UChEBNOE_POSOBIE_TEOR_POLYa_MY
.pdfГрафики D(r ), E(r ), ϕ(r ) |
Картина поля |
|
E 10 |
−2 |
B |
D 10−14 |
Кл |
|
ϕ = const |
R |
R |
|
|
|
|
||||||
ϕ |
10−4 B |
|
м |
|
D, E |
||||
|
|
|
м2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
D1 (r ) |
D2 (r ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 (r ) |
E2 (r ) |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
0 |
dS |
|
|
|
|
ϕ1 (r ) |
r,10 |
м |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
ϕ2 (r )
13
ЗАДАЧА 2
Определить закон изменения напряженности E и потенциала ϕ в пространстве вне заряженной бесконечно длинной оси с линейной плотностью заряда τ . Считать потенциал равным нулю на цилиндрических поверхностях, соосных с заряженной осью, радиуса rк .
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
Если Вы получили E = |
τ |
; ϕ = |
τ |
ln |
rк |
|
|
|
, то переходить к |
||||||||
2πεa r |
2πεa |
|
||||||
|
|
|
r |
кадру 16.
Иначе (или для самоконтроля) прочтите кадр 15.
15
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2 1. Поле заряженной оси имеет цилиндрическую симметрию.
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
Для цилиндра радиуса r |
по теореме Гаусса ∫ DdS = tL . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
S |
|
|
В то же время ∫ |
= D ∫ dS = D × 2prL . |
|
|
|||||||||
DdS |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
S |
|
|
|
|
Тогда D × 2prL = tL , откуда: D = τ ; |
E = |
τ . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τ |
2pr |
|
2πεar |
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
ϕ = −∫ Edr + C = − |
ln r + C , так как при r = rк ; ϕ = 0 , тогда: |
||||||||||
|
||||||||||||
C = τ |
|
|
r |
|
τ |
|
2πεa |
|
|
|
||
ln r ; j = |
|
ln rк . |
|
|
|
|
||||||
2pea |
|
к |
|
2pea |
r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 3 |
|
|
|
|
Рассчитать поле двухпроводной линии передач. Радиус проводов ли- |
||||||||||||
нии r0 = |
50 |
= |
50 |
|
~ |
|
|
расстояние |
между проводами |
d = 50 мм . |
||
e3 |
2,723 |
= 2,5 мм , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определить линейную плотность зарядов линии τ . Найти распределение |
||||||||||||
потенциала ϕ (x , y ) , |
составляющих напряженности Ex (x, y) |
и E y (x, y) . |
||||||||||
Построить график Ex (x), Ey (x), ϕ(x) в плоскости xoz или y = 0 , принять |
||||||||||||
потенциал равным нулю в точках плоскости yoz при x = 0 , |
U12 = 1 кВ. |
|||||||||||
Найти емкость линии на единицу длины. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x, y) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+τ |
|
|
|
|
−τ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
17
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3 Используем метод наложения. Потенциал любой точки пространства
равен сумме потенциалов в этой точке, вызванных зарядами каждого из проводов (см. кадры 7, 8, 15)
j = + t ln 1 |
+ C |
|
+ - t ln 1 + C |
|
= t ln r2 + C . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
2pe |
|
r |
2pe |
|
r |
|
|
2pe |
|
r |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
Учтем условие j |
|
r =r |
= 0 , получим C = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Таким образом: |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = |
|
|
τ |
|
|
r2 |
= |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
(x − |
d |
|
)2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
ln |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
2πε |
|
r1 |
|
|
|
|
2πε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
+ |
|
2 |
) + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
U12 = j1 |
|
x=− |
d |
+ r |
- j2 |
|
x= |
d |
−r |
= |
|
|
|
τ |
|
|
ln |
d − r0 |
- |
|
|
|
|
τ |
|
ln |
|
|
|
|
r0 |
|
|
= |
|
τ |
ln |
d − r0 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
2pe |
r0 |
|
|
|
|
|
2pe |
|
|
|
|
|
|
|
d |
- r0 |
|
|
|
|
pe |
|
r0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
||
|
Тогда линейная плотность заряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t = |
peU |
|
|
|
|
|
= |
pe U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
= 9,2 ×10 |
−9 |
Кл |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d −r0 |
|
|
0 |
|
|
12 |
= pe0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найдем распределение ϕ(x, y), |
|
|
E(x, y) = i Ex + i E y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - |
d |
)2 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
Ex = − |
|
|
|
|
|
; |
|
E y |
= − |
|
|
; j = 83,3ln |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
d |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¶ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x - |
d |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x + |
d |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ex = - |
|
|
|
|
|
|
= -83,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - |
d |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - |
d |
)2 + y2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ex = − |
|
= −83,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − |
|
) |
|
+ y |
|
|
|
|
|
(x + |
|
|
) |
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Для построения графиков ϕ(x), Ex (x), |
|
E y (x) при y = 0 (в плоскости, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
расположены |
провода) |
полагаем |
|
в |
|
|
уравнениях ϕ(x, y) |
, Ex (x, y) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ey (x, y), y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
x − |
d |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда ϕ = 166,7 ln |
|
2 |
|
; |
Ex = 166,7 |
|
− |
|
|
|
; Ey = 0 . Так как |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
d |
|
|||||||
|
|
x + |
d |
|
|
x + |
|
x − |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
поле симметрично относительно оси y , расчет ведем лишь для x ³ 0.
x , м |
0 |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
− r |
|
|
d |
+ r |
|
|
|
|
d |
|
|
2d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ϕ, кВ |
0 |
-0,183 |
|
|
|
|
-0,5 |
|
|
|
|
|
-0,5 |
|
|
|
-0,183 |
-0,085 |
|||||||||||||||||||
E ,кВ |
13,34 |
17,78 |
|
|
|
|
70,47 |
|
|
-70,46 |
|
|
-4,45 |
-0,9 |
|
||||||||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E, |
кВ |
|
ϕ, кВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(x) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− d |
|
|
|
|
|
− |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x) |
|
d |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
d |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Емкость C = |
τL |
= |
|
|
|
πεL |
|
= 9,2 пФ |
|
(L = 1 м). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d −r |
|
м |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
U12 |
ln |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 4
Площадь пластины плоского конденсатора S = 10−2 м2 , расстояние между пластинами d = 10−2 м , относительная диэлектрическая проницае- мость диэлектрика εr = 3 , напряжение между пластинами U = 100 B . По- тенциал одной из пластин равен нулю.
Рассчитать электростатическое поле внутри конденсатора, считая, что оно однородно и сосредоточено лишь внутри конденсатора. Найти по- верхностную плотность заряда пластины δсвб и поверхностную плотность
связанного заряда диэлектрика δсвз. Найти емкость конденсатора. Построить графики D(x), E(x), ϕ(x).
14
21
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4 1. Поле плоского конденсатора имеет плоскую симметрию.
|
|
S |
|
E |
|
E = 0 |
|
E = 0 |
x
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутри поле однородно, вне – |
отсутствует, тогда по теореме Гаусса: |
|||||||||||
∫ |
R |
= Dвнутр × S = D × S = ∑Q = d × S , |
||||||||||
DdS = Dвнеш × S + Dвнутр × S |
||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
D = δ ; |
E = δ . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2. j = -∫ Edx + C1 = - δe x + C1 .
Если принять потенциал левой пластины равным нулю j x=0 = 0 , то
C = 0 и ϕ = -δ |
x , т.к. U = |
d |
E × dx = d d , то d = |
εU = 2.65×10−7 |
Кл . |
||
∫ |
|||||||
1 |
ε |
|
e |
d |
м2 |
||
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
22
E = |
δ |
= |
U |
= 104 B |
|
; |
e |
|
м |
||||
|
|
d |
|
j(x) = -104 x B; ϕ(d ) = −100 B ;
d = D = 2,65 ×10−7 Кл м2 .
