1

l´ l´

+ l´l´l +

l´l

5l3

l÷

EI x è 2

3 ø

3EI x

перемножая эпюры

Мq на

190

D2 q =

ql2

´l´

ql4

EI x 3

24EI x

Подставляем найденные значения коэффициентов в канонические уравнения, полу-

чаем расчетные уравнения:

ì 4l3

X1-

X 2-

6EI x

ï3EI x

EI x

5l3

ql4

X 1+

X 2+

EIx

3EI x

24EI x

Решая эти уравнения, находим значения X1 и X2. Разделим все члены на EIx

ì4l3

X 1 - l3 X 2 -

ql4

= 0

- l

1 +

2 +

Контрольное уравнение (сумма двух):

X 1 +

2l3

X 2

ql4

= 0 .

Выражаем Х2 через Х1 из 1-ого уравнения:

X 2

X 1 -

Подставляем во второе;

X 1

5l3

X 1

ql ö

ql4

= 0 =ñ X1 =

ql » 9,66кН.

- l

´ç

÷ + -

Подставляя в контрольное уравнение, получим Х2

17ql

2l3

X 2 -

ql4

= 0 =ñ X 2

» 4,55кН.

учетом

определенных

неизвестных

реакцийХ1 и Х2 строим эпюры

Q, N и Mх

для основной системы (рисунок 10.7).

191

Рисунок 10.7 – Эпюра поперечных сил Q,кН;

продольных сил N, кН; изгибающих моментов,

кН·м

Опасное сечение в защемлении

N max = 9,66кН ; Q max = 45,45кН ; M x max = 76,7кНм.

Условия прочности по нормальным напряжениям

s = N max + M x max £ [s ] max

A Wx

Для прикидки принимаем (по пониженному допускаемому напряжению)

	М x max		76,7 ´103						-6	3	3
Wx ñ			=				» 511´10			м = 511см .
	[s ]			150´106
Для двутавра №30а (ГОСТ 8239-89): Wx = 518см3 , А = 49,9см2 ,
s max =		9,66´103			+	76,7 ´103		»150´106			Паá[s ]

	49,9´10-4				518´10-6
Проверяем прочность двутавровой рамы №30а по эквивалентным напря-
жениям в	точке		поперечного сечения							стенки	в месте примыкания ее к полке
(точка В)

192

s	В	=		М	Y	=	76,7 ´103		´139,3´10-3 =137,3´106 Па,

					В	7788 ´10-8
				I x
tВ		=	Q ´ Sx			=		45,45´103 ´ 292 ´10-6		= 26,2 ´106 Па.

				I x ´ s		7780´10-8 ´6,5 ´10-3

Выполняем проверку прочности рамы в точкев по третьей гипотезе прочности, сложив нормальные напряжения в этой точке от изгиба и растяже-

ния – сжатия

s	Р	=		N		=	9,66´103			=1,9 ´106 Па(1,9МПа)
							49,9´10-4
				A
så			= sВ +sр =137,3 +1,9 =139,2МПа.
											»149МПа,á[s ].
s 3 =					så2		+ 4tв2	=	139,22 + 4 ´ 26,22

Окончательно принимаем двутавр №30а.

193

11 УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

11.1 Понятие об устойчивости

До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и пере-

мещений, возникающих в стержнях и соответственно, занимались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочно-

сти и жесткости еще не гарантирует способности конструкций выполнять,

предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выпол-

нением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устойчи-

вость конструкций. Под устойчивостью понимается способность системы со-

хранять свое первоначальное равновесное состояние. Если рассматриваемая система таким свойством не обладает, то она называется неустойчивой, а ее равновесное состояние - неустойчивым состоянием.

	а)	б)
Рисунок11.1	- Потеря устойчивости прямолинейного стержня (а)
и	кольца при гидростатическом сжатии (б)

Известно, что равновесие может быть устойчивым, безразличным и неус-

тойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении от положения равновесия система возвращается в первоначальное положение, как только будет устранена причина, вызывающая это отклонение; равновесие на-

зывается неустойчивым, если система не возвращается в исходное положение,

а отклоняется от него еще больше; равновесие называется безразличным, если новое положение системы после отклонения от исходного остается положением равновесия и после удаления внешнего воздействия. Например, прямолинейная форма равновесия длинного прямого стержня, подвергнутого осевому сжатию

194

силой F (рисунок 11.1, а), устойчива только до определенного значения сжи-

мающей силы. Если такой стержень при малых значениях силыF несколько отклонить от исходного положения, то при устранении причин, вызывающих это отклонение, он снова примет первоначальную прямолинейную форму.

Однако при возрастании силы F стержень все медленнее и медленнее бу-

дет возвращаться к своей первоначальной прямолинейной форме, и, наконец,

при некотором значении силыF, называемом критическим, стержень невы-

прямится, а сохранит ту форму, которую ему придали (предполагаются малые отклонения стержня от прямолинейной формы). Таким образом, при значении силы F, равном критическому (F = Fk), стержень будет находиться в условиях безразличного равновесия. Если сила F превысит критическое значение, стер-

жень изогнется и прямолинейная форма равновесия станет неустойчивой. Яв-

ление изгиба стержня продольной силой называется продольным изгибом.

Аналогичные явления наблюдаются в различных упругих системах (пла-

стинках и оболочках). Так, например, при сжатии кругового тонкостенного кольца равномерно распределенными радиальными нагрузками происходит из-

менение его первоначальной круговой формы, как только интенсивность сжи-

мающей нагрузки достигает критического значения (рисунок 11.1, б). В прак-

тических расчетах на устойчивость критическую нагрузку считают разрушаю-

щей и допускаемую нагрузку определяют как часть критической:

[F ]=	Fk	(11.1)
	ny

где ny - коэффициент запаса устойчивости.

Величина коэффициента запаса устойчивости принимается примерно равной запасу прочности. Например, для стали принимают ny=2÷4 в зависимо-

сти от условий работы конструкции, а для неоднородных материалов запас ус-

тойчивости значительно увеличивают.

Следует иметь в виду, что для гибких стержней потеря устойчивости мо-

жет произойти при напряжениях, значительно меньших допускаемых напряже-

ний, принятых для расчета на прочность. Поэтому расчет стержней должен вы-

195

полняться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критиче-

ского значения с точки зрения потери их устойчивости:

s < s	k	=	Fk	,	(11.2)

			A

где Fk - значение сжимающей силы, при котором стержень переходит из пря-

молинейного состояния равновесия к криволинейному; A - площадь сечения стержня.

11.2 Определение критической силы. Задача Эйлера

Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне с двумя шарнирно опертыми концами при действии центрально сжимающей си-

лы F (рисунок 11.2). Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине ХVIII века и носит его имя.

Рисунок 11.2 -Потеря устойчивости шарнирно закрепленного стержня Предположим, что шарнирно закрепленный по концам прямой стержень,

сжатый силой F=Fk, был выведен некоторой силой из состояния прямолиней-

ного равновесия и остался изогнутым после устранения силы. Если прогибы стержня малы, то приближенное дифференциальное уравнение его оси будет иметь такой же вид, как и при поперечном изгибе бруса:

EI x y¢¢(z)= M x(z),	(11.3)
где Ix - минимальный момент инерции сечения.
Для определения выражения изгибающего	моментаMx (z), действующего

в поперечном сечении стержня, расположенном на расстоянии z от начала ко-

ординат, воспользуемся методом сечений

M x = - y . (11.4)

196

При положительном прогибе в выбранной системе координат знак“ми-

нус” означает, что момент является отрицательным Введем следующее обозначение:

	F	= k 2 .	(11.5)

	E I x
Тогда уравнение(11.3) преобразуется к			виду:
	y¢¢ + k 2 y = 0 .		(11.6)
Решение (11.6) записывается в виде:
	y = C1 sin k z + C2 cos k z .		(11.7)

Здесь С1 и С2 - постоянные интегрирования, определяемые из условий за-

крепления стержня, так называемых граничных или краевых условий.

Как видно из риcунка11.2, при z=0 прогиб у=0. Это условие будет вы-

полнено, если С2=0. Следовательно, изогнутая ось стержня является синусои-

дой
Из второго условия, при z=l прогиб у=0, следует, что
y(z) = C1Sinkz	(11.8)

Константа С1, представляющая собой наибольший прогиб стержня, не может быть равна нулю, так как приС1=0 возможна только прямолинейная форма равновесия, а мы ищем условие, при котором возможна и криволинейная форма равновесия.

y(l) = C1Sinkl = 0 ,

Отсюда следует, что криволинейные формы равновесия стержня могут существовать, если kl принимает значения π,2π,.nπ. Величина l не k может быть равна нулю, так как это решение соответствует случаю, когда Fk=0. Следова-

тельно

kl= nπ

Учитывая (11.5), получаем:

F =	p 2n2 E I x		.	(11.9)

k		2
	l

197

Выражение (11.9) называется формулой Эйлера.

Величина наибольшего прогиба стержня С1 в приведенном решении оста-

ется неопределенной, она принята произвольной, но предполагается малой.

Величина критической силы, определяемая формулой (11.9), зависит от коэф-

фициента n. Выясним геометрический смысл этого коэффициента.

Выше мы установили, что изогнутая ось стержня является синусоидой,

уравнение которой после подстановки k=πn/l в выражение принимает вид

y = C1 sin p n z l

Синусоиды для n=1, n=2 изображены на рисунке 11.3. Нетрудно заметить,

что величина n представляет собой число полуволн синусоиды, по которой изо-

гнется стержень. Очевидно, стержень всегда изогнется по наименьшему числу полуволн, допускаемому его опорными устройствами, так как согласно (11.9)

наименьшему n соответствует наименьшая критическая сила. Только эта первая критическая сила и имеет реальный физический смысл.

Рисунок 11.3 - Формы потери устойчивости стержня,

отвечающие различным значениям n

Для стержня с шарнирными концевыми опорами без промежуточных за-

креплений реальный смысл имеет первая критическая сила

Fk =	p 2E Imin		(11.10)
	l	2

Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы

Формула (11.10), как следует из ее вывода, справедлива не только для стержня с шарнирно закрепленными концами, но и для любого стержня, кото-

рый изогнется при выпучивании по целому числу полуволн. Применим эту

198

формулу, например, при определении критической силы для стержня, опорные устройства которого допускают только продольные смещения его конц

(стойка с заделанными концами). Как видно из рисунка11.4, число полуволн изогнутой оси в этом случае n=2 и, следовательно, критическая сила для стерж-

ня при данных опорных устройствах

Рисунок 11.4 - Форма потери устойчивости для разных способов закрепления концов стержня

Fk =	4p 2E Imin		или	Fk =	p 2EImin	(11.11)
	l	2			(0,5l)2

При изменении условий закрепления концов стержня необходимо реше-

ние дифференциального уравнения (11.5) при соответствующих граничных ус-

ловиях. При сопоставлении этих решений нетрудно заметить, что все они имеют одинаковое строение, и их можно обобщить на случай любых опорных устройств стойки, если записать формулу Эйлера в виде

Fk =	p 2EImin		(11.12)
	(m ×l)	2

Здесь μ=1/n - величина, обратная числу полуволн n синусоиды, по кото-
рой изогнется		стержень. Постоянная величина μ называется коэффициентом

приведения длины, а произведение μl - приведенной длиной стержня. Приве-

денная длина есть длина полуволны синусоиды, по которой изгибается этот стержень. Случай шарнирного закрепления концов стержня называется основ-

ным. Из сказанного выше следует, что критическая сила для любого случая за-

крепления стержня может быть вычислена по формуле для основного случая

199

Используя соотношение i2

при замене в ней действительной длины стержня его приведенной длинойμl.

Коэффициенты приведения μ для некоторых стоек приведен на рисунке 11.5.

Рисунок 11.5 - Значения коэффициента приведенной длины для сжатых стержней при различных способах закрепления концов

11. 3 Границы применимости формулы Эйлера.

Построение графика критических напряжений

Вывод формулы Эйлера основан на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии стержня. Это уравнение справедливо только в преде-

лах линейной зависимости между напряжениями и деформациями, поэтому и формула Эйлера применима только до тех пор, пока критические напряжения,

определяемые по этой формуле, не превосходят предела пропорциональности

σпц, т. е. при условии

sK = FK

=	p 2 EI	=	p 2 E		£ s
=		=			£ s
	(ml 2) A		æ ml ö2		пц
	(ml 2) A		æ ml ö2
			ç	÷
			ç	÷
			è i	ø

min=Imin/А, где imin - наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня, можем записать это условие так:

		p 2Ei2
sKP	=			min	£ sпц	или
			(ml	2)

sK P	=		p 2 E	£ sпц		(11.13)
			l2

200

Безразмерная величина λ называется гибкостью стержня:

l =	ml	(11.14)

В понятии гибкость находят отражение длина стержня, геометрические параметры поперечных сечений, условия его закрепления и вид нагружения внешними силами.

Определим из уравнения (11.13) предельное значение гибкости, при кото-

рой формула Эйлера справедлива.

lп ред ³ p (11.15)

sпц

Для конструкционной малоуглеродистой стали с σпц=210 МПа и E=2.1·105

МПа формулой Эйлера можно пользоваться лишь при гибкости стержня

lп ред ³ 3,14 2,1×105 » 100 ,

210

а для алюминиевого сплава Д16Т с σпц=200 МПа и E=0.75·105 МПа при

lп ред ³ 3,14 0,75 ×105 » 60 .

200

В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности,

получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между на-

пряжениями и деформациями становится нелинейной. В связи с этим, в этих случаях пользуются эмпирическими зависимостями. В частности,

Ф.С. Ясинский предложил следующую формулу для критических по устойчи-

вости напряжений:

sк = a - bl ,

(11.16)

где a, b - постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст.3

a = 3,1×105 кН/м2, b = 11,4×102 кН/м2.

При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне0< l< 40¸50, стержень на-

столько “короток”, что его разрушение происходит по схеме сжатия, следова-

тельно, критические напряжения можно приравнять в этом случае к пределу

201

пропорциональности. Обобщая вышесказанное, зависимость критических на-

пряжений sК от гибкости стержняl можно представить в виде графика(рису-

нок 11.6)

прямая

Ясинского

гипербола

Эйлера

λт

Рисунок 11.6 - График критических напряжений

11.4 Расчет на устойчивость по коэффициенту

снижения основного допускаемого напряжения

Вместо двух формул (Эйлера и Ясинского), каждая из которых пригодна для определенного диапазона гибкостей, удобнее иметь одну формулу, которой можно пользоваться при любой гибкости стержня.

Эта практическая формула имеет следующий вид:

s =	F	£ j ×[s ]	(11.17)

	A

где [σ] - основное допускаемое напряжение на сжатие; φ - коэффициент сниже-

ния основного допускаемого напряжения; А - площадь поперечного сечения стержня.

Величина φ зависит от материала и гибкости стержня. Его значения при-

ведены в таблице 11.1.

Величина φ[σ] может рассматриваться как допускаемое напряжение при расчете на устойчивость, т. е.

[s ]у = j[s ]

(11.18)

202

Таблица 11.1- Значения коэффициента снижения основного допускаемого напряжения

	Гибкость,			φ для
	Гибкость,			φ для
	λ
	λ	сталей	стали	стали повы-	чугуна
		сталей	стали	стали повы-	чугуна
		Ст 1,2,З,4	Ст5	шенного каче-
				ства σпц>320
				МПа
0		1.00	1.00	1.00	1.00	1.00

10		0.99	0.98	0.97	0.97	0.99

20		0.96	0.95	0.95	0.91	0.97
30		0.94	0.92	0.91	0.81	0.93
40		0.92	0.89	0.87	0.69	0.87
50		0.89	0.86	0.83	0.57	0.80
60		0.86	0.82	0.79	0.44	0.71
70		0.81	0.76	0.72	0.34	0.60
	80	0.75	0.70	0.65	0.26	0.48
	80	0.75	0.70	0.65	0.26	0.48
90		0.69	0.62	0.55	0.20	0.38
100		0.60	0.51	0.43	0.16	0.31
	110	0.52	0.43	0.35	-	0.25
	110	0.52	0.43	0.35	-	0.25
120		0.45	0.37	0.30	-	0.22
130		0.40	0.33	0.26	-	0.18

140		0.36	0.29	0.23	-	0.16
150		0.32	0.26	0.21	-	0.14
160		0.29	0.24	0.19	-	0.12

170		0.26	0.21	0.17	-	0.11
180		0.23	0.19	0.15	-	0.10
190		0.21	0.17	0.14	-	0.09

200		0.19	0.16	0.13	-	0.08

Для подбора сечения формулу (11.1) приводят к следующему виду:

А ³	F	.	(11.19)

	k ×[s ]

При этом значением φ приходится задаваться, так как гибкость λ неиз-

вестна, ибо неизвестна площадь сечения А, а гибкость зависит от нее. В качест-

203

ве первого приближения рекомендуется приниматьφ1=0,5. Затем определяют величины А, Imin, imin, λ и по таблице 11.1 находят соответствующее значение φ1.

Если получается большая разница между значениямиφ1 и φ2, то следует повторить расчет, задавшись новым значением φ2:

j2= j1 + j2

и т. д., пока разница между последовательными значениями не будет превы-

шать 4-6%.

Для стержней, сечения которых имеют значительные ослабления(напри-

мер, от отверстий), кроме расчета на устойчивость должен производиться и обычный расчет на прочность по формуле

s =	F	£ [s ],	(11.20)
	Aнетто

где А - рабочая (нетто) площадь сечения стержня.

При расчете же на устойчивость берется полная площадь сечения

Абрутто.

При определении рациональной формы сечения при расчете на устойчи-

вость сопоставление производят по удельному радиусу инерции ρmin.

rmin = imin A , (11.21)

В таблице 11.2 приведены значения ρmin для некоторых наиболее распро-

страненных сечений:

Таблица 11.2 -Значения ρmin для некоторых сечений

	Тип сечения	ρmin
	Тип сечения	ρmin

	Прямоугольник при h/b=2	0.204
	Квадрат	0.289
	Круг	0.36

	Двутавр	0.27-0.41

204

	Швеллер	0.38-0.45
	Швеллер	0.38-0.45
	Уголки равнобокие	0.4-0.6
	Кольцо при α=0.7-0.9	0.86-1.53

Как видно из таблицы11.2, наименее выгодными являются прямоуголь-

ные сплошные сечения, у которых моменты инерции относительно главных осей не равны между собой и, следовательно, не соблюдается принцип равной устойчивости стержня в обеих главных плоскостях инерции.

Наиболее выгодными являются кольцевые, а также коробчатые тонко-

стенные сечения. Подсчеты показывают, что замена сжатых сечений в виде уголков и двутавров трубчатыми стержнями дает экономию в материале до2040%.

11.5 Продольно-поперечный изгиб

При совместном действии на балку продольной и поперечной силы нель-

зя ограничиться простым суммированием напряжений от изгиба и от продоль-

ной силу на основании принципа независимости действия сил. Поперечная на-

грузка F искривляет балку (рисунок 11.7). Приложение сжимающей продоль-

ной силы N увеличивает искривление, т.к. появляются добавочные изгибающие моменты от силы N на плече, равном прогибу балки в данном сечении. Полный

прогиб балки равен сумме прогибов	от действия поперечной нагрузки и от
продольной силы
y=yF+yN	(11.22)
Изгибающий момент в текущем сечении балки также равен суммемо-
ментов от поперечной нагрузки MР и от продольной силы N на плече y.
M = M F + Ny	(11.23)

Для вычисления нормальных напряжений можно воспользоваться мето-

дикой, изложенной в главе 8 (совместное действия изгиба и продольной силы),

только вместо момента от поперечной нагрузки следует брать полный -изги бающий момент по формуле (11.23). Наибольшие напряжения

205

smax =	N	+	M F + Ny	,	(11.24)
	A		W

где W – момент сопротивления сечения балки изгибу

Рисунок 11.7 - Продольно-поперечный изгиб

В этой формуле остается неопределенным прогиб y, для вычисления ко-

торого необходимо составить дифференциальное уравнение изогнутой оси с учетом того, что изгибающий момент определяется выражением (11.23). Для рассматриваемого случая дифференциальное уравнение изогнутой оси приоб-

ретает вид:

EI	d2 y	= M F + Ny	(11.25)
	dz 2

Точное решение задачи о продольно-поперечном изгибе дает интегриро-

вание этого уравнения при заданных граничных условиях, определяемых спо-

собом закрепления балки. Ограничимся приближенным решением этого урав-

нения, для случаев, когда прогибы балки можно приближенно считать изме-

няющимися по длине балки по синусоидальному закону:

y(z) = ymaxSin					n ×p × z		,	(11.26)

						l
где n –число полуволн синусоиды по длине балки, тогда
¢¢		p 2			p

	= -			y × Sin z				(11.27)
yN			l 2
						l

Из уравнения (11.25) имеем

206


ymax =	ymax F		,	(11.28)

1 +		N

Nэ

где растягивающая сила N имеет знак «плюс», сжимающая – «минус»;

Nэ - критическая сила, вычисляемая по формуле Эйлера.

Таким образом, растягивающая сила уменьшает прогиб при продольно-

поперечном изгибе по сравнению с поперечным изгибом, а сжимающая сила – увеличивает. Это решение можно использовать для приближенного определе-

ния максимального прогиба при произвольном законе поперечной нагрузки, ес-

ли правильно выбрать величину n.

По мере приближения продольной силы к критическому значению второе слагаемое знаменателя в формуле (11.28) приближается к (-1) (сжимающая си-

ла отрицательна), прогиб быстро растет. Моменту потери устойчивости соот-

ветствует бесконечно большие значения прогиба. При выводе формулы (11.28)

изменение формы балки при изгибе не учитывалось, поэтому она дает хоро-

ший результат при малом прогибе. Рекомендуется пользоваться этой формулой,

когда продольная сила не более 0,6 Nэ.

Наибольшие (сжимающие) нормальные напряжения определяются выра-

жением:

s = -

(11.29)

A W

×W

ç1

Nэ

12 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИХСЯ

НАПРЯЖЕНИЯХ

207

12.1 Переменные напряжения. Усталость

Многие детали машин и механизмов, а также конструкции сооружений в процессе эксплуатации подвергаются циклически изменяющимся во времени воздействиям. Если уровень напряжений, вызванный этими воздействиями,

превышает определенный предел, то в материале формируются необратимые процессы накопления повреждений, которые в конечном итоге приводят к раз-

рушению системы.

Процесс постепенного накопления повреждений в материале под дейст-

вием переменных напряжений, приводящих к разрушению, называется устало-

стью. Свойство материала противостоять усталости называетсявыносливо-

стью

Для раскрытия физической природы процесса усталостного разрушения качестве примера рассмотрим ось вагона, вращающуюся вместе с колесами

(рисунок 12.1, а), испытывающую циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы и являются постоянными величинами. Происходит это в резуль-

тате того, что части вращающейся оси оказываются попеременно то в растяну-

той, то в сжатой зонах.

Рисунок 12.1 - Изменение напряжений при симметричном цикле

В точке А (рисунок 12.1, б) поперечного сечения оси вагона имеем:

208

s = М y ,

I x

где y = (D/2)×sin j, j = wt, а w - круговая частота вращения колеса. Тогда:

s = Fa D sin wt . I x 2

Таким образом, нормальное напряжениеs в сечениях оси меняется по синусоиде с амплитудой:

12.2 Механизм усталостного разрушения

Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали(усталостное разрушение), в

то время, как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит. Число циклов до момента разрушения зависит от величиныsа, и

меняется в широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бы-

вает достаточно 5¸10 циклов, а при меньших напряжениях разрушение может наступить при гораздо большем числе циклов или вообще не наступить.

После разрушения на поверхности излома детали обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны (рисунок 12.2) В одной зоне кристаллы раз-

личаются невооруженным глазом с большим трудом. Поверхность излома име-

ет сглаженные очертания. В другой зоне явно выступают признаки свежего хрупкого разрушения. Кристаллы имеют острую огранку и блестящую чистую поверхность. В целом создается первое впечатление, что подобного рода раз-

рушение связано с изменением кристаллической структуры металла. Именно этим и объяснялось в свое время разрушение при циклических напряжениях.

Описанное явление получило тогда название усталости, а направление иссле-

дований, связанных с прочностью, стало называться усталостной прочно-

стью. В дальнейшем точка зрения на причины усталостного разрушения изме-

нилась, но сам термин сохранился.

209

а)

б)

в)

Рисунок 12.2 -

Усталостное разрушение образцов и деталей

В настоящее время установлено, что структура металла при циклических нагрузках не меняется. Начало разрушения носит чисто местный характер. В

зоне повышенных напряжений, обусловленных конструктивными, технологи-

ческими или структурными факторами, может образоваться микротрещина.

При многократном изменении напряжений кристаллы, расположенные в зоне трещины, начинают разрушаться и трещина проникает в глубь тела. Соприка-

сающиеся поверхности в зоне образовавшейся трещины испытывают контакт-

ное взаимодействие, в результате чего кристаллы истираются, а поверхности приобретают внешний вид мелкозернистой структуры. Так образуется одна из зон поверхности будущего излома.

210

В результате развития трещины сечение ослабляется. На последнем этапе происходит внезапное разрушение. Излом имеет характерную поверх-

ность с неповрежденными чистыми кристаллами. Из фотографии (рисунок

12.2) видно, что разрушение образца после ионного азотирования формируется под поверхностным слоем с образованием так называемого«рыбьего глаза»,

что объясняется особенностью распределения технологических остаточных на-

ряжений, разрушение образца с поверхностным слоем из материала с эффектом памяти формы также начинается под модифицированным поверхностным сло-

ем, разрушение рельса обусловлено развитием трещины, образовавшейся внутри сечения в зоне местного дефекта. Усталостное разрушение происходит,

как правило, без заметной пластической деформации детали.

Теоретический анализ усталостной прочности связан с большими трудно-

стями. Природа усталостного разрушения обусловлена особенностями молеку-

лярного и кристаллического строения вещества. Поэтому схема сплошной сре-

ды, которая с успехом применялась в рассматривавшихся до сих пор задачах, в

данном случае не может быть принята в качестве основы для исследования. За-

конченной теорией усталостного разрушения до сих пор нет. В настоящее вре-

мя интенсивно развиваются вероятностные методы расчетов на усталость, как более перспективные и эффективные. Одновременно продолжается процесс на-

копления экспериментальных данных, на основе которых уточняются сущест-

вующие и создаются новые расчетные методы.

12.3 Характеристики цикла

Характер изменения напряжений во времени отличается большим разно-

образием. Часто конструкции испытывают действие нагрузок, случайным обра-

зом изменяющихся во времени. В то же время можно привести много приме-

ров, когда напряжения в деталях машин и даже конструкций представляют со-

бой периодическую функцию времени. Рассмотрим сначала случаи, когда на-

пряжения в детали изменяются во времени периодически.

211

Однократная смена напряжений, т. е. совокупность последовательных значений напряжений за один период, называется циклом.

Если максимальное значение напряжений(σmax или τmax) и минимальное значение напряжений (σmin или τmin) численно равны между собой, но противо-

положны по знаку, то цикл изменения напряжения называется симметричным

(рисунок 12.3,а). Если же максимальные и минимальные напряжения не равны между собой, то цикл называется асимметричным (рисунок 12.3,в).

а)		б)		в) асимметричный цикл

г)

		Рисунок 12.3 - Виды циклов
Пусть напряжения		изменяются по закону, представленному на рисун-
ке 12.3. Величина
r =	smin	(12.1)

s max

называется коэффициентом асимметрии цикла. Для симметричного цикла когда smax = -smin, r = -1.. Если smin = 0 или smax = 0, то r = 0 и цикл называется

пульсационным (рисунок 12.3,б). При простом растяжении или сжатии(когда smax = smin) r = +1. Циклы, имеющие одинаковый коэффициент асимметрии на-

зываются подобными. Как показывает опыт, форма цикла переменной нагруз-

ки (рисунок 12.3,г) незначительно влияет на сопротивление усталостному раз-

рушению.

Введем две следующие величины:

s m = s max + s min ;s а = s max - s min ,
2	2

212

где sm - средние напряжения цикла, sа - амплитуда цикла.

Всякий асимметричный цикл можно представить как результат наложе-

ния симметричного цикла на постоянное среднее напряжение.

12.4 Определение предела выносливости

Опыт показывает, что разрушение материала при переменных напряже-

ниях наступает не сразу, а после многократного изменения нагрузки, причем число циклов, при котором происходит разрушение, оказывается тем меньше,

чем выше максимальное напряжение цикла.

Экспериментально установлено, что число циклов, при котором происхо-

дит разрушение, зависит не только от величины максимального(по абсолют-

ному значению) напряжения, но и от амплитуды колебания напряжений. Чем больше σa при одном и том жеσmax, тем меньше перемен нагрузки выдержит материал, поэтому из всех циклов наиболее опасным является симметричный.

Экспериментальным путем также установлено, что для многих материа-

лов существует такое значение максимального напряжения, зависящее от сте-

пени асимметрии цикла, при котором материал выдерживает неограниченное число перемен нагрузки (циклов).

Наибольшее по абсолютному значению напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения за бесконечно большое число циклов,

называется пределом неограниченной выносливости - σr.

Пределом ограниченной выносливости называется максимальное -на пряжение, соответствующее заданной (базовой) долговечности. В качестве ба-

зовой долговечности обычно принимают Nб=106, 107 или 5·107 циклов.

Пределы неограниченной выносливости обозначаются символами σr или τr с

указанием в индексе значения коэффициента асимметрии цикла, для которого эти величины определялись. Так, σ-1 и τ-1 представляют собой пределы вынос-

ливости при симметричном цикле, а σo и τo - при отнулевом цикле.

213

Предел выносливости материала определяется путем испытания иден-

тичных образцов при различных значениях σmax, но при неизменном коэффици-

енте асимметрии r и регистрации количества циклов, при котором происходит разрушение каждого образца. Для этой цели используется партия (не менее 1030), образцов обычно круглого сечения диаметром7-10 мм. Во избежание кон-

центрации напряжений образцам придается плавная форма, а поверхность тща-

тельно шлифуется или полируется (рис. 12.4).

Рисунок 12.4

Количество циклов, выдерживаемых образцом или деталью перед разру-

шением, называется циклической долговечностью.

Результаты испытаний представляются графически в видекривой уста-

лости. По оси ординат откладываетсяσmax - максимальное напряжение цикла,

при котором испытывался образец, а по оси абсцисс - число N циклов, которое выдержал образец перед разрушением. Обычно на каждом уровне напряжений

σmax испытывается несколько образцов, и по результатам испытаний определя-

ется среднее значение разрушающего числа циклов. Различные виды кривых усталости приведены на рисунках 12.5.

Эксперименты показывают, что кривая усталости образцов из большин-

ства конструкционных сталей и легких (алюминиевых, магниевых, титановых и др.) сплавов, асимптотически приближается к горизонтальной прямой. Отрезок,

отсекаемый этой прямой на оси ординат, определяет предел неограниченной выносливости материала σr или τr при данном коэффициенте асимметрии цикла r (рисунок 12.5,а).

214

а)

б)

Рисунок 12.5 - Кривые выносливости

Часто кривые усталости строят в полулогарифмических или двойных ло-

гарифмических координатах, откладывая по оси абсцисс логарифм числа цик-

лов lgN, соответствующих разрушению образца, а по оси ординат - максималь-

ное напряжение циклаσmax или lgσmax. Кривая усталости в полулогарифмиче-

ских координатах имеет вид, представленный на рисунке 12.5,б. Она состоит из двух прямых, причем вторая прямая почти горизонтальна.

Для сталей предел ограниченной выносливости, определенный на базе

Nб=107 циклов можно принять за предел выносливости, так как если стальной образец выдержал 107 циклов, то он может выдержать практически неограни-

ченное число циклов. Для цветных металлов за предел выносливости принима-

ется ограниченный предел, определенный на базе от 5·107 до 108 циклов.

Результаты экспериментальных исследований показали, что пределы вы-

носливости одного и того же материала при растяжении и кручении меньше предела выносливости при изгибе. В справочной литературе обычно приводят-

ся значения σ-1, полученные по результатам испытаний на переменный изгиб.

Были предприняты многочисленные исследования для установления связи пре-

дела выносливости σ-1 с другими механическими характеристиками материала.

Обычно, для сталей, предел выносливости при изгибе составляе s-1 » (0,4 ¸ 0,5) sВ . Для высокопрочных сталей s-1 » (400 + 0,167 sВ) МПа. Для цветных металлов s-1 » (0,25 ¸ 0,5) sВ . При кручении для обычных сталей име-

ем t-1 » 0,56 s-1 . Для хрупких металлов t-1 » 0,8 s-1 . Приведенные соотноше-

ния надо рассматривать как ориентировочные.

215

12.5 Влияние коэффициента асимметрии цикла на

сопротивление усталостному разрушению

Экспериментальное определение предел выносливости для каждого из возможных значений коэффициента асимметрии цикла вызывает значительные сложности. Предел выносливости материала зависит от степени асимметрии цикла. Эта зависимость изображается графически в видедиаграммы предель-

ных амплитуд, в которой по оси абсцисс откладывается значение среднего на-

пряжения цикла σm, а по оси ординат - предельное значение амплитуды цикла σa

(рисунок 12.6, а).

Диаграммы предельных амплитуд строятся по результатам испытаний на усталость образцов из исследуемого материала.

а)		б)

Рисунок 12.6 -Диаграмма предельных амплиттуд

Если для построения диаграммы предельных амплитуд не имеется доста-

точного числа экспериментальных точек, то ее строят. Приближенная, или, как ее часто называют, схематизированная диаграмма предельных амплитуд пред-

ставлена на рисунке 12.6, б. Начальный участок диаграммы заменяется прямой,

проходящей через две точки, соответствующие предельному симметричному циклу (σa=σ-1, σm=0) и предельному отнулевому циклу(σa=σm=σo/2). Такая схе-

матизация была предложена С. В. Серенсеном и Р. С. Кинасошвили.

216

Каждая пара значенийsm и sа, характеризующая предельный цикл, изо-

бражается точкой на диаграмме. Совокупность таких точек образует кривую АВ

(рисунок 12.6,а), отделяющую безопасную область (содержащую начало коор-

динат) от области циклических разрушений. Любой из возможных циклов мо-

жет быть изображен на этой диаграмме рабочей точкой(P.T.) с координатами

(sm , sа ) и в зависимости от того, в какую из областей попала точка можно су-

дить о безопасности данного цикла.

12.6 Влияние концентрации напряжений и масштабного фактора

на сопротивление усталостному разрушению

Одним из основных факторов, оказывающих существенное влияние на

усталостную прочность, является концентрация напряжений			Основным по-
казателем местных напряжений являетсякоэффициент концентрации				на-
пряжений:
kT =	s max	,	(12.2)

s н мМ

где smax - наибольшее местное напряжение, sНОМ - номинальное напряжение.

Например, для полосы с отверстием (рис. 12.7) от действия продольной силы F

в кольцевых сечениях, имеем:

s ном = F .

Определенный по(12.2) коэффициент концентрации напряжений не учи-

тывает многих реальных свойств материала (его неоднородность, пластичность и т. д.), в связи с чем, вводится понятие эффективного коэффициента кон-

центрации к-1.:

к-1 = s -1 ,

s ¢-1

217

где s-1 - предел выносливости при симметричном цикле на гладких образ-

цах, s¢-1 - предел выносливости при симметричном цикле на образцах с нали-

чием концентрации напряжений.

	Рисунок 12.8 - Влияние масштабного
	фактора на величину предела
	Рисунок 12.7 -
Концентрация напряжений	выносливости
Концентрация напряжений

Между кT и к-1 существует следующая зависимость:

к-1 = 1 + q(кT -1) ,

(12.3)

где q - коэффициент чувствительности материала к концентрации напря-

жений, q » 1 - для высокопрочных сталей; q = 0,6 ¸ 0,8 - для конструкционных сталей. Чувствительность материала к концентрации напряжений зависит,

прежде всего, от свойств материала и возрастает с повышением предела проч-

ности. Поэтому применение высокопрочных материалов при переменных -на грузках не всегда является целесообразным. Ниже приведены ориентировочные значения qσ для некоторых материалов:

qσ = 0,2-0,4 – для сталей низкой прочности; qσ= 0,4-0,6 – для сталей средней прочности; qσ = 0,6-0,8 – для сталей высокой прочности; qσ = 0,7-0,9 – для алюминиевых сплавов;

qσ = 0,9-1,0 – для титановых сплавов.

218

Как показывает опыт, коэффициент чувствительности зависит также от размеров детали и ее формы. Поэтому в практических расчетах целесообразнее пользоваться эффективными коэффициентами, найденными эксперименталь-

ным путем. В справочной литературе имеются графики коэффициентов кон-

центрации напряжений для многих видов концентраторов напряжений.

Необходимо отметить, что концентрация напряжений может быть обу-

словлена не только очертанием деталей, но и наличием внутренней неоднород-

ности и трещин. Например, чешуйки графита в чугуне являются источниками весьма высокой концентрации напряжений, которая перекрывает эффект внеш-

них концентраторов напряжений.

С увеличением абсолютных размеров поперечных сечений детали предел выносливости понижается. Масштабный эффект объясняется металлургиче-

ским фактором, связанным со снижением механических свойств металла с рос-

том размеров отливки или поковки, так как при этом возрастает неоднород-

ность металла, ухудшается прокаливаемость при термообработке и т.д.

Технологический фактор обусловлен образованием остаточных напряже-

ний в поверхностных слоях при механической обработке детали, которые по-

разному влияют на предел выносливости деталей больших и малых размеров.

Статистический фактор связан с тем, что в деталях больших размеров больше вероятность попадания структурных дефектов в область повышенных напряжений.

Влияние масштабного фактора на предел выносливости оценивается в расчетах коэффициентом εσ, представляющим собой отношение предела вы-

носливости гладкого образца данного диаметраD к пределу выносливости стандартного образца диаметром d = 7-10 мм:

es	=	s -1D	;et	=	t -1D	.	(12.4)

		s -1			t -1

где s-1D, t-1D - предел выносливости рассматриваемой детали на растяжение и сдвиг, соответственно; s-1,t-1 -предел выносливости образца с диаметромd

=(8 ¸ 12) × ×10-3 м.

219

Графики es, et изображены на рисунке12.8, где кривая 1 относится к уг-

леродистой стали, 2 - к полированной стали, 3 - к полированной стали с нали-

чием концентрации напряжений, 4 - к сталям, имеющим высокую степень кон-

центраций напряжений.

12.7 Влияние состояния поверхности на сопротивление

усталостному разрушению

На поверхности детали почти всегда имеются риски от обработки резцом,

мелкие царапины, следы коррозии и т. д., которые являются концентраторами напряжений. Дефекты поверхности приводят к снижению сопротивления уста-

лости детали. Опытами установлено, что предел выносливости образцов с по-

лированной поверхностью выше, чем у шлифованных, а у шлифованных выше,

чем у обработанных резцом, и т. д.

Влияние чистоты поверхности на предел выносливости оценивается -ко эффициентом качества поверхности b, равным отношению предела выносливо-

сти образца с заданной обработкой поверхности к пределу выносливости такого же образца, но с тщательно шлифованной поверхностью:

b =	s-1n	,	(12.5)

s-1

На рис. 12.9 приведена зависимость коэффициента b от предела прочно-

сти материала для различных видов обработки поверхности.

Рисунок 12.9

Влияние чистоты поверхности на величину предела выносливости

220

Прямая 1 относится к шлифованным образцам, 2 - к образцам с полиро-

ванной поверхностью, 3 - к образцам, имеющим поверхность обработанную резцом, и наконец, 4 - к образцам поверхность которых обработана после про-

ката.

Необходимо отметить, что применение некоторых технологических ме-

тодов упрочнения поверхности детали при правильном их выполнении приво-

дит к значительному повышению ее сопротивления усталости. К таким методам относятся:

- наклеп поверхностного слоя путем поверхностного пластического де-

формирования (обдувки дробью, накатки роликом и т.п.);

-цементация, азотирование и цианирование поверхностного слоя;

-закалка токами высокой частоты.

Влияние технологических факторов на усталостную прочность оценива-

ется коэффициентом поверхностного упрочнения KV.

Положительное влияние технологической обработки поверхностного слоя детали связано, в первую очередь, с созданием в этом слое остаточных сжимающих напряжений, наличие которых затрудняет развитие усталостных трещин. В результате сопротивление усталости детали повышается.

Остаточные напряжения сжатия при таком широко распространенном в настоящее время способе повышения сопротивления усталости детали, как на-

клеп ее поверхности, вызывается большим пластическим деформированием по-

верхностного слоя при обдувке стальной дробью или прокатке роликами. Тол-

щина поверхностного слоя при этом уменьшается, а его продольные размеры увеличиваются, вызывая упругое растяжение материала внутренней части дета-

ли. Внутренние волокна после окончания процесса наклепа стремятся умень-

шить свои размеры до исходных и вызывают сжатие пластически деформиро-

ванных волокон поверхностного слоя. Кроме того, пластическое деформирова-

ние вызывает повышение упругих свойств материала и, что очень существенно,

сглаживает различного рода царапины, задиры на поверхности детали, являю-

щиеся концентраторами напряжений. Все эти факторы и являются главной

221

причиной повышения сопротивления усталости при наклепе поверхностного слоя детали. Однако надо иметь в виду, что слишком интенсивный наклеп спо-

собствует появлению в поверхностных слоях детали микротрещин, которые могут снизить ее усталостную прочность.

При закалке токами высокой частоты и азотировании также создаются значительные сжимающие напряжения в поверхностном слое детали. В то же время такие часто применяемые покрытия стальных деталей, как никелирова-

ние и хромирование, заметно снижают предел выносливости детали, хотя и не влияют на их статическую прочность, причем снижение сопротивления устало-

сти тем больше, чем толще слой хрома или никеля. Объясняется это значитель-

ными остаточными растягивающими напряжениями в поверхностном слое при хромировании и никелировании. Аналогичное явление имеет место и при по-

крытии поверхности стальной детали слоем меди.

12.8 Влияние внешней среды на сопротивление

усталостному разрушению

Все металлы, находясь в контакте с газообразной или жидкой средой,

подвергаются коррозии. На поверхности детали появляются язвинки коррозии,

являющиеся причиной высокой концентрации напряжения. Особенно интен-

сивно развивается коррозия при действии растягивающих напряжений. Другой вид коррозии - коррозия под напряжением проявляется в виде межкристалличе-

ских и внутрикристаллических трещин почти без всяких признаков образова-

ния продуктов коррозии.

При переменных нагрузках коррозия существенно снижает сопротивле-

ние усталости, особенно легких сплавов. В сталях снижение предела выносли-

вости от коррозии тем больше, чем более высокопрочна сталь.

При наличии коррозионной среды на сопротивление усталости оказывает влияние и время испытания; разрушающее число циклов уменьшается при уменьшении частоты изменения напряжений, а кривая усталости даже у черных

222

металлов не имеет горизонтальной асимптоты. Количественные характеристи-

ки снижения выносливости зависят от агрессивности внешней среды. Напри-

мер, морская вода больше снижает долговечность, чем пресная, и т. п. Влияние коррозионной среды учитывается в расчетах коэффициентом влияние среды. Значения этого коэффициента приводятся в справочной литера-

туре.

Средством борьбы с влиянием внешней среды являются различного рода антикоррозионные покрытия.

12.9 Влияние частоты нагружения и температуры

на сопротивление усталостному разрушению

Воздействие частоты изменения напряжений на сопротивление усталости гладких образцов изучалось экспериментально, но заметного влияния частот до

5000 цикл/мин на предел выносливости не было обнаружено. Наблюдалось не-

которое повышение предела выносливости при частотах выше 5000 цикл/мин.

