Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

termeh

.pdf

Скачиваний:

144

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Координатный способ

x x(t) уравнения y y(t) движения

zz(t) точки M

вкоординатной форме.

Уравнения

движения

позволяют определить

Траектория

точки

проекции V на оси,

это линия,

которую

затем величину и на-

Проекции a на координатные оси:

описывает

точка

правление.

dVx

a x

; a y

d y

;

при движении.

; Vy

;

dt 2

Уравнение

линии

dVz

получим,

исключив

;

модуль:

параметр t

из урав-

; модуль:

dt 2

нений

движения;

или

строим линию

V 2 V

V 2

;

a y

;

по точкам, подстав-

)

cos(

, i )

; cos(

;

ляя

значения t

cos(V , i )

;

уравнения

движе-

ния.

cos(a , k )

cos(V , j)

cos(V , k )

Естествен-

Траектория

Естественные оси: начало осей в

ный способ

известна.

том месте, где находится движу-

щаяся точка М. Ось направлена

по касательной к траектории. Ось n

- главная нормаль -

оси

Траектория

известна

расположена

соприкасающейся

заранее

считается

V ds ;

если V 0, то

плоскости; направлена

в сторону

криволинейной

вогнутости траектории. Ось b - би-

осью

На

траекто-

нормаль - к плоскости

( , n) .

точка

движется

рии

указано

начало

сторону

положитель-

отсчета

коорди-

ных значений s ; если

наты s (ноль 0), на-

V 0, -

точка движет-

правление

отсчета s

ся

в сторону отрица-

(+, -);

тельных

значений

s s(t)

уравнение

вектор

направлен

(закон)

движения

по

касательной

точки по траектории.

траектории

в данной

Проекции a на естественные оси:

точке.

d 2 s

V 2

;

ab 0;

dt 2

при a

0 вектор

a направлен

сторону положительных значений s;

- радиус кривизны траектории в

точке М. Если знаки

совпадают, то движение точки

ускоренное, в противном случае -

замедленное.

; a

an2 a 2 .

Пример К1a. Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:

		x 4 sin	t		,		(1)

		2
		y 6 cos		t		,	(2)

		2
где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах.
	Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при
t t0	0	(начальное положение) и при t t1
						1 3 c; скорость V	точки;

ускорение a точки; касательное a , нормальное an ускорения точки и радиус кривизны траектории при t t1 1 3 c. В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение. 1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t – время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

sin	t		x	,	cos	t		y	.

	2	4				2	6

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что sin2 cos2 1, найдем:

x2 y2 1. 42 62

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. К1а) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными.

2. Находим положение точки при t t0 , подставляя это значение t в (1) и (2):

t t0	0	x x	0 0,
			6 м.
		y y0

3. Находим положение точки при t t1, подставляя это значение t в (1) и (2):

t t1 1 3 c		x x1	2 м,

			3 м 5,20 м.
	y y1 3

Указываем на рисунке точки M0 и M1 , учитывая масштаб координат.

4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) – уравнения движения точки – находим

4sin

2 cos

(3)

dy 3 sin t .

(4)

Модуль скорости V

V 2 V

. Подставляя сюда (3), (4), получим

4 2 cos2

t 9 2 sin 2

4 5sin

2 t

(5)

При t t

1 3

с : V

3 м/c 5,44 м/c ,

м/c 4,71м/c ,

21 2

м/c 7,20 м/c .

(6)

Выберем масштаб для скоростей (рис. К1а), проведем в точке M1

линии

параллельные осям x и y, и на этих линиях в масштабе скоростей отложим

отрезки: 5,44 по оси x

и - 4,71 по оси y, что соответствует величинам и знакам

найденных проекций вектора скорости. На этих составляющих строим

параллелограмм (прямоугольник), диагональ которого по величине и

направлению

соответствует

вектору

V 1 .

Проверьте

следующее:

длина

построенного

вектора

должна

получиться

равной

найденному

значению

21 м/c 7,20 м/c (с учетом масштаба скоростей). Вектор V 1

направлен

по касательной к траектории в точке

и показывает направление движения

точки по траектории.

В точке

именно сейчас

M 0

M 1

построим естественные оси:

1 x

касательную

и главную

a1x

нормаль

(эти

оси

потребуются позже). Каса-

V1 y

тельную 1 проводим вдоль

V 1 ;

главную

нормаль

1 проводим перпендикулярно

плоскости рисунка и

a1 n

направляем

центру

кривизны

траектории

a1 y

точке

(в

сторону

вогнутости траектории).

Масштаб длины: _____ =1м, скорости ___ =1м/с, ускорения: __ =1м/с2

Рис. К1а.

5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):

						a								d 2 x						dV			x	2 sin								t			,				(7)
						a		x						dt 2							dt			2 sin								2			,				(7)
								x

													d 2 y						dVy								3 2							t		.			(8)
						a	y																							cos
						a							dt 2								dt						2			cos					2


Модуль ускорения a						a2 a2						. Из (7), (8) получим
						x				y


			a		4 sin 2						t					9 4									t				2				4				t
																					cos2															5cos2		.	(9)
											2						4				cos2				2				2							5cos2	2	.	(9)
											2						4								2				2								2
Подставляя в (7) - (9) t t1 1 3 c , найдем
		2
		2																								3		3 2
a				м/с2		4,93 м/c2											,	a													м/с2 12,8 м/c2 ,
a				м/с2		4,93 м/c2											,	a													м/с2 12,8 м/c2 ,
1x		2																			1y						4
		2																									4
															2
									a						2		31					м/с2 13,7 м/c2 .																	(10)
									a													м/с2 13,7 м/c2 .																	(10)
										1						4
																4
В точке M1	строим в масштабе проекции ускорений																																			a1x , a1y , учитывая их

величины и знаки,			а затем строим вектор ускорения a1 .																																	Построив a1 , следует
проверить, получилось						ли			на						рисунке									a 13,7 м/c2												(c учетом			масштаба
																									1
ускорений), и направлен ли вектор a1																		в сторону вогнутости траектории (вектор

a1 проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).

6. Находим касательное ускорение a , характеризующее изменение модуля V .

2 t

5 2 sin t

Учитывая (5), получим a

4 5sin

2 t

dt dt

5sin

При t t1 1 3 c

5 2

м/c2 4,66 м/с2 .

(11)

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени

равенство V 2 V 2

V 2

. Получим

dVy

, откуда следует

Vx ax Vy ay

Нормальную составляющую an

ускорения,

характеризующую изменение

направления V , можно найти по формуле

V 2

(12)

если - радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что,

a an и, следовательно, a 2	an2 a 2 ) по формуле

	an		a 2 a 2 .	(13)
Так как в данной задаче радиус		заранее неизвестен,		то используем (13).
Подставляя (10), (11) в (13), получим

a	6 2	21 м/c2 12,92 м/c2 .		(14)
1n

Вернемся к рис. К1а. Ранее на этом рисунке вектор a1 был построен по составляющим a1x , a1y . С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям 1 и n1 (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы

и a1n .

Далее следует провести проверку: с учетом масштаба ускорений

определить по рисунку величины a1 , a1n

и убедиться,

что они совпадают с

(11), (14).

Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов V1 и

совпадают (рис. К1а).

Найдем

радиус

кривизны

, используя (12),

откуда

следует, что

V 2 a

. Подставляя в последнее соотношение V

и a

из (6) и (14), получим

радиус кривизны траектории в точке M1 :

21 8 м 4 м .

Отложим на

рисунке от точки

по оси n1

отрезок

M1C1

длины 1 (в масштабе длин);

полученная точка С1 есть центр кривизны траектории в точке M1 .

Объединяя полученные результаты, запишем

Ответ:

1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение

y 2

2. M0 (x0 0, y0 6 м);

3. M1 (x1 2

м, y1 3 3 м 5,20 м);

м/c 7,20 м/c ;

м/с2 13,7 м/c2 ;

5 2

6 2

м/c2 4,66 м/с2 ; a

м/c2 12,92 м/c2 ;

м 4 м .

Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах.

Если траектория

точки

–

прямая

линия, то

и, следовательно,

V 2 0 .

Найденное

по

величине

направлению

ускорение

равно

ускорению a .

Если траектория

точки

–

окружность, то

R ,

где R

–

радиус

окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки

найдена, то a

V 2

V 2 R .

Вектор

направлен к

центру окружности.

Касательное ускорение a

dt , полное ускорение a

a2 .

Пример К1б.

Точка движется по дуге окружности радиуса R 2 м по

закону s 2 sin

(s – в метрах, t – в секундах), где s

AM (рис. К1б).

Определить:

скорость

ускорение

точки в

момент

времени

t1 1с ;

характер движения точки по траектории (ускоренное или замедленное).

Решение. Определяем скорость точки:

cos

t .

При t1 1с получим V1

1,11 м/с.

Ускорение находим по его касательной и

нормальной составляющим:

sin

t ,

V 2

Рис. К1б

При t1 1с получим, учитывая, что R 2 м ,

2 16 0,87 м/c2 ,

V 2 2 2 16 0,62 м/с2 .

Тогда ускорение точки при t1 1с будет

a 2

a 2 2

16 1,07 м/с2 .

Изобразим на рис. К1б векторы V1 , a1n , a1 , a1 , считая положительным

направление от A к M. Так как V1 0 ,

0, то движение точки замедленное.

Ответ: V

2 4 1,11 м/с; a

2 16 0,87 м/c2 ;

2 16 0,62 м/с2 ; движение точки замедленное.

Примечание: одна из частей задачи К3 (см. ниже) аналогична задаче К1б.

Задача К2 (тема: “Простые движения твердых тел”)

Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1 = 2 см, R1 = 4 см, у колеса

2 – r2 = 6 см, R2 = 8 см, у колеса 3 – r3 =12 см, R3 = 16 см. На ободах колес расположены (в произвольном месте обода) точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где 1 (t) – закон вращения колеса 1, s4 (t)

– закон движения рейки 4, 2 (t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, V5 (t) – закон изменения скорости груза 5 и т. д. ( выражено в радианах, s – в

сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для и против хода часовой стрелки, для s4 ,s5 и V4 , V5 – вниз.

Определить в момент времени t1 = 2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (V – линейные, – угловые) и ускорения (а – линейные, – угловые) соответствующих точек или тел (V5 – скорость груза 5 и т. д.).

Указания. В задаче К2 рассматривается многозвенный механизм, каждое звено которого совершает простое движение – поступательное (рейка 4 и груз 5) или вращение вокруг неподвижной оси (колеса 1-3). Для исследования движения звеньев следует переходить от одного звена к другому, начиная с ведущего. При расчетах нужно учесть, что точки соприкосновения тел имеют одинаковые скорости (так как проскальзывание отсутствует).

Рис. К2.5

Рис. К2.6		Рис. К2.7

														4
														4

											5				Рис. К2.9
											5				Рис. К2.9
	Рис. К2.8
	Рис. К2.8
																Таблица К2
																Таблица К2

Номер															Найти
Номер									Дано
Условия									Дано				скорости			Ускорения
Условия


0		s	4			4( 7t t 2 )							VB ,VC			2 ,aA ,a5
			4

1		V 2(t 2										3)	VA ,VC			3 ,aB ,a4
				5
2				2t 2								9	V4 , 2			2 ,aC ,a5
						1
3						2			7t 3t 2				V5 , 3			2 ,aA ,a4
						2

4							3			3t t 2			V4 , 1			1 ,aC ,a5
							3

5		5t 2t 2											V5 ,VB			2 ,aC ,a4
						1
6				2		2( t 2						3t )	V4 , 1			1 ,aC ,a5
				2

7				V 3t 2								8	VA , 3			3 ,aB ,a5
						4
8		s			5			2t 2				5t	V4 , 2			1 ,aC ,a4
					5

9						3			8t 3t2				V5 ,VB			2 ,aA ,a4
						3

Простые движения твердых тел (краткие сведения из теории).

Простых движений два: 1. Поступательное движение тела, 2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

1. Поступательное движение тела.

Признак движения: при движении тела любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.

Основная теорема: при поступательном движении тела все точки описывают одинаковые траектории и в один и тот же момент времени имеют одинаковые по величине и направлению скорости, а также одинаковые по величине и

направлению ускорения. Из теоремы следует, что это вид движения, когда скорость V и ускорение a одной точки являются скоростью и ускорением тела в целом (это верно только для поступательного движения).

Задание движения тела. Из теоремы следует: для того, чтобы задать движение тела, надо задать движение одной его точки, что можно сделать векторным, координатным и естественным способом (см. задачу К1). Заметим, что траектории точек - любые линии (не обязательно прямые).

Кабина "колеса обозрения" и стержень AB механизма совершают поступательное движение (см. признак), но точки этих тел описывают, соответственно, окружности и циклоиды.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика