termeh
.pdfдействующие на систему внешние силы: силы тяжести P1 , P2 , P3 и реакцию
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
направляющих N . Запишем уравнение |
движения |
центра масс системы в |
||||||||||||
векторной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(1) |
|
|
|
M a |
C |
P |
P |
P |
N |
|||||||
|
|
|
1 2 |
3 |
|
|
|
Проведем координатные оси Oxy так, чтобы ось y проходила через точку C30, где находился центр масс плиты в момент времени t0=0.
а) Определение перемещения x3(t) (вторая задача динамики). Для
определения x3 f3 (t) спроектируем уравнение (1) на ось x. Получим |
|
||
M xC Fkxe |
или M xC 0, |
(2) |
|
так как все внешние силы перпендикулярны оси x и поэтому Fkxe 0 . |
|||
Отметим также, что VCx 0 |
при t 0. Поэтому, интегрируя дважды уравнение |
||
(2), получим: |
|
|
|
|
M xC const |
(3) |
|
(закон сохранения координаты центра масс системы). Из (3) следует, что |
|||
|
M xC (t) M xC (0) . |
(4) |
|
Определим значение |
M xC (t) . |
Координата xC центра масс |
системы |
определяется по формуле |
|
|
|
M xC m1x1 |
m2 x2 m3 x3 . |
(5) |
Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно x1 x3 R cos 1, x2 x3 r sin 2 . Подставляя эти выражения в
формулу (5) и учитывая заданные зависимости 1 и 2 от t, получим
M xC (t) (m1 m2 m3 )x3 (t) m1R cos( t) m2 r sin 2 t |
2 . |
(6) |
Определим значение M xC (0) . Подставляя в (6) t=0, x3(0)=0, получим |
|
|
M xC (0) m1R m2 r . |
|
(7) |
Всоответствии с уравнением (4), приравниваем правые части (6) и (7):
m1R m2 r (m1 m2 m3 )x3 m1R cos( t) t2 .m2 r cos
Отсюда получаем зависимость от времени координаты x3.
Ответ: x3 0,09[3cos( t) 2cos t2 1] м, где t – в секундах.
б) Определение реакции N (первая задача динамики). Для определения N f (t) спроектируем векторное уравнение (1) на вертикальную ось y (см.
рис. Д2):
M y |
|
F e |
или |
My |
N P P |
P . |
(8) |
C |
|
ky |
|
C |
1 2 |
3 |
|
Отсюда получим, учитывая, что P1=m1g, и т.д.:
|
N M yC (m1 m2 |
m3 )g , |
(9) |
|
|
|
|
yC определим сначала |
yC (t) . |
где |
yC пока неизвестно. Для нахождения |
|||
|
|
|
|
|
Координата yC центра масс системы определяется по формуле |
|
|||
|
M yC m1 y1 m2 y2 |
m3 y3 . |
(10) |
Из рис. Д2 видно, что в произвольный момент времени ординаты грузов равны соответственно y1 H R sin 1 , y2 H r cos 2 , а y3 H OC30 const .
81
Подставляя эти выражения в формулу (10) и учитывая заданные зависимости1 и 2 от t, получим
M yC (t) (m1 m2 m3 )H m1Rsin( t) m2 r cos 2 t2
или M yC (t) (m1 m2 m3 )H m1Rsin( t) m2r sin t2 .
Продифференцировав обе части этого равенства два раза по времени,
найдем M yC m1R 2 sin( t) m2 r 2 4 sin t2 .
Подставив это значение M yC в уравнение (9), определим искомую зависимость N от t.
Ответ: N 254,8 1,2 2 [6sin( t) sin t2 ], где t – в секундах, N – в
ньютонах.
