26. Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда – этоЧИСЛА. Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ: В общий член рядапомимо многочленов, факториалов и других подарковнепременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда – этофункции.

Область сходимости ряда. Так называют множество точек сходимости функционального ряда, т.е. множество значений аргумента х, для которых ряд (бесконечная сумма) сходится (см.Ряд). Самую простую форму имеет область сходимости степенного ряда. Для случая действительного переменного она либо состоит из одной точки, либо является некоторым интервалом числовой оси (интервалом сходимости),  либо совпадает со всей осьюх. В случае комплексного переменного область сходимости состоит либо из одной точки, либо из внутренности некоторого круга на комплексной плоскости, либо совпадает со всей плоскостью комплексного аргумента. При этом в каждом случае граница области может как принадлежать, так и не принадлежать либо частично принадлежать области сходимости ряда. Другие типы функциональных рядов могут иметь более сложное строение области сходимости.Для нахождения области сходимости ряда существуют различные признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный и т.п.).

27.Степенные ряды

Ряд вида ,  где- постоянные числа, а- переменная, называется степенным рядом. При этомимогут быть комплексными, мы так и будем считать в дальнейшем, иногда только переходя в область действительного переменного. Буквабудет обозначать, вообще говоря, комплексное переменное число (точку комплексной плоскости), а буква- действительное переменное число (точку действительной оси).

28.Теорема абеля Утверждение

Пусть — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости.

Если ряд является сходящимся, тогда:

.

Доказательство

Заменой переменных , можно считать. Также (необходимым подбором) можно предположить. Обозначимчастичные суммы ряда. Согласно предположениюи нужно доказать, что.

Рассмотрим . Тогда (приняв):

Отсюда получается .

Для произвольного существуетнатуральное число , чтодля всех, поэтому:

Правая часть стремится к когдастремится к 1, в частности она меньшепри следованиик 1.

28. Радиус сходимости степенного ряда. Так называют радиус круга сходимости степенного ряда на комплексной плоскости (или степенного рядана действительной числовой оси), т.е. такое числоr, что ряд сходится при |z| < r (соответственно при |x| < r) и расходится при |z| > r (соответственно при |x| > r). На границе круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда имеются несколько формул, например:

(Формула Даламбера); (Формула Коши).