Опытами установлено, что при максимальных напряжениях симметрич-

ного цикла, приближающихся к пределу текучести материала, частота измене-

ния напряжений существенно сказывается на долговечности образцов. Испыта-

ния консольных образцов на изгиб с вращением при частотах15 и 2000

цикл/мин показали, что разрушающее число циклов при частоте 2000 цикл/мин значительно выше разрушающего числа циклов при частоте15 цикл/мин; для образцов из стали ЗОХГСАпримерно в 1.5 раза, а для образцов из Д16Т - в

среднем в 3.5 раза.

Испытания при повышенной температуре показали, что для сталей вплоть до 300-400 °С и до 100 °С для легких сплавов температура не оказывает суще-

ственного влияния на предел выносливости. При больших температурах на-

блюдается снижение предела выносливости (для нежаропрочных сталей до 50%

при t= 600 °С), а если температура достаточно высока, то кривая усталости для

223

сталей вообще не имеет горизонтальной асимптоты, и в этом случае можно оперировать только пределом ограниченной выносливости.

Иное влияние низких температур. С понижением температуры предел выносливости как сталей, так и легких сплавов несколько повышается.

В практических расчетах следует пользоваться экспериментальными дан-

ными по пределам выносливости при повышенных и пониженных температу-

рах.

12. 10 Определение коэффициента запаса усталостной прочности

Сначала построим диаграмму усталостной прочности(часто, для просто-

ты рассуждений предельную линию представляют в виде прямой) и покажем на ней рабочую точку N цикла с координатами sm и sа (рисунок 12.10). Выведем аналитическое выражение для определения коэффициента запаса прочности по усталостному разрушению на основе схематизированной диаграммы предель-

ных амплитуд. На первом этапе не будем учитывать влияние факторов, сни-

жающих предел выносливости.

Допустим, что точкаN, изображает рабочий цикл напряжений. При воз-

растании напряжений до величины, определяемой точкой К наступит усталост-

ное разрушение (будем считать, что рабочий и предельный циклы подобны).

Коэффициент запаса по усталостному разрушению для цикла, изображенного точкой N, определяется как отношение

n =	OK	=	OA	,	(12.6)
	ON
			OA1

Как видно из рисунка 12.10

ОА=σ-1; ОА1=ОЕ+УА=σа+σт= σа+ψσσт,,

где ψσ =tg γ.

Подставив полученные значения величинОА и ОА1 в равенство (12.6) по-

лучим:

224

n =	s-1		,	(12.7)
	sa +ys sm
Аналогично в случае переменных касательных напряжений
n =	t-1
		.		(12.8)
	ta +ytt m
Значения ψσ			и	ψτ зависят от типа схематизированной диаграммы пре-

дельных напряжений и от материала детали. Так для схематизированной диа-

граммы Серенсена-Кинасошвили (рисунок 12.10)

A1E

-1

2s-1 -so

= tgg =

или ys

(12.9)

σа

-1

σm

σo/2

σT

Рисунок 12.10 Определение коэффициента запаса прочности

Характеристика ψσ называется коэффициентом чувствительности к асим-

метрии цикла. Ниже приведены ориентировочные значенияψσ для некоторых материалов:

ψσ = 0,05-0,15 – для сталей низкой прочности;

ψσ = 0,15-0,25 – для сталей средней прочности;

ψσ = 0,25-0,35 – для сталей высокой прочности;

ψσ = 0,25-0,35 – для алюминиевых сплавов;

ψσ = 0,4-0,5 – для титановых сплавов

225

При определении коэффициента запаса прочности для конкретной детали надо учесть влияние коэффициента снижения предела выносливос(ти Кσд (Кτд).

Опыты показывают, что концентрация напряжений, масштабный фактор и со-

стояние поверхности отражаются только на величинах предельных амплитуд и практически не влияют на величины предельных средних напряжений. Поэтому принято в расчетной практике коэффициент снижения предела выносливости относить только к амплитудному напряжению цикла. Окончательная формула определения коэффициента запаса прочности по усталостному разрушению имеет вид:

при изгибе

n =		s-1		;	(12.10)
		KsД sа +yssт
при		кручении
n =		t-1	;
	KtДtа +ytt т

(12.11)

Наряду с коэффициентом запаса прочности по усталостному разрушению необходимо определять коэффициент запаса по текучести.

При изгибе или растяжении-сжатии

s T

;

(12.12)

smax

sa + sm

при кручении

t T

;

(12.13)

max

В качестве расчетного следует принимать меньший из коэффициентовза паса, определенных по формулам (12.10) – (12.13).

В случае сложного сопротивления(совместного действия изгиба и круче-

ния, изгиба, кручения и растяжения), т.е. в случае плоского напряженного со-

стояния коэффициент запаса прочности определяется из выражения

226

1	=	1	+	1	,	(12.14)
n2		ns2		nt2

где n – общий коэффициент запаса прочности;

nσ – коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям; nτ – коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям;

Формула (12.14) применима в случае, если нормальные и касательные напряжения в проверяемой точке детали изменяются синхронно.

Следует отметить, что в настоящее время в связи с тем, что физические основы механики усталостного разрушения до конца не разработаны, многие предпосылки современной теории усталостной прочности базируются на эмпи-

рической основе. Отсутствие твердых предпосылок в теории выносливости, в

современном виде лишает ее нужной строгости.

Так как полученные эмпирические зависимости не являются универсаль-

ными, сами результаты приближения оказываются допустимыми для решения инженерных задач.

12.11 Малоцикловая усталость

Характер усталостного разрушения существенно зависит от уровня цик-

лически изменяющихся напряжений. Так, при максимальных напряжениях цикла, меньших предела упругости материала, усталостное разрушение имеет хрупкий характер и происходит вследствие накопления повреждений и разви-

тия магистральной трещины без заметной пластической деформации всей дета-

ли.

В тех случаях, когда максимальные напряжения цикла превосходят пре-

дел упругости, пластические деформации возникают в больших объемах мате-

риала. От цикла к циклу пластические деформации накапливаются ,инаконец,

при сравнительно небольшом количестве циклов достигают предельной вели-

чины, соответствующей разрушению материала при однократном статическом нагружении. Таким образом, усталостное разрушение при достаточно высоких

227

уровнях напряжений сопровождается заметной пластической деформацией всей детали и по своему характеру ближе к разрушению при статическом однократ-

ном нагружении. Поэтому такой тип разрушения при циклически изменяющих-

ся напряжениях называют квазистатическим.

В связи с различными физическими процессами разрушения материала при высоких и низких уровнях максимальных напряжений цикла, принято раз-

личать два вида усталости - многоцикловую и малоцикловую.

Многоцикловая усталость - усталость материала, при которой усталост-

ное повреждение или разрушение происходит в основном при упругом дефор-

мировании. Малоцикловая усталость - усталость материала, при которой уста-

лостное повреждение или разрушение происходит при упругопластическом де-

формировании.

Точной границы между многоцикловой и малоцикловой усталостью -ус тановить, естественно, нельзя. Условно в качестве такой границы принимается

N=104 циклов, и ветвь кривой усталости, расположенную левее вертикальной прямой с абсциссой N=104, относят к малоцикловой усталости, а правую ветвь -

к многоцикловой усталости.

Характер разрушения в области малоцикловой усталости существенно за-

висит от способности материала к накоплению пластических деформаций при циклическом нагружении.

Материалы, у которых остаточная деформация от цикла к циклу умень-

шается, а суммарная пластическая деформация стремится к определенному пределу, называются циклически упрочняющимися. К таким материалам отно-

сятся, например, алюминиевые сплавы АК8, В95. Разрушение циклически уп-

рочняющихся материалов всегда имеет усталостный характер, связанный с на-

коплением повреждений, образованием трещин и их развитием. Даже при са-

мых высоких уровнях напряжений не наблюдается квазистатический вид раз-

рушения.

Циклически разупрочняющиеся материалы характеризуются увеличением от цикла к циклу остаточных деформаций и интенсивным ростом суммарной

228

пластической деформации. К циклическому разупрочнению склонны некото-

рые стали повышенной прочности.

Для циклически стабильных материалов характерна одинаковая величина остаточной деформации во всех циклах. В области малоцикловой усталости циклически стабильные и разупрочняющиеся материалы имеют квазистатиче-

ский вид разрушения. Долговечность деталей из таких материалов существенно зависит от степени асимметрии цикла; чем больше асимметрия цикла, тем больше скорость накопления пластических деформаций и тем меньше потребу-

ется циклов для разрушения.

Интенсивность процесса накопления пластических деформаций при цик-

лическом нагружении зависит также от скорости нагружения и разгрузки и времени выдержки при σmax и σmin, т. е. от частоты и формы цикла, поскольку пластические деформации развиваются во времени(эффект последействия).

Особенно заметно проявляется эта зависимость при повышенных температурах.

Однако в области малоцикловой усталости и при нормальной температуре дол-

говечность значительно уменьшается с уменьшением частоты изменения - на пряжений. Как следует из данных, приведенных ниже, долговечность образцов из алюминиевого сплава Д16Т уменьшается почти в3.5 раза при уменьшении частоты с 2000 циклов в минуту до 15 циклов в минуту.

Малоцикловое разрушение может быть вызвано не только действием пе-

ременных нагрузок, но и повторными тепловыми воздействиями. Если темпе-

ратурные расширения в детали стеснены опорными устройствами или окру-

жающими частями детали с неизменной температурой, то в такой детали воз-

никнут температурные напряжения, которые могут достигнуть предела текуче-

сти. В результате появятся пластические деформации.

Разрушение, вызванное знакопеременной пластической деформацией, яв-

ляющейся следствием циклических изменений температуры, называется тер-

мической усталостью.

229

В настоящее время вопросы малоцикловой и термической усталости ин-

тенсивно исследуются, накапливаются экспериментальные данные и проводит-

ся их теоретическое обобщение.

Одним из способов повышения сопротивления деталей циклическому разрушению в условиях малоцикловой усталости является изготовление их из циклически упрочняющихся металлов.

230

13 ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК

Во всех предыдущих разделах мы предполагали, что нагрузки приклады-

ваются к брусу статически, а сам брус неподвижен. Между тем многие детали машин по условиям их работы находятся в состоянии неравномерного движе-

ния. Такие детали испытывают дополнительные нагрузки, вызванные их нерав-

номерным движением.

Расчет деталей машин на динамическую нагрузку более сложен, чем рас-

чет на статическую нагрузку. Трудность заключается, с одной стороны, в более сложных методах определения внутренних усилий и напряжений, возникающих от действия динамической нагрузки, и, с другой стороны – в более сложных ме-

тодах определения механических свойств материалов при динамическойна грузке. Например, при действии ударной нагрузки многие материалы, которые при статическом действии нагрузок оказывались пластичными, работают как хрупкие. Эксперименты также показывают, что при ударном растяжении пре-

дел текучести повышается на 20-70%, а предел прочности на 10-30% по сравне-

нию со статическим растяжением. Пластичность с ростом скорости деформиро-

вания убывает. Уже при сравнительно невысоких скоростях нагружения -на блюдается склонность к хрупкому разрушению. Допускаемые напряжения, та-

ким образом, при динамическом нагружении, должны назначаться в зависимо-

сти от скорости нагружения. В первом приближении для этих целей можно ис-

пользовать соответствующие характеристики механических свойств, получен-

ные при статическом нагружении.

