Лекция7 Плоские сечения

ЛЕКЦИЯ 7 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТЕЛ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ

Вопросы:

1 Пересечение многогранников плоскостью

2 Пересечение тел вращения плоскостью

3 Пересечение поверхностей прямой линией

1 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ

При пересечении поверхности многогранника плоскостью в сечении получается замкнутая ломаная линия — многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны являются линиями пересечения граней многогранника с секущей плоскостью

(рис. 86).

Проекции сечения многогранника плоскостью можно построить двумя способами:

а) Способом ребер. Определяем точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, т. е. находим вершины многоугольника (задача на пересечение прямой с плоскостью);

б) Способом граней. Определяем линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью, т. е. находим стороны многоугольника (задача на построение линии пересечения двух плоскостей).

Примеры.

1 Построение фигуры сечения трехгранной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью (рис.87)

Р. Определяем точку пересечения фронтали с ребром А – получаем точку встречи ребра с плоскостью (точку 1). Аналогичным образом определяем точки встречи остальных ребер с плоскостью Р. Найденные точки соединяем последовательно прямыми линиями, т.к. грани призмы

пересекаются по плоскостью Р по прямым. В данном случае призма прямая, и горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией самой призмы.

2 Способ граней (рис.89)

Так как призма прямая, то плоскости, в которых расположены грани призмы, являются горизонтальнопроецирующими. Находим линии пересечения горизонтально-проецирующих плоскостей S, S', проведенных через грани призмы, с секущей плоскостью Р. Участки линий пересечения, расположенные между ребрами призмы, являются фигурой сечения призмы плоскостью Р.

Рисунок 89

2 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ

Линия пересечения плоскости с поверхностью вращения в общем случае представляет собой замкнутую кривую. Когда секущая плоскость проходит через прямолинейные образующие или пересекает плоские основания, линия пересечения будет включать прямолинейные участки, т.е. вид фигуры сечения тел вращения плоскостью зависит от положения секущей плоскости:

При пересечении кругового цилиндра плоскостью в сечении могут получиться: а) окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра; б) эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра; в) прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра.

Коническая поверхность является носителем ряда кривых второго порядка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы. Если обозначить угол наклона образующей конической поверхности к его оси через φ, а угол между секущей плоскостью и той же осью ψ, то вид фигуры сечения будет зависеть от соотношения величин этих углов (рис. 90):

а) окружность ψ=90 (секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра); б) эллипс ψ > φ (секущая плоскость наклонена к оси и

пересекает все образующие); в) парабола φ=ψ (секущая плоскость параллельна одной из образующих); г) гипербола ψ < φ (секущая плоскость параллельна двум образующим). Секущая плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает его по двум прямым - образующим.

При пересечении шара плоскостью в сечении всегда получается окружность. Положение кривой линии в пространстве определяют рядом ее точек. Чем больше точек будет известно, тем точнее она будет построена. Чтобы построить линии пересечения, необходимо найти точки, общие для секущей плоскости и поверхности вращения. Эти точки можно определить, используя вспомогательные секущие плоскости.

Построение линии пересечения следует начинать с определения характерных (опорных) точек. К ним относятся высшая и низшая точки, крайние - левая и правая; точки, разграничивающие видимость линии пересечения; точки, расположенные на очерковых образующих; точки, принадлежащие осям фигуры сечения и т.п.

Примеры

1 Построение линии сечения прямого кругового конуса

фронтально – проецирующей плоскостью (рис. 91)

На фронтальной проекции линия сечения совпадает со следом Pπ2 секущей плоскости, поэтому задача сводится к определению горизонтальных проекций точек фигуры сечения.

Точки А и В лежат на очерковых образующих конуса, их горизонтальные проекции определяем при помощи линий проекционной связи.

Горизонтальные проекции точек линии сечения строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей.

Алгоритм построения:

1 Проводим вспомогательную горизонтальную плоскость Т(след

этой плоскости -Tπ2), которая пересекает конус по окружности радиуса R.

2 В горизонтальной плоскости проводим эту окружность и на нее с фронтальной проекции линиями связи переносим точку F пересечения заданной (Р) и вспомогательной (Т) секущей плоскостей.

3 Проводим еще несколько вспомогательных секущих плоскостей уровня и находим дополнительные точки на горизонтальной проекции, затем соединяем их плавной кривой, которая и является искомой линией фигуры сечения.

Рисунок 91

2 Построение линии сечения шара плоскостью частного положения (рис.92)

4 Пересечение конуса прямой линией (рис. 97)

Если прямая АВ перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, например плоскости проекций π2 (рис. 92), то фронтальные проекции точек пересечения прямой с конусом (К2 и К'2 ) известны — они совпадают с фронтальной проекцией прямой АВ. Горизонтальные проекции К1 и К'1 искомых точек найдены при помощи образующих S1 и S2.

При выборе вспомогательной секущей плоскости (рис. 98) для решения данной задачи, необходимо помнить, что в сечении должна получаться простая фигура. Очевидно, наилучшим вариантом будет тот, когда

вспомогательная плоскость рассечет поверхность конуса по образующим, т. е. по прямым линиям. А для этого надо, чтобы вспомогательная секущая плоскость проходила через вершину конуса. Поэтому для нахождения точек встречи прямой общего положения АВ с конической поверхностью через прямую АВ проведена вспомогательная плоскость, выраженная двумя пересекающимися прямыми АС и

CS, одна из

которых (CS) проходит через

вершину конуса, (причем для упрощения дальнейших построений прямая CS проведена так, чтобы она оказалась горизонталью вспомогательной плоскости (С2 S2 ) проведена параллельно оси x). Затем определяем горизонтальный след Pπ1 вспомогательной плоскости, в пересечении горизонтального следа с горизонтальной проекцией основания конуса отмечены образующие 1S и 2S и на них — искомые точки N и К. Для нахождения горизонтального следа плоскости в данном случае потребовалось построение горизонтального следа М только одной прямой АВ. Затем горизонтальный след плоскости проведен через точку М 1 и параллельно S1C1, т. е. параллельно горизонтальной проекции горизонтали S C .