15
D = const
|
|
|
|
D |
|
E = const |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ (x) |
|
−U |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. d = e0 (er -1)E = 2 ×104 e0 =1,77 ×10−7 Кл |
м2 |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
δSε = εS = 26,55 пФ . |
|
|
|
|
|||||||
4. C = |
Q |
= |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
U |
dd |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 5. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решите самостоятельно. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Металлический |
шар радиуса |
r0 |
имеет |
потенциал U (применять |
j r →∞ = 0 ), помещен в минеральное масло с εa = 3ε0 .
Найти заряд шара. Рассчитать и построить E(r ), ϕ(r ) внутри и вне сферы.Найти емкость шара, плотность свободного и связанного заряда на поверхности шара.
Ответ: Q = 12πε0r0U ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = D = 0 ; ϕ = U ; |
E |
2 |
= |
|
r0U |
; j |
2 |
= |
r0 |
|
U ; |
||||
|
|||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
r |
2 |
|
|
r |
|||||
C = 12πε0r0 ; |
dсвб = |
3ε0U |
dсвз = |
|
2ε0U |
||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
. |
||||||||
r0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
24
ЗАДАЧА 6.
Решите самостоятельно.
Коаксиальный кабель-система двух соосных проводников имеет радиус внутренней жилы r0 , внутренний радиус внешней жилы r1. Напряжение между жилами U , диэлектрическая проницаемость изоляции кабеля ε .
Найти линейную плотность заряда жил, E(r ), D(r ), ϕ(r ), считая, что потенциал внутренней жилы равен U , внешней – нулю.
Примечание: особенностью коаксиального кабеля является отсутствие поля вне кабеля.
16
25
Если вы получили
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εU |
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
2πεU |
|
|
U |
|
|
D = |
|
|
|
ln |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
τ = |
|
|
; |
E = |
|
|
; |
|
|
; |
ϕ = U 1 |
+ |
|
r |
|
, |
||
|
r |
|
r |
|
r |
|
r |
|
||||||||||
|
ln |
1 |
|
|
|
r ln |
1 |
|
|
r ln |
1 |
|
|
|
ln |
1 |
|
|
|
r0 |
|
|
r0 |
|
|
r0 |
|
|
r0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то переходите к кадру 29, иначе (или для самоконтроля) прочитайте кадр 26.
26
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 6 1. Поле коаксиального кабеля имеет цилиндрическую симметрию,
поэтому по теореме Гаусса
D × 2pr = t; D = |
|
τ |
; E = |
τ |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2πr |
2πεr |
|
|
|
|
|||
2. ϕ = −∫ Edr + C = − |
τ |
ln r + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
2πε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
||
Т.к. при r = r , ϕ = U , то C = |
ln r + U и ϕ = |
ln |
r0 |
+ U . |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
2πε |
0 |
|
|
2πε |
|
r |
При r = r1 , ϕ = 0 , тогда линейная плотность зарядов провода
|
|
|
|
|
|
|
|
εU |
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
2πεU |
|
U |
|
; D = |
|
|
|
ln |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
τ = |
|
|
; E = |
|
|
|
|
|
; ϕ = U 1 |
+ |
|
r |
|
. |
||
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
r |
|
|||||||
|
ln |
1 |
|
|
r ln |
1 |
|
r ln |
1 |
|
|
|
ln |
1 |
|
|
|
r0 |
|
r0 |
|
r0 |
|
r0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
ЗАДАЧА 7
Решите самостоятельно.
U = 3 кВ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d = 0,5 м , |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
r0 = 1,5 мм. |
U |
|
|
4 |
|
|
|
||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: ϕA , EA , ϕB , EB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d
17
Ответ: ϕA = 284B , EA = ExA2 + EyA2 = ExA = 2,76 кВм, ϕB = 0 , EB = ExA2 + EyB2 = ExB = 0,41 кВм.