13.1 Определение напряжений в движущихся телах

с учетом сил инерции

Для определения усилий, возникающих в движущемся теле или системе тел, наиболее удобно пользоваться принципом Даламбера. Применительно к рассматриваемым далее задачам этот принцип можно сформулировать - сле дующим образом.

231

Если движущееся тело(систему тел) в какой-то момент времени представить себе находящимся в покое, но помимо сил, производящих движение, приложить к нему силы инерции, то в таком покоящемся теле будут существовать такие же внутренние усилия, напряжения и дефор-

мации, какие имеют место во время его движения.

Таким образом, использование принципа Даламбера позволяет свести за-

дачи динамики к задачам статики.

13.1.1 Расчет троса грузоподъемного устройства

Определим напряжения в канате грузоподъемного механизма, к которому подвешен груз массой m (рисунок 13.1).

При равномерном подъеме с постоянной скоростью ускорение движения груза равно нулю, поэтому напряжения в канате такие же, как и в том случае,

когда груз висит на канате в состоянии покоя, т. е. σ=mg/А, где g - ускорение силы тяжести.

Рисунок 13.1 - К расчету троса грузоподъемного устройства

Во время разгона движение груза неравномерно, и в канате появляются дополнительные напряжения, для определения которых мысленно остановим груз и приложим к нему силу инерции Fин. Эта сила направлена в сторону, про-

тивоположную движению груза и равна

Fин = m × dv = ma , dt

где v - скорость подъема; a - ускорение.

232

Наибольшее усилие в канате соответствует моменту максимального уско-

рения груза во время разгона:

æ dv ö

Nmax = mg + m × ç ÷ = mg + m × a .

è dt ømax

Следовательно, максимальное напряжение в канате при подъеме груза

× k

max

× ç1

÷ = s

ст

больше напряжений при статическом приложении грузаσcn=mg/A в kд раз; ко-

эффициент

kд =1 + a g

называется динамическим коэффициентом.

Таким образом, для уменьшения растягивающего усилия в канате необ-

ходимо обеспечить плавное увеличение скорости подъема, так как при больших ускорениях напряжения в канате могут стать значительными. При опускании груза в начале движения величина a=dv/dt в выражении для kд будет иметь от-

рицательный знак. Следовательно, напряжения в канате в этом случае будут меньше напряжений от статического действия груза m.

Если канат длинный, то следует учесть массу самого каната и силы инер-

ции его частиц. В этом случае опасным будет верхнее сечение каната, усилие в котором

æ		a	ö
N = (m + r × A × z)× gç1	+	a	÷,
N = (m + r × A × z)× gç1	+		÷,
ç		g	÷
è		g	ø

где z - длина каната; ρ - плотность материала каната.

13.1.2 Расчет вращающегося кольца

Примером вращающегося кольца могут служить различного рода маховики, автомобильные и железнодорожные колеса и т.п. Рассмотрим случай вращения тонкостенного кольца (δ<<R) с постоянной угловой скоростью ω во-

круг оси, перпендикулярной к плоскости кольца (рис. 13.2, а).

233

При вращении кольца каждый его элемент движется с центростремитель-

ным ускорением j=ω2R. Силы инерции направлены в сторону, противополож-

ную ускорениям, и при постоянном сечении распределены равномерно вдоль кольца. Интенсивность сил инерции, т. е. сила инерции, приходящаяся на еди-

ницу длины кольца, q=Аρω2R. Здесь ρ - плотность материала, А - площадь сече-

ния, а R - радиус средней линии кольца.

Вырежем из кольца элемент, которому соответствует бесконечно малый угол dφ. Длина элемента Rdφ, его объем - RАdφ, а вес – RАρdφ.

Сила инерции, действующая на элемент,

F ин=	rArdj	w2r	(13.1)

	g

Рисунок 13.2 – К расчету вращающегося кольца Рассматривая элемент в равновесии. Проектируя все силы, действующие

на элемент, на ось получим:

2N × Sin

RArdj

(13.2)

Учитывая, что

Sindφ/2 ≈ dφ/2,

найдем

Nдин =

(13.3)

Напряжение в кольце определится как

234

	Nдин		r		2	R	2		r × v2
sдин =		=		w				=		,	(13.4)
	A		g
									g

Таким образом, напряжение в ободе маховика зависит от объемного веса материала и линейной скорости обода.

13.1.3 Расчет вращающихся рамных конструкций

Рассмотрим пример расчета вращающейся рамы.

Стержень регулятора с прикрепленным к нему грузом массойQ вращает-

ся вокруг оси О-О (рисунок 13.10, а) с постоянной угловой скоростью ω=const.

Построим эпюру изгибающих моментов, полагая, что масса рамы мала по срав-

нению с массой груза.

Сила инерции груза F=Qω2a.

а) б)

Рисунок 13.10 – Вращающаяся рама

Рассматривая силу инерции груза как единственную внешнюю нагрузку на брус, строим эпюру изгибающих моментов(рисунок 13.10,б). Максималь-

ный изгибающий момент

M max = 4 Q ×w2 × a .

13.2 Напряжения и деформации при ударе

Явление удара наблюдается при соприкосновении тел, движущихся с раз-

личными скоростями, когда скорости соприкасающихся тел изменяются в тече-

ние очень малого промежутка времени. Напряжения и деформации при удар-

ном нагружении, называемые динамическими, оказываются значительно боль-

ше тех, которые возникли бы в системе при статическом приложении той же

235

нагрузки. Возникающие при этом большие ускорения(замедления) приводят к возникновению значительных инерционных сил, действующих в направлении,

противоположном направлению ускорений, т.е. в направлении движения тела.

Однако, решение задачи оценки напряжений при ударе как частного случая за-

дачи с учетом сил инерции вызывает значительные сложности, так как продол-

жительность удара неизвестна.

При ударе возникают деформации двух типов: местные деформации в зо-

не контакта и общие деформации системы. В дальнейшем рассматриваются только общие деформации системы, и предполагается, что динамические на-

пряжения не превосходят предел пропорциональности материала. Задача опре-

деления контактных напряжений в месте удара сложна и не может быть решена простыми методами.

В связи с указанными трудностями, при определении напряжений в эле-

ментах упругих систем при ударе в инженерной практике пользуются прибли-

женным методом, основанным на законе сохранения энергии. Простейшая тео-

рия удара основана на следующих допущениях:

- удар считается неупругим, то есть ударяющее тело продолжает двигать-

ся вместе с ударяемой конструкцией, не отрываясь от нее. Иными словами уда-

ряющее тело и ударяемая конструкция имеют общие скорости после удара;

-ударяемая конструкция имеет лишь одну степень свободы, и вся масса конструкции сосредоточена в точке удара;

-рассеянием энергии в момент удара пренебрегаем, считая, что вся кине-

тическая энергия ударяющего тела переходит в потенциальную энергиюде формации ударяемой конструкции, движение которой происходит при отсутст-

вии сил сопротивления; - ударяемая конструкция считается идеально упругой;

Это означает, что зависимость между динамическими усилиями и пере-

мещениями, ими вызванными, точно так же подчиняется закону Гука, как и при статическом действии нагрузок. Отношение динамических и статических пере-

236

мещений называется коэффициентом динамичности или динамическим ко-

эффициентом:
k¶ =	d¶	(13.5)
	dст

В соответствии с законом Гука имеем
k¶ =	s ¶	(13.6)

sст

где σд - динамические напряжения; σст - статические напряжения.

13.2.1 Продольный удар

Предположим, что груз весом Q падает с некоторой высоты h на упругую систему, масса которой мала по сравнению с массой груза. Такой системой мо-

жет быть стержень, балка, ферма и т. д. Упругую систему будем считать неве-

сомой (рисунок 13.11).

	Q
	Q
ст
δ
l	l

а)	б)
	Рисунок 13.11 – Продольный удар

δд

Изменение кинетической энергии падающего груза численно равно рабо-

те, совершенной им при падении и деформировании стержня:

T = Q(h + dд ),

237

а потенциальную энергию деформации упругого тела при ударе, накопленную за счет уменьшения потенциальной энергии падающего груза, можно предста-

вить формулой

U	д	=	1	Q	×d	=	с ×dд2	.	(13.7)

			2	д		д	2

Пользуясь законом сохранения энергии и пренебрегая потерями энергии, вызы-

ваемыми местными пластическими деформациями при соударении тел, а также инерцией массы ударяемого стержня можно считать, что Т = Uд и на основа-

нии уравнений (13.6) и (13.7)

	с ×dд2	= Q(h + dд ).					(13.8)
2

Имея в виду, что				dcт = Q / c , где c = EA/ l - коэффициент, называемый жестко-
стью системы, уравнение (13.8) можно представить в виде
d 2 - 2d			d	- 2d	cт	h = 0
	д		cт д
(13.9)
Отсюда можно определить динамическую деформацию

dд = dcт ±				dc2т + 2dcтh			.

(13.10)

Поскольку знак «минус» в этой формуле не соответствует физическому смыслу рассматриваемой задачи, следует сохранить знак «плюс»

= d

ç1

1 +

(13.11)

cт ç

dcт ø

и сопоставляя это выражение с (13.5), находим выражение для коэффициента динамичности:

kд =1 + 1 +	2h	.	(13.12)

	dcт

Так как напряжения и усилия по закону Гука пропорциональны деформа-

циям, то

238

æ		2h		ö
ç	+ 1 +		÷		(13.13)
s д = s cт kд = s cт ç1	+ 1 +		÷ .		(13.13)
è		dcт ø

Частный случай ударного нагружения - внезапное приложение груза, ко-

гда h=0. В этом случае kд=2 и σд=2σст, δд=2δст, т. е. при внезапном приложении нагрузки напряжения и деформации системы в два раза больше, чем при стати-

ческом нагружении.

Поскольку dст = Nl / EA , то из анализа формулы(13.13) видно, что при равномерно распределенных напряжениях величина динамических напряжений

зависит не только от площади сечения А, как это имело место в случае действия статической нагрузки в статически определимых системах, но и от длины и мо-

дуля упругости Е материала стержня, т.е. динамические напряжения зависят как от объема, так и от упругих свойств материала. При этом, чем больше объ-

ем упругого стержня, подвергающегося удару (чем больше энергоемкость стержня), тем меньше динамические напряжения, возникающие в нем, а чем больше модуль упругости материала стержня, тем больше динамические на-

пряжения.

Для снижения напряжений надо стремиться главным образом к увеличе-

нию податливости стержня путем увеличения его длины, добавления буферной пружины, замены материала другим, с более низким модулем упругости. Кон-

струируя стержни, работающие на удар, желательно добиться постоянной пло-

щади сечения по всей их длине.

Условие прочности при ударе имеет вид

sд max £ [sд	]=	sТ	.
sд max £ [sд	]=	nT	.
		nT
(13.14)

Величину коэффициента запаса nT можно было бы выбрать равной ве-

личине основного коэффициента запаса при статическом нагружении(1,4 – 1,6), так как динамичность отражена в расчетных формулах коэффициентаkд.

239

Однако ввиду некоторой упрощенности изложенного метода расчета коэффи-

циент запаса принимают несколько большим (nT = 2).

13.2.2 Расчет на удар при изгибе

Рассматривая теорию удара, вызывающего изгиб, будем считать, что в процессе удара во всех его фазах движение конструкции происходит без потерь энергии на нагрев за счет трения о среду, на местные пластические деформа-

ции. Поэтому при определении напряжений и деформаций при изгибающем ударе (рисунок 13.12) воспользуемся формулами, полученными для случая ударного растяжения или сжатия. Применительно к случаю динамического из-

гиба эти формулы примут вид:

fд = fcт × kд ,			sд = scтkд ,

kд =1 + 1 +	2h	,	(13.15)
kд =1 + 1 +		,	(13.15)
	fcт

где fст – статический прогиб в месте удара, зависящий от схемы нагру-

жения и условий закрепления. Так, для балки длиной l, шарнирно закреплен-

ной по концам и испытывающей посредине пролета удар от падающего с высо-

ты h груза Q (рисунок 13.12,a)

а)	б)
	Рисунок 13.12 – Изгибающий удар

fcтmax =	Ql3			Ql
		;	sст max =		.
				4W
	48EI

240

Для консоли, испытывающей удар от груза Q, падающего на его свобод-

ный конец (рисунок 13.12,б)

fcт		Ql3			Ql	.
	=		;	sст max =
					W
max		3EI

Подставляя значения fст в формулу для kд находим коэффициент дина-

мичности, а затем находим динамические напряжения и деформации. Так для балки на двух опорах (рисунок 13.12,а) динамические напряжения определятся по формуле

Ql æ

96hEI

д max

= s

cт max

ç1 +

1 +

4W è

Обозначая Qh=T0 (энергия ударяющего груза к моменту начала удара), плу-

чим:

96Т0 EI

sд max = scт maxkд =

ç1

1 +

(13.16)

а условие прочности в этом случае запишется в виде

96Т0 EI

sТ

д max

ç1 +

(13.17)

пд

4W è

Сопротивление балки ударным нагрузкам зависит как от момента сопро-

тивления, так и от ее изгибной жесткости. Чем больше податливость (деформи-

руемость) балки, тем большую кинетическую энергию удара она может при-

нять при тех же допускаемых напряжениях. Наибольший прогиб балки полу-

чится тогда, когда во всех его сечениях наибольшие напряжения будут одина-

ковыми, т.е. если это балка равного сопротивления изгибу.

13.2.3 Учет массы ударяющего тела

Вычисляя динамические напряжения при продольном и изгибающем уда-

ре, мы считали, что вся энергия удара переходит в потенциальную энергию де-

формации ударяемого тела. В действительности некоторая часть этой энергии

241

расходуется на местные деформации, происходящие в зоне контакта. При зна-

чительной массе ударяемого тела эта поправка может оказаться значительной.

В расчетах напряжений при ударе не учитывалась также масса ударяе-

мого тела, которая после прихода в соприкосновение с ударяющим телом при-

обретает определенные ускорения и тем самым влияет на возникающие в балке динамические напряжения. В некоторых случаях учет массы упругой системы,

испытывающей удар, может оказаться также весьма существенным.

При расчете на удар с учетом массы упругой системы, подвергающейся удару, следует выделить два случая:

- система обладает сосредоточенной массойQ1/g (где Q1 – вес системы),

расположенной в месте падения груза Q;

- система обладает распределенной по длине массой.

Будем считать, что

-в момент, предшествующий соударению, скорость груза Q равна v, а

скорость ударяемого тела равна нулю;

-в момент соприкосновения скорость груза v равна скорости движения упругой системы в месте удара v1;

-после соударения, в момент, когда упругая система получает наи-

бол2рьшее перемещение, скорость груза Q и упругой системы равны нулю.

Скорость v1 определяется из условия, что при неупругом ударе количест-

во движения до удара равно количеству движения после удара

Qv	=	Q + Q1	v , откуда	v =	Q	v .

g		g	1	1	Q +Q1

Не учитывая потери энергии, на основе закона сохранения энергии с уче-

том принятых ранее гипотез о пропорциональности статических и динамиче-

ских перемещений выражение для динамического перемещения приобретает вид:

kд =1 + 1 +

=1 + 1 +

(13.18)

Q ö

ç1

cт ç

242

При рассмотрении удара по упругой системе с распределенной массой (в

сумме равной Q1/g, где Q1 вес системы) мысленно ее заменяют системой, об-

ладающей такими же упругими свойствами, но с приведенной массой b Q1 , со- g

средоточенной в точке удара. Выражение динамического коэффициента для рассматриваемого случая можно получить путем подстановки в форму

(13.18) значения βQ вместо Q:

kд =1 + 1 +

=1 + 1 +

(13.19)

Q ö

ç1

+ b

ç1

+ b

cт ç

Таким образом, учет массы упругой		системы, подвергающейся удару,
æ		Q	ö
учитывается множителем под корнем ç1	+ b	1	÷ . Так, для случая продольного

ç		Q	÷
è			ø

удара (рисунок 13.11,б) коэффициент β=0,33; Для случая изгибающего удара балки на двух опорах (рисунок 13.12,а) β=17/35.

13.2.3. Напряжения при скручивающем ударе

Определение напряжений и деформаций при ударном кручении методи-

чески мало отличается от ударного растяжения(сжатия) или ударного изгиба.

При ударном кручении применимы формулы для определения коэффициента динамичности (13.12).

Например, при ударном скручивании вследствие резкого торможения бы-

стро вращающегося вала, несущего маховик (рисунок 13.13), кинетическая энергия маховика T переходит в потенциальную энергию деформации вала U:

Т =	I	m	×w2
				,	(13.20)
			2

где ω - угловая скорость вращения маховика; Im - массовый момент инерции маховика;

243

Im =	m × R2		Q ×	D2
		=			,	(13.21)
	2
			8g

где Q=mg - вес маховика; m- масса маховика.

Рисунок 13.13 – Скручивающий удар

Потенциальная энергия деформации вала с учетом уравнений(13.20) и

(13.21) имеет вид:

Uд =	M kд	×jд	=	kд2 × М к д	×j
						.	(13.22)
				2
2

Так как угол закручивания при кручении вала круглого профиля равен:

j =	М к × l		,		(13.23)
	GI p

имеем
U д =		kд2 × М к2 l
			д	.	(13.24)

		2GI p

Приравнивая T=U, после преобразований, получим формулу для опреде-

ления коэффициента динамичности при скручивающем ударе:

kд =	w	×	G × I p × Im	.	(13.25)
	М кд		l

Динамические касательные напряжения и динамический угол закручива-

ния вала определяются из следующих уравнений:

244

tд = kд ×tст =

G × I p × Im

w ×

G ×t ×g

(13.26)

W p

w ×l

G × I p × Im

w ×l ×

jд = kд ×kст =

G ×t ×g

(13.27)

GI p

d 2

13.3 Механические свойства при ударе

Для проверки способности материала сопротивляться ударным нагрузкам применяют особый вид испытания ударным изгибом– определение ударной вязкости надрезанных образцов. Эти испытания проводят на маятниковых коп-

рах.

Ударной вязкостью материала ак называется величина работы раз-

рушения образца, отнесенная к площади его поперечного сечения в месте

надреза.

Хотя данные об ударной вязкости не используются в расчетах на проч-

ность, но они позволяют оценить склонность материала к хрупкому разруше-

нию в условиях сложного напряженного состояния в области надреза. Именно в таких условиях работают многие детали машин и элементы конструкций.

Ударная вязкость существенно зависит от структуры материала, причем эту за-

висимость при статических испытаниях заметить трудно. Стали, имеющие одинаковые характеристики пластичности при статических испытаниях, суще-

ственно отличаются по ударной вязкости. Ударная вязкость снижается при пониженных температура и в узком интервале температур для сталей(200500оС) в области повышенных температур.

245

14 РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ

ОБОЛОЧЕК

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая фор-

му тела вращения, толщина которой весьма мала по сравнению с радиусом кри-

визны ее поверхности. К тонкостенным оболочкам относятся резервуары для хранения жидкостей, в том числе нефтепродуктов, котлы, газгольдеры, трубы.

Нагрузкой, действующей на сосуды, чаще всего является внутреннее давление,

симметричное относительно оси сосуда. Если стенки сосуда не имеют резких изломов, то с достаточной точностью можно считать, что возникающие в стен-

ке нормальные напряжения равномерно распределены по толщине стенки, т.е.

отсутствует изгиб. Теория расчета, построенная в этих предположениях, назы-

вается безмоментной теорией тонкостенных осесимметричных оболочек.

14.1. Определение напряжений в тонкостенной оболочке

Определим по безмоментной теории напряжения в стенке оболочки от внутреннего давления р.

Рисунок 14.1 – Тонкостенная осесимметричная оболочка

Из стенки сосуда(рисунок 14.1,а) вырежем мысленно двумя меридио-

нальными и двумя нормальными коническими сечениями прямоугольный эле-

мент аbcd с криволинейной поверхностью размерамиdS1 и dS2. Обозначим главные радиусы кривизны срединной поверхности элемента в меридиональ-

246

ной плоскости ρm,, а радиусы кривизны в плоскости, перпендикулярной к ме-

ридиану ρΘ ; меридиональные напряжения - через σm и окружные σθ; углы со-

ответственно dφ и dθ. Третье главное напряжение, перпендикулярное к эле-

менту внутри сосуда обозначим черезр, снаружи давление равно нулю. При этом условии напряженное состояние стенки сосуда является плоским.

а)	б)
Рисунок 14.2 -	Напряженное состояние тонкостенной оболочки

Рассмотрим условие равновесия элемента(рисунок 14.2). На элемент действуют следующие силы: по касательной к меридиануσmδdS2; по касатель-

ной к окружности σθδdS1; перпендикулярно к элементу pdS1dS2 (рисунок 14.2,а).

Составим уравнение равновесия выделенного элемента, приравняв нулю сумму проекций всех сил на нормаль к элементу:

pdS1dS2 - 2sq d × dS1Sin(dq2) - 2s md × dS 2 Sin(dj 2) = 0 (14.1)

учитывая, что Sin(dθ/2)≈ (dθ/2); Sin(dφ/2)≈ (dφ/2), и выразив dθ и dφ через от-

ношение dθ=dS2/ρθ и dφ=dS1/ρm, получим:

s q	+	sm	=	p	(14.2)
rq
		rm		d

Полученное выражение носит название уравнения Лапласа. Уравнение содержит две неизвестные величины σm и σθ. Для их определения составим вто-

рое уравнение, которое можно получить, рассмотрев равновесие отсеченной

247

части сосуда (рисунок 14.1,б). Из уравнения суммы проекций всех сил на вер-

тикальную ось определим σm.

s		m	2p × r ×d × Cosa - pp × r 2 - Q = 0 ,				(14.3)

Откуда
s m =		P × r		+	Q	,	(14.4)
	2d × Cosa				2p × r ×d × Cosa

где Q– вес части сосуда и жидкости, лежащий ниже рассматриваемого окружного сечения; P– давление жидкости, равное gh (γ– объемный вес жид-

кости, h– глубина рассматриваемой точки). Если жидкость находится под дав-

лением q, то P=γh+q. Уравнения (14.2) и (14.4) позволяют найти напряжения

σm и σθ в любой точке сосуда.

14.2 Частные случаи расчета тонкостенных сосудов

14.2.1. Сферический сосуд под действием равномерного внутреннего давления

В случае сферического сосуда задача определения напряжений решается только с использованием уравнения Лапласа.

Рисунок 14.3 –	Рисунок 14.4 –
Сферическая оболочка	Цилиндрическая оболочка

Если сфера имеет диаметрD, то ρθ = ρm =R =D/2. Очевидно также, что

σm= σθ. Тогда из уравнения Лапласа находим:

s =	pR	=	pD	,	(14.5)
	2d		4d

248

14.2.2 Цилиндрический сосуд под действием

равномерного внутреннего давления

Рассмотрим цилиндрический сосуд диаметром D с днищами. Радиусы кривизны ρθ = R; ρm =∞. Из уравнения Лапласа можно определить только ок-

ружное напряжение

s q

(14.6)

откуда

(14.7)

В сферической части цилиндрического сосуда напряжения можно опре-

делить как для сферических сосудов (14.5), приняв в качестве радиуса R1.

в)

Рисунок 14.5 – Тонкостенный цилиндрический резервуар и эпюры напряжений

Для цилиндрического резервуара (рисунок 14.5)

ρθ = R; ρm =∞; α=0, Cos α=1, p=γ(H-z), Q=(πR2z)γ.

g (H - z)R

pR2 zg

gRh

2pRdCosa

2pRd

249

Из уравнения Лапласа

g (H - z )

откуда

sq =

gR(H - z )

при

z = 0,

sq =

gRH

;

при

z = H,

σθ = 0

На рисунке 14, б показаны эпюры меридиональных и окружных напряжений в резервуаре.

Если резервуар опирается днищем(рисунок 14.6), то распределение напряжений σm и σθ будет несколько иным. Из уравнения проекций на верти-

каль для отсеченной части (рисунок 14.6) получаем:

Рисунок 14.6 – Тонкостенный цилиндрический резервуар с днищем: а) -

схема; б) - эпюра окружных напряжений; в) – отсеченная часть резервуара

Q = gpR2 z,	p = g (H - z);
å F = 0,	s	m	2pRd - Q - pR2 p + R	A	= 0	;
z		m		A
sm 2pRd - pR2g × z - pR2g (H - z)+ pR2gH = 0 ;
s m 2pRd = 0 ;			s m = 0

Из уравнения Лапласа:

250

g (H - z )

откуда

sq =

g (H - z)R

при

z = 0

lНR

;

при

z = H

= 0 .

Эпюра σθ

показана на рис.14.6,б.

14.2.3 Расчет тонкостенных конических сосудов

Радиус кривизны меридионального сечения ρm=0. Радиус кривизны ρθ пе-

ременный и выражается через радиус текущего поперечного сечения по форму-

ле:

rq =	х	=	z × R
	Cosa		HCosa

Рисунок 14.7 – Тонкостенный конический резервуар: а) – схема; б) эпюры

напряжений (множитель при ординатах равен g × RH ); в) – отсеченная часть

d ×Cosa

резервуара

При постоянном внутреннем давлении–p напряжения переменно по вы-

соте резервуара

p = g (H - z);

По формуле (14.4) находим σm

251

p × x

g(H - z)x

g × z ×p × x2

2d ×Cosa

2p × x ×d ×Cosa

2d ×Cosa

3×2p × x ×d ×Cosa

æ z × R ö

(H - z)z × R

g × zç

g × R(3H -2z)z

H ø

2d ×H ×Cosa

6d ×Cosa

6d × H ×Cosa

Задавая значения z, найдем меридиональные напряжения в различных точках резервуара. Максимальное значение меридиональных напряжений σm

будет при. z = 3 H .

Из уравнения Лапласа получим:

sq = prq = g (H - z)zR d dHCosa

Максимальное значение окружных напряжений σθ будет при z = H/2.

14.3Особенности работы резервуаров сложного очертания

Если стенки резервуара имеют резкий излом(рисунок 14.8), то в пере-

ходном сечении возникают краевые силы, которые могут вызвать значительные изгибные напряжения, не учитываемые безмоментной теорией. Чтобы умень-

шить изгиб, в резервуарах устанавливают кольца жесткости, или распорные кольца, которые принимают на себя радиальные усилия q.

q = ds m Sina

а) б)

Рисунок 14.8 - Место соединения цилиндрической и конической частей оболочки (а) и Усилия в ребрах жесткости (б)

252

Из условия равновесия полукольца, получаемого путем разреза ребра же-

сткости по диаметру, имеем N = qR . Если приближенно не учитывать совме-

стной работы ребра и полки, то:

smax = N £ [s ,],

где – площадь поперечного сечения распорного кольца.

A =	N	=	s md × RSina	.

	[s ]		[s ]

14.3.1 Пример расчета тонкостенного резервуара сложной формы

Для стального резервуара, заполненного жидкостью (рисунок 14.9), необхо-

димо:

1.Построить эпюры меридиональных и окружных напряжений;

2.Определить толщину стенок резервуара;

3.Найти размеры поперечного сечения распорного кольца.

Рисунок 14.9 - а – тонкостенный резервуар сложной формы;

б – эпюры нормальных напряжений

Дано: γ =1,2 т/м3; Н=4 м;	R =1 м; α=60о; [σ] =100 MПа
Решение:
Для конической части резервуара	0 £ z £ h

253

rm = 0 ,

h =

= 0,5774 м;

tga

tg60o

H+h=4+0,5774 = 4,5774 м.

Из уравнения Лапласа при rm = 0

p × rq

На глубине (H+h-z) давление жидкости равно:

p=γ(H+h-z)= γ(4,5774-z),

тогда

sq =

g (H + h - z)

R × z

;

hCosa

γ =1,2 т/м3·9,8 м/с2=11,76кН/м3

при z = 0;

σθ = 0;

при z= h/2 = 0,5774/2 = 0,2887 м

sq =

11,76 ×103 (4,5774 - 0,2887) ×1× 0,2887

0,054

МПа

d × 0,5774 × 0,5

при z = h = 0,5774 см

0,091

МПа .

Для цилиндрической части h £ z £ H

= 0 ,

rm = ¥

g (H + h - z)R

11,76(4,5774 - z)×1

При z = 4,5774 м

sq = 0

Эпюра окружных напряжений показана на рисунке 14.9,б. Для кониче-

ской части эта эпюра параболическая. Её математический максимум имеет ме-

сто в середине общей высоты при z = 0,5(H + h). При H > h он имеет ус-

ловное значение. При H < h он попадает в пределы конической части и имеет реальное значение

g × R(H + h)2 sq = 4d × h × Cosa

Меридиональные напряжения σm определяется отдельно для цилиндрической и

254

конической части резервуара, как это делалось для окружных напряжений. Для конической части резервуара вес жидкости в отсеченной части

Q =

g × z ×p × x2

g ×p

× z

3 R2

3h2

давление верхних слоев жидкости

p = g (H + h - z). Подставляя эти выражения

в формулу σm , получаем:

s m

g × R[3(H + h)- 2z]z

6d × h × Cosa

При

z = 0, σm=0;

при

z=h/2=0,5774/2= 0,2887 м

s m =

11,76 ×103

×1[3(4 + 0,5774)- 2 × 0,2887]0,2887

0,0258

МПа;

6 ×d × 0,5774 × 0.5

при z= h = 0,5774 м

s m

0,02,8

МПа.

Максимальное значение σm для конической части, будет при

z = 0,75(H + h) . Реальное значение σm имеет только при

H £ h / 3, когда попа-

дает в пределы конической части, и равно:

sm max =

3g × R(H + h)2

26dhCosa

В цилиндрической части rm = ¥,

rq = R , p = g (H - z)

Q =

gpR2 h

+ g (z - h)pR2 =

pR2g

(3z - 2h).

Подставляя эти выражения в формулу (14.4), получаем:

g × R

(3H - z)=

11,76 ×103 ×1(3 × 4 + 0,5774)

0,0247

МПа.

Эпюры меридиональных и окружных напряжений показаны на рисунке

14.9, б. По эпюрам видно, что опасным сечением является верхняя кромка ко-

нической части резервуара, при

sq =	0,0941	МПа,	s m =	0,0493	МПа;
	d			d

255

и sq	=	0,0941	£ [s ;]	откуда	d =	0,0941	=	0,0941	= 0,941мм.
		d				[s ]
							100

Округляя, принимаем δ= 1мм.

Площадь поперечного сечения распорного кольца резервуара будет:


	s md × Sina × R		0,0493	d × Sin60o ×1
				d × Sin60o ×1
A =		=	d		= 4,31	см	2
A =	[s ]	=		[s ]	= 4,31	см
	[s ]			[s ]

В качестве распорного кольца используем равнополочный уголок 56х 56х 4

(ГОСТ 2509-86) площадью 4,38 см2.

Литература

1.Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1989.- 624 с.

2.Сопротивление материалов. Под ред. Г.С. Писаренко.- Киев,. – Вища школа, 1986.- 694 с.

3.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов М.:

МГТУ, 1999.-589 с.

4. Кочетов В.Т. Павленко А.Д., Кочетов М.В. Сопротивление материалов:

Учеб. Пособие. Ростов н/Д, 2001. – 366 с.

5. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление мате-

риалов.- М.: Высшая школа, 1995.- 560 с.

6. Скопинский В.Н., А.А.Захаров А.А. Сопротивление материалов. Учеб-

ное пособие. Часть 1. М.:МГИУ, 1999.-!»: 126 с.

7.Сопротивление материалов. Под ред. Костенко Н. М.: Высшая школа, 2004. - 429 с.

8.При подготовке рукописи использовались интенрнетресурсы:

MYsopromat.ru.; .toehelp.ru, odsopromat.narod.ru

256

257

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025123.39 Кб0jungling-rules.doc
#
01.07.202550.2 Кб0Kashin-Varnashina.docx
#
01.07.2025523.26 Кб0kniga_Brazhnikova.doc
#
22.05.2015447.78 Кб76Kompressornye_stantsii2.docx
#
21.11.201934.52 Кб4Konspekt_lektsy - копия.docx
#
22.05.20153.92 Mб155Konspekt_Lektsy_Blednova_Zh_M.pdf
#
22.05.2015287.23 Кб50Konspekt_lektsy_po_istorii (1).doc
#
01.07.2025278.02 Кб0Konstitutsia_RF_dlya_rassylki.doc
#
22.05.201542.47 Кб9kontrolnaya_po_istorii_EVM.docx
#
01.07.202571.32 Кб1kontr_Upravlen_Chelov_resur.docx
#
01.07.2025240.67 Кб2kp_raschetНИк.docx