Кур_тех_07

Рисунок 5 – Структурная схема системы управления

В соответствии с рисунком изображение ошибки запишем так: e(р) = j3 (р) -[j3 (p)W3ϕ3 (p) + l(p)W3λ (p)] =

2. Время регулирования, характеризующее быстродействие САУ, определяется как время t P , через которое разность

e(t) - e уст £ d ,

где δ - заданная величина, определяемая требуемой точностью системы.

3.Максимальное перерегулирование, определяемое как наибольший заброс регулируемой величины относительно установившегося значения.

4.Число перерегулирований, определяемое как число выбросов, для ко-

торых e(t) - e уст - d > 0 .

Указанные показатели качества являются прямыми, для их определения необходимо построить или записать переходный процесс.

Статическая ошибка по управляющему и возмущающему воздействиям можно быть найдена на основании теоремы о предельном переходе.

11

Если ε(t) = 0 , то система называется астатической по управляющему воз-

соответствующему воздействию. Она может быть статической по одному воздействию и астатической по другому

2.5 Определение периода квантования, обеспечивающего измерение регулируемой величины без потери информации

Система управления является фильтром, не пропускающим высокие частоты. Если на вход системы, например, по каналу задания, подать гармонический сигнал с амплитудой равной единице, то система управления будет стремиться к тому, чтобы и регулируемая величина изменялась с той же амплитудой и частотой. Однако, в силу инерционности элементов системы, сигнал на выходе будет отставать по фазе и уменьшаться по модулю. При какой-то частоте сигнал на выходе не будет превышать по амплитуде 3% от входного. Эту частоту будем считать частотой пропускания системы или частотой среза ωc .

Академик В.А. Котельников доказал, что для восстановления непрерывного сигнала без потери информации по его дискретным значениям необходимо, чтобы частота его измерений была в два раза выше частоты среза.

Построив амплитудно-фазовую характеристику замкнутой системы, можно найти ее частоту среза и определить период квантования, обеспечивающий измерение регулируемой величины без потери информации по формуле

2.6 Структура цифровых систем

Специфика исследования цифровых систем заключается в том, что съем информации и изменение управляющего воздействия на линейную

12

часть системы осуществляется в дискретные равноотстоящие моменты времени. Поэтому для описания динамики и статики цифровых систем используются уравнения в конечных разностях и дискретные передаточные функции.

Преимущества цифровых регуляторов в сравнении с непрерывными заключаются в том, что один цифровой регулятор может заменить несколько аналоговых, а также реализовать дополнительные функции проверки номинальных режимов, подстройку параметров регулятора по разомкнутому циклу, обмен информацией с другими регуляторами, взаимное резервирование, диагностика, выбор управляющих алгоритмов, реализацию адаптивных законов управления.

В отличие от непрерывных регуляторов законы регулирования здесь реализуются в форме алгоритмов, запрограммированных с помощью аппаратных или программных средств, обрабатываются дискретные по времени сигналы, причем сами сигналы квантованы по амплитуде в аналогоцифровых и цифро-аналоговых (АЦП и ЦАП) преобразователях и в центральном процессоре.

Благодаря гибкости средств программного обеспечения выбор законов управления не ограничивается только стандартными звеньями П, И или D - типов. Кроме того, цифровые системы обладают повышенной чувствительностью, большей надежностью, отсутствием дрейфа, повышенной помехоустойчивостью, меньшими габаритами и массой, удобством в программировании.

Элементная схема цифровой системы управления изображена на рисунке 6.

Рисунок 6 - Элементная схема цифровой САУ

Здесь:

Yd, Ud - дискретные значения на входе и выходе ЭВМ;

K1 - квантователь, совмещенный с аналого-цифровым преобразователем; K2 - квантователь, совмещенный с цифроаналоговым преобразователем; ЭВМ - устройство, реализующее алгоритм управления;

Ф.Н.П.- фиксатор нулевого порядка (или экстраполятор n -го порядка); О.У. - объект управления.

Квантование по времени осуществляется квантователем K1 с определенным периодом T . Непрерывная регулируемая величина " Y " преобразуется в дискретную " Yd ", которая поступает в центральный процессор

13

ЭВМ. Здесь она обрабатывается по запрограммированным алгоритмам и формируется управляющее воздействие. Если исполнительное устройство аналоговое, то данные поступают на квантователь K2 с цифро-аналоговым преобразователем, выход которого поступает на фиксатор нулевого порядка. Сигнал с фиксатора поступает на исполнительный механизм, перемещающий регулирующий орган и, следовательно, изменяющий выходную величину объекта управления " Y ".

Строго говоря, замыкание ключей на входе и выходе системы происходит не одновременно. Эта задержка равна времени, затрачиваемому на преобразование аналоговой информации в цифровую и последующую ее обработку в процессоре. Однако, поскольку это время мало в сравнении с постоянными времени сервомотора, объекта, измерителя, то им пренебрегают, полагая, что входные и выходные квантователи действуют синхронно. Кроме того, в АЦП, имеющих не менее 10 двоичных разрядов, эффекты квантования по уровню практически незаметны и в первом приближении можно считать амплитуды дискретных сигналов изменяются непрерывно.

Устройство фиксации управляющего сигнала задерживает его на постоянном уровне до появления следующего. Во временной области его выходной сигнал можно записать как реакцию на единичное входное импульсное воздействие в виде

Поскольку преобразование Лапласа мгновенного импульса единичной площади равно единице, то изображение импульсной переходной функции формирующего элемента равно передаточной функции этого элемента.

L{K(t)} = Kф(p) .

Прямое преобразование Лапласа функции (11) имеет вид:

2.7 Решетчатые функции и разностные уравнения

Решетчатой называется функция, которую образуют ординаты непрерывной функции fT (t) , соответствующие дискретным равноотстоящим

друг от друга значениям независимой переменной, рисунок 12.2. Она равна нулю, когда t ¹ nT и обозначается f[nT] .

14

Использовав относительное время, решетчатую функцию запишем f[n], или f[n,ε], где ε может изменяться в пределах от 0 до 1.

Скорость изменения решетчатой функции f[n] характеризуется ее первой разностью:

f[n] = f[n + 1] − f[n].

При рассмотрении цифровых систем используются разностные уравнения, определяющие соотношения между дискретной функцией ϕ[n] и ее

где f[n] - известная дискретная функция.

При воздействии на линейную часть прямоугольных импульсов, имеющих разрывы, интегрирование возможно проводить для линейных уравнений только в промежутках времени, где разрывы отсутствуют. Это связано с тем, что наличие разрывов приводит к изменению постоянных

15

интегрирования, которые определяются два раза за период. Этот метод построения переходного процесса является слишком громоздким и возможен для конкретных цифровых расчетов, исключающих анализ и синтез в общем виде.

Применение разностных уравнений позволяет избежать указанных недостатков. Рассмотрим методику получения уравнений в конечных разностях.

Разностное уравнение характеризует связь между переменными, разделенными целым числом периодов. Для возможности проведения анализа всей системы необходимо иметь все уравнения динамики в одной форме (например, в виде разностных уравнений). Найдем уравнение объекта в виде разностного уравнения. Для этого решим дифференциальное уравнение объекта

A

В итоге получили разностное уравнение (15).

При решении системы разностных уравнений возникает необходимость исключения промежуточных переменных. Это удобно выполнять оперативным методом. С этой целью каждую переменную представим в

виде ϕ[n + k] = zk ϕ(z) ,

где n - номер наименьшего периода.

В итоге получили алгебраическое уравнение.

При физической реализации алгоритмов управления используются левые конечные разности. Ñj[n] = j[n] - j[n -1] ;

16

Ñ2ϕ[n] = Ñϕ[n] - Ñϕ[n -1] = ϕ[n] - ϕ[n -1] - ϕ[n -1] + ϕ[n -1] =

(16)

= ϕ[n] - 2ϕ[n -1] + ϕ[n - 2].

2.8 Основные свойства Z -преобразования

Дискретное Z - преобразование имеет вид

2.9 Дискретная передаточная функция

Если динамическая система описывается дифференциальным уравнением, то его можно представить уравнением в конечных разностях вида

a0 f [n + k] + a1 f [n + k -1] + ... + aK f [n] = b0ϕ[n + m] + b1ϕ[n + m -1] + ... + bmϕ[n].

Используя теорему о смещении решетчатой функции в Z - преобразовании при нулевых начальных условиях, получим

a0 zk F(z) + a1zk−1F(z)+...+a k F(z) = b0 zm j(z) + b1zm−1j(z)+...+bm j(z) .

17

Отношение Z -преобразования выходной величины к Z -преоб- разованию входной при нулевых начальных условиях называется дискретной передаточной функцией.

Для статических объектов коэффициент усиления можно найти используя теорему о конечном значении оригинала функции.

i=0

Для физической реализации алгоритмов вычисления значений решетчатой функции необходимо использовать левые разности, которые учитывают предыдущие, а не последующие значения решетчатой функции при вычислении разностей.

В этом случае передаточные функции будут полиномами z в отрицательных степенях. Если имеется передаточная функция с полиномами, имеющими z в положительной степени, то их легко перевести в передаточные функции с отрицательными степенями z . Для этого необходимо

умножить числитель и знаменатель на z− k Поскольку k ³ m , то в числителе не может оказаться положительных степеней z .

2.10 Получение оригинала по Z - преобразованию

Z -преобразование позволяет легко найти оригинал функции. Это связано с его особенностями, которые объясняются свойствами решетчатой функции. Если f (z) - аналитическая функция, то ее можно разложить в ряд

Тейлора. Однако, если она имеет изолированные особые точки в виде полюса, то ее можно разложить в ряд Лорана, главная часть которого состоит из конечного числа членов, равного порядку полюса. Для решетчатой функции f[n] каждое значение ее есть изолированная особая точка в виде полюса, поскольку представляет интеграл от δ - функции, имеющей бесконечно большое значение за бесконечно малый интервал и равный значению непрерывной функции в моменты t = nT .

18

Разложим F(z) в ряд по отрицательным степеням:

то можно вычислить коэффициенты Cn , в разложении F(z), которое называют преобразованием Лорана.

Умножив левую и правую часть разложения F(z) в ряд по отрицательным степеням на zn−1dz , получим

Интегрируя левую и правую часть равенства по замкнутому контуру и учитывая свойства интеграла, получаем

∫ F(z)zn−1dz =C n 2pj,

Более простой метод получения f[n] по F(z) вытекает из разложения ее в ряд Лорана по отрицательным степеням z . При этом осуществляется

19

непрерывное деление полинома числителя на полином знаменателя. Это удобно при использовании ЭЦВМ.

Например.

Численные значения решетчатой функции на выходе цифровой системы можно получить путем замены Z -передаточной функции уравнением в конечных разностях.

Пусть передаточная функция цифровой системы

k ³ m .

Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных разностях:

a0y[n]+ a1y[n −1]+...+aKy[n − k] = b0x[−k + m + n]+ b1x[−k + m + n −1]+...+bm[n − k], n = 0, 1, 2, 3,...

Разделив коэффициенты на a 0 и решив уравнение относительно y[n], получают значения искомой выходной величины через ее значения

в предшествующие моменты времени и значения входной величины в соответствующие моменты времени.

По этому уравнению легко реализовать алгоритм вычисления решетчатой функции на выходе цифровой системы при заданном входном воздействии.

2.11 Цифровые аналоги типовых законов управления

Рассмотрим методику получения уравнений в конечных разностях и Z -передаточных функций эквивалентных законам управления общепромышленных регуляторов на примере наиболее сложного ПИД -закона управления, из которого могут быть получены другие, как частные случаи.

Интегро-дифференциальное уравнение ПИД регулятора

20