28
Если у Вас в процессе работы возникли вопросы, обратитесь к препо- давателю за консультацией или изучите следующие разделы литературы:
§ 19.1–19.29.
Бессонов Л.Р. Теоретические основы электротехники: Электромаг- нитное поле. – М. : Высш. школа, 1984.
§ 23.1–24.21.
Теоретические основы электротехники: В 3-х т. : учебник для вузов. Том 3. – 4- е изд. / К.С. Демирчан, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечу-
рин. – СПб. : Питер, 2003. – 377 с.
Занятие окончено.
Желаем успеха.
18
1
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 26
ТЕМА: РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
2
Цель занятия
1.Научится рассчитывать простейшие стационарные электрические поля постоянного тока в неподвижной проводящей среде, определять проводимость устройств.
2.Научится рассчитывать простейшие стационарные магнитные поля постоянного тока, определять индуктивность устройств.
3
Электрические заряды, движущиеся в проводящей среде, создают как внутри, так и вне этой среды электрическое и магнитное поля. При постоянной интенсивности движения зарядов – постоянном токе – эти поля называются стационарными. Для стационарных электрических и магнит-
ных полей постоянного тока характерно:
|
→ |
→ |
→ |
|
|
∂ D = 0 ; |
∂ B |
= const , |
|
|
= 0 ; J |
|||
|
∂t |
∂t |
|
|
где D – |
электрическое смещение (индукция); B – магнитная индукция; |
|||
J – |
плотность тока. |
|
|
|
Электрические и магнитные поля постоянного тока не влияют друг на друга и могут рассматриваться раздельно.
4
Рассмотрим первую целевую задачу – РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА (ЭППТ)
1. Уравнения поля в проводящей среде вне источников ЭДС:
в интегральной форме |
в дифференциальной форме |
|
→ → |
→ |
= 0 |
∫ E dL = 0 |
rot E |
L
19
Уравнение Фарадея-Максвелла
→ → |
|
|
|
|
b → → |
j = ∫ E dL+ C ; |
|
|
Uab = ϕa − ϕb = ∫ E dL . |
||
L |
|
|
|
|
a |
Принцип непрерывности тока |
|
|
|
||
→ → |
|
→ → |
|
; |
divJ = 0. |
∫ J dS = 0 |
|
∫ J dS = I |
|||
s |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение связи
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
= g E , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где E – напряженность электрического поля, В/м; |
J – |
плотность тока, |
||||||||||||
A м2 ; γ – удельная проводимость среды |
См |
= |
1 |
|
; ϕ – потенци- |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
ал, В; U – напряжение, В; I – |
ток, А. |
|
|
м |
Ом× м |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Сопротивление R, проводимость G устройства |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
R = |
1 |
|
= |
U |
= |
∫b E dL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
G |
I |
∫ |
→ → |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
J dS |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Между уравнениями ЭППТ и ЭСП (электростатического поля) существует аналогия:
|
∫ |
→ → |
∫ |
→ → |
∫ |
→ → |
→ |
→ |
ЭППТ |
E dL = 0; |
J dS = 0 ; |
J dS = I ; |
J |
= γ E . |
|||
|
L |
→ → |
s |
→ → |
s |
→ → |
→ |
→ |
|
∫ |
∫ |
∫ |
|||||
ЭСП |
E dL = 0 ; |
D dS = Q ; |
D dS = DQ ; |
D |
= ea E . |
|||
|
L |
|
s |
|
s |
|
|
|
4. Возможные пути расчета ЭППТ.
4.1 Аналогия уравнений позволяет использовать результаты расчета электростатического поля при аналогичной геометрии полей. При этом
|
→ |
→ |
производится замена D на J , εa на γ , Q на I . |
||
4.2 |
Если электрическое поле обладает сферической, цилиндриче- |
|
ской или |
плоской симметрией, можно воспользоваться уравнением |
|
→ → |
|
|
∫ J dS = I |
(аналогично использованию теоремы Гаусса – см. практическое |
|
s |
|
|
занятие № 25).
20