Задача Д3 (тема: “Теорема об изменении кинетического момента
системы относительно оси”)
Однородная |
горизонтальная |
платформа |
(круглая |
радиуса |
R |
или |
|||
прямоугольная со |
сторонами R |
и |
2 R , |
где |
R=1,2 |
м) |
массой m1 24 |
кг |
|
вращается с угловой скоростью |
|
10 |
с-1 |
вокруг |
вертикальной |
оси |
z , |
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
отстоящей от центра масс C платформы на расстояние OC b (рис. Д3.0-Д3.9, табл. Д3); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д3.0а (вид сверху).
В момент времени t0 0 по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m2 8 кг по закону s AD F (t) ,
где s выражено в метрах, а t – в секундах. Одновременно на платформу начинает действовать пара сил с моментом M (задан в Ньютоно-метрах; при M 0 его направление противоположно показанному на рисунке).
Определить, пренебрегая массой вала, зависимость f (t) , т.е. угловую
скорость платформы, как функцию времени.
На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s 0 (когда s 0 , груз находится по другую сторону от точки A ). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC b от центра C .
Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Теорема об изменении кинетического момента системы». Ответьте на вопросы:
1.Вычисление моментов количества движения материальной точки относительно неподвижного центра и неподвижной оси.
2.Определения: кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра и неподвижной оси.
3.Сформулируйте теоремы об изменении кинетических моментов механической системы относительно неподвижного центра и неподвижной оси, запишите соответствующие уравнения.
4.Чему равен кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения?
82
5.Что такое момент инерции твердого тела относительно оси? Что такое радиус инерции?
6.Сформулируйте теорему о моментах инерции относительно параллельных осей.
7.Запишите дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
|
|
|
Таблица Д3 |
|
|
|
|
Номер условия |
b , м |
s F (t) , м |
М, Нм |
|
|
|
|
0 |
R |
– 0,4 t 2 |
6 |
1 |
R / 2 |
– 0,6 t 2 |
4 t |
2 |
R |
– 0,8 t 2 |
– 6 |
3 |
R / 2 |
10 t |
– 8 t |
4 |
R |
0,4 t 3 |
10 |
5 |
R / 2 |
– 0,5 t |
– 9 t 2 |
6 |
R |
– 0,6 t |
8 |
7 |
R / 2 |
0,8 t |
6 t 2 |
8 |
R |
0,4 t 3 |
– 10 t |
9 |
R / 2 |
0,5 t 2 |
12 t 2 |
Рис. Д3.0 |
Рис. Д3.0а |
Рис. Д3.1 |
Рис. Д3.1а |
83
Рис. Д3.2 |
Рис. Д3.2а |
Рис. Д3.3 |
Рис. Д3.3а |
Рис. Д3.4 |
Рис. Д3.4а |
Рис. Д3.5 |
Рис. Д3.5а |
84
Рис. Д3.6 |
Рис. Д3.6а |
Рис. Д3.7 |
Рис. Д3.7а |
Рис. Д3.8 |
Рис. Д3.8а |
Рис. Д3.9 |
Рис. Д3.9а |
85
Теорема об изменении кинетического момента механической системы (краткие сведения из теории)
Основные понятия
Количество движения (импульс) точки – это вектор, равный mV , где m – масса точки, V – абсолютная скорость точки.
Момент количества движения точки относительно какой-либо оси z mz (mV ) определяется так же, как момент силы относительно оси z mz (F ) ; в частности, mz (mV ) 0 если вектор V параллелен z или прямая, на которой
расположен вектор V , пересекает ось z.
Кинетический момент системы K z относительно какой-либо оси z равен
(алгебраической) сумме моментов количеств движения точек относительно этой оси:
K z mz (mkVk ) .
Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно |
||
(неподвижной) оси вращения z равен |
|
|
K z J z , |
|
(1) |
где – угловая скорость тела, |
|
|
J z mk hk2 |
– |
|
– момент инерции тела относительно оси z; |
здесь mk – масса точки тела, |
hk – |
расстояние от этой точки до оси z. |
|
|
Момент инерции тела зависит от формы тела и положения оси z. |
||
Значения J z для однородных тел простой формы (кольцо, стержень, |
диск, |
прямоугольник, цилиндр и т. д.) приводятся в справочниках по механике; значения J z , необходимые для решения данной задачи, приведены ниже в
указаниях к решению.
Если задан радиус инерции тела, то J |
z |
M 2 , где M – масса тела. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Гюйгенса (теорема о моментах инерции относительно |
|||||||||
параллельных осей): |
J |
Az |
J |
Cz |
Md 2 ; где |
J |
Cz |
– момент инерции тела |
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно оси, проходящей через центр масс, J Az – момент инерции тела
относительно оси Az, параллельной оси Cz, M – масса тела, d – расстояние между осями Az и Cz.
Теорема об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси
Формулировка: производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижной оси z равна (алгебраической) сумме моментов внешних сил относительно этой оси; математическая запись:
dK z |
mz ( |
|
|
|
|
Fke ) . |
(2) |
||||
|
|||||
dt |
|
86
Частный случай (закон сохранения K z )
Если внешние силы таковы, что mz ( |
|
|
|
const , то есть |
||
Fke ) 0 , |
то K z |
|||||
K z (t) K z (0) . |
|
|
||||
Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела |
||||||
Для вращающегося твердого тела, подставляя (1) в |
(2) и |
учитывая, что |
||||
J z const , найдем |
|
|
||||
J z mz ( |
|
|
|
|
||
Fke ) – |
|
|
–дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела; здесь
– угловое ускорение тела.
Указания. Задача ДЗ – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент K z системы
относительно оси z определяется как алгебраическая сумма кинетического момента платформы и момента количества движения груза. При этом следует учесть, что количество движения груза равно произведению его массы на
абсолютную скорость Vабс , которая складывается из относительной Vотн и переносной Vпер скоростей, т.е. Vабс Vотн Vпер . Поэтому и количество движения этого груза mVабс равно mVабс mVотн mVпер . Тогда для вычисления момента количества движения груза D mz (mVабс ) можно воспользоваться
|
|
|
|
|
|
|
|
теоремой |
Вариньона (статика): mz (mV |
абс ) mz (mVотн ) mz (mVпер ) ; эти |
|||||
моменты |
вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения |
разъяснен в примере Д3.
При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид платформы сверху (с конца оси z ), как это сделано на рис. Д3.0а-Д3.9а.
Момент инерции однородной пластины массы m относительно оси Cz , перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс C , равен:
|
|
|
|
|
|
m a2 |
a2 |
|
|
||
для прямоугольной пластины со сторонами a |
и a |
|
J |
|
1 |
2 |
|
|
; |
||
2 |
Cz |
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для круглой пластины радиуса R |
|
|
J |
|
|
m R2 |
. |
|
|
|
|
|
|
Cz |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
Пример ДЗ. Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами 2l и l ), имеющая массу m1 , жестко скреплена с вертикальным
валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угловой скоростью 0 |
(рис. |
ДЗа). В момент времени t0 0 на вал начинает действовать пара |
сил с |
вращающим моментом M kt (на рис. Д3 отрицательный знак M уже учтен в показанных противоположных направлениях M и 0 ); одновременно груз D
массой m2 , находящийся в желобе AB в точке C , начинает двигаться по желобу (под действием внутренних сил) по закону s CD F (t) .
Дано: m1 = 16 кг, m2 = 10 кг, l = 0,5м, 0 2 с-1, s 0,4 t 2 (s – в метрах, t
– в секундах), k 6 H м/с.
Определить: f (t) – закон изменения угловой скорости платформы.
Рис. Д3
Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза D . Для определения угловой скорости применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:
dK z |
mz ( |
|
|
|
|
Fke ) . |
(1) |
||||
|
|||||
dt |
|
Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести P1, P2 , реакции подпятника RE , подшипника RH и вращающий момент M . Так как силы P1 и P2 параллельны оси z , а реакции RE и RH эту ось пересекают, то
их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление 0 (т.е. против хода часовой стрелки), получаем
mz (Fke ) M kt ,
иуравнение (1) принимает вид:
dK z |
kt. |
(2) |
|
||
dt |
|
Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим
88
K |
|
|
k t 2 |
C . |
(3) |
z |
|
||||
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
Для рассматриваемой механической системы
K |
z |
K пл K D , |
(4) |
|
|
z |
z |
|
где K zпл и K zD – кинетические моменты относительно оси z платформы и груза D соответственно.
Поскольку платформа вращается вокруг оси z, то ее кинетический момент равен произведению момента инерции относительно оси z на угловую скорость:
|
|
|
|
K пл J |
z |
. |
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
Значение момента инерции платформы относительно оси z найдем по |
||||||||||
теореме Гюйгенса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
z |
J |
Cz |
m (OC)2 |
J |
Cz |
m l 2 |
, |
(6) |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
где JCz – момент инерции платформы относительно оси Cz, параллельной оси z и проходящей через центр масс платформы C .
Момент инерции JCz относительно оси, проходящей через центр масс платформы перпендикулярно ее плоскости, равен:
JCz m1 [(2l)2 l 2 ]/12 5m1 l 2 /12.
Тогда
J z 5 m1 l 2 /12 m1 l 2 17 m1 l 2 /12 .
Следовательно,
K пл (17 m l 2 |
/12) . |
(7) |
|
z |
1 |
|
|
Для определения K zD обратимся к рис. Д3б и рассмотрим движение
груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным движением, а вращение самой платформы вокруг оси z – переносным
движением. Тогда абсолютная скорость груза VD Vотн Vпер , и по теореме Вариньона,
|
|
K D m |
|
|
|
|
) m |
|
|
|
|
(8) |
z |
(m V |
z |
(m V ). |
|||||||||
|
|
z |
2 отн |
|
2 пер |
|
||||||
Так как груз D движется по закону s CD 0,4t 2 , то |
||||||||||||
|
|
|
|
отн s 0,8t . |
|
|||||||
|
|
|
(при s 0 направление |
|||||||||
Изображаем вектор V |
отн на рис. Д3б с учетом знака s |
Vотн было бы противоположным).
Затем, учитывая направление угловой скорости , изображаем вектор переносной скорости Vпер (Vпер OD) . Модуль переносной скорости равен
89
Vпер OD .
Тогда равенство (8) примет вид:
|
|
|
K D m V |
|
OC m V |
OD m |
0,8t l m (OD)2 . |
(9) |
|||||||
|
|
|
|
z |
2 отн |
|
2 |
пер |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Но на рис. Д3б видно, что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
OD2 l 2 |
s2 l 2 |
0,16t 4 , |
|
|||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K D m 0,8t l m |
|
(l 2 |
0,16t 4 ) . |
(10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Подставляя K zпл |
и K zD |
из (7) и (10) в равенство (4), получим с учетом данных |
|||||||||||||
задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
17 |
m l 2 |
m |
(l 2 |
0,16t 4 ) m 0,8t l (8,17 1,6t 4 ) 4t . |
(11) |
|||||||
z |
|
||||||||||||||
|
12 |
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда уравнение (3), где k 6, принимает вид |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(8,17 1,6t 4 ) 4t 3t 2 C . |
(12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Постоянную интегрирования определяем из начального условия: при |
t 0 |
||||||||||||||
|
|
2 с-1, откуда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
(8,17 1,6t 4 ) |
|
|
16,34 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
При этом значении C1 из уравнения (12) находим искомую зависимость от t.
Ответ:
16,34 4t 3t 2 , 8,17 1,6t 4
где t – в секундах, – в с-1.
Задача Д4 (тема: “Теорема об изменении кинетической энергии системы”)
Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 = 0,3 м, r3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения 3 0,2 м, блока 4 радиуса R4 = 0,2 м и катка (или подвижного
блока) 5 (рис. Д4.0-Д4.9, табл. Д4); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром (диском), массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1. Тела системы соединены друг с другом нерастяжимыми нